一元二次方程应用问题的几点注意

“方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型。”学习了一元二次方程后,同学们手中又增加了一种新的数学工具,使我们研究客观规律和解决实际问题的能力进一步加强。在运用方程思想解决应用问题的过程中,不少同学往往忽略实际问题的背景、实际意义和特定的要求,从而做出错误的解答。下面举几个典型例题分析如下:例1:如图,要建一个面积为150cm2的长方形鸡场,为了节约材料,鸡场的一边靠墙(墙长18m),另三边用竹篱笆围成,已知竹篱笆长35m,求养鸡场的长与宽。分析:利用方程思想,设与墙垂直的一边为xm,则与墙平行的一边为(35-2x)m;由题意:x(…     

一元二次方程单元测试卷参考答案

1.x2-2x+3=0,-2.2.x1=0,x2=-4.3.±32.4.(1)25,5;(2)94,23.5.-1或3.6.5.7.6.8.x(x+6)=91.9.C.10.C.11.B.12.D.13.B.14.D.15.x1=4,x2=0.16.x1=-3,x2=12.17.x1=3+23,x2=3-23.18.x1=-5,x2=-15.19.m=-3.20.x1=-2,x2=35.21.设运输箱底部宽为x米,长为(x+2)米.则x(x+2)=15.∴x1=-5(舍去),x2=3.所以矩形铁皮面积为35m2,经费35×20=700(元).22.设销售单价为x元,则得(x-50)[800-20(x-60)]-1000=11000.解之,得x1=70,x2=80,当定价为70元时,进600件;当定价为80元时,进400件.一元二次方程单元测试卷参考答案…     

构造二次函数模型解应用问题

一、构造二次函数模型解篱笆圈地问题例 1　如图 1,要建一个长方形养鸡场 ,鸡场的一边靠墙 ,如果用 5 0米长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场 ,设它的长为ｘ米 .(1)要使鸡场面积最大 ,鸡场的长应为多少米 ?(2 )如果中间有ｎ(ｎ是大于 1的整数 )道篱笆隔墙 ,要使鸡场面积最大 ,鸡场的长应为多少米 ?比较 (1)、(2 )的结果 ,你能得出什么结论 ?(1998年江苏省徐州市中考题 )解　 (1)依题意 ,得ｙ =ｘ·5 0 -ｘ3 =-13(ｘ2 -5 0ｘ)=-13(ｘ -2 5 ) 2 6 2 53(0 <ｘ <5 0 ) .∴　当ｘ =2 5时 ,即鸡场长为 2 5米时 ,鸡场面积最大 ,最大面积为6 …     

给定闭区间上的函数最大值最小值问题——教材研究一例

我市现行课本高中数学第一册第一章“二次函数的最大值与最小值”一节中有一例题,原题及其解如下:“某工厂……准备在仓库的一侧建立一个矩形储料场(图1)。有一批砖,可砌墙100米。如果用这批砖砌储料场,那么它的长和宽各是多大时,这个储料场的面积最大?解:设储料场的宽为x米,则长为(100-2x)米,如果用S表示储料场的面积,依题意,得S=x(100-2x)=-2x~2+100x=-2(x~2-50x+25~2)+2×25~2=-2(x-25)~2+1250。因为a=-2<0所以S有最大值,当x=25(米)时,S=1250(平方米)。又当x=25(米)时,(100-2x)=100-50=50(米)。答:当储料场的宽为25米,长为50米时,它的面积最大,为1250平方米。”     

巧借平移法妙解题

例　如图 1在宽为 2 0m的长为 32m的矩形地面上 ,修筑同样宽的两条互相垂直的道路 ,余下的部分作为耕地 ,要使耕地的面积为 540m2 ,道路的宽应为多少 ?图 1通常解法是 :解 :设道路的宽为xm ,根据题意列出方程得 :32× 2 0 - 32x - 2 0x +x2 =540整理得x2 - 52x + 1 0 0 =0解得x1=50　x2 =2x1=50不合题意舍去。答 :道路宽为 2m 图 2妙解 (一 )将竖道路向左 (或右 )平移靠边如图 2 ,设道路宽为xm ,据题意得 :32× 2 0 - 2 0x - ( 32 -x)x =540整理得x2 - 52x + 1 0 0 =0解得x1=50　x2 =2x1=50不合题意舍去。答 :略图 3妙解 (二 )将横道路向上 …     

围菜地

“数学漫画”参考答案用18米的竹篱笆围成长方形菜地,长是宽的2倍时,面积最大。又因为靠着一面墙来围篱笆,所以一条长与两条宽的和是18米。因此,长方形的长是18÷2=9(米),面积是9×9÷2=40.5(平方米)。围成的长方形菜地的面积是40.5平方米。     

巧用二次方程证明不等式

利用一元二次方程根的分布的充要条件 ,可以证明以下一类不等式 .例 1　设 x>0 ,y>0 ,且 x3 - x2 - 2 xy-y2 y3 =0 ,求证 :10 ,t>0 ,t2 - 4× t2 - t3>0 ,即 115 ,b>15 ,ab=22 5 ,求证 :a b<35 .证明　设 a b=t,ab=22 5 ,∴ a,b为一元二次方程 f (x) =x2 - tx 22 5 =0的两个根 .由于 a>15 ,b>15 ,f (15 ) >0 t<35 ,…     

方程应用题归类解析

方程应用题是中考的重要内容,这类问题的背景材料鲜活,具有很强的时代感.下面以2014年中考题为例,对常见的应用题进行归类解析,希望对你的复习有所帮助. 一、几何问题 例1(2014年新疆卷)如图1,要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB、BC各为多少米? 解析:设AB=x米,则BC=(1 00-4x)米.根据题意得 x(100-4x)=400,整理得x2-25x+ 100=0,解得x1=20,x2=5. 当AB=20米时,BC=20米; 当AB=5米时,BC=80米＞25米,舍去.     

整式的运算

整式A组1.下列整式 :1s,2 0 ,3- x2 y,4 a2 - 2 ab+b2 ,5ab2 c,6 a - 2 b3中 ,单项式是 ,多项式是.2 .计算 :- ( x2 +y2 ) +[- xy - ( x2 - y2 ) ] .3.某人购置了一套一室一厅的住宅 ,卧室是长为2 y米 ,宽为 x米的长方形 ,客厅的面积是卧室的 54 ,卫生间是边长为 12 x米的正方形 ,厨房的面积是卧室的14 ,请你帮助计算一下 ,他新购置的住宅的居住面积是多少平方米 ?如果他每平方米需要付 2 0 0 0元 ,那么他这套住宅的总费用是多少元 ?4 .计算 :x5 . ( - x) 4 +( - x) 7. ( - x) 2 .5.计算 :( 5m2 - n) 4 ÷ ( n - 5m2 ) .6 .如果 ( 9n ) 2 =…     

关于一种特殊方程的解法

现行中学教学教材《代数》中有一种特殊的一元高次方程,它们就是形如:axn bxn-1 cxn-2 … cx2 bx a=0(a≠0)的方程,把它叫做倒数方程,其特征是距首末两项等远的项的系数(含常数项)。这种方程具有以下性质:(1)此类方程没有零根,即x≠0;(2)如果是倒数方程的根,则x1n是这个方程的根;(3)若方程是奇次幂(就是说最高次项),必须有x=-1的根。也就是说,当次数n为偶数时,方程左边的项数是奇数(请看下面讲解的例1);当次数n为奇数时,则方程左边的项数是偶数,而首尾等距离的项在x=-1时,恰好是互为相反数,所以,这时所有项的和是0。故x=-1是方程的根。(例1)解方程:3x4-325x3 31x2-325x 3=0解:把原方程距首末两端(项)等距离的项结合,得(3x4 3)(-325x3-325x) 31x2=0这时,在方程两边都除以x2,得3(x2 1x2)-325(x 1x) 31=0设x 1x=y,则x2 x12=y2-2,从而方程变形为:3(y2-2)-325y 31=0即6y2-35y 50=0解之,y=52,或y=130由此解得,x=2,21,3,31说明:从这个例子可以看出,...     

深“挖”概念 促进理解——以函数一章为例浅谈数学概念教与学

一、问题的产生与解决1.背景高一第一学期第一次月考数学试卷中的两道题:15.若函数y=f(x+1)的定义域为[-2,4],则函数y=f(2x-1)的定义域为____.18.已知f(x)是定义域在R上的奇函数,当x> 0时,f(x)=x 3+x+1,求f(x)的解析式.经统计,这两道题全年级的正答率分别为21.7%和35%。     

关于抛物线弦长的两个简单性质及其妙用

抛物线y=ax2 bx c(a≠0),当Δ=b2-4ac>0时,它与x轴必有不同的两个交点,此两点间的距离叫做抛物线截x轴所得弦长.关于抛物线截x轴所得弦长与判别式的关系,我们给出如下性质:定理1　当Δ=b2-4ac>0时,抛物线y=ax2 bx c与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,记d=AB=|x1-x2|,则:Δ=b2-4ac=(ad)2.证明　显然x1、x2是一元二次方程ax2 bx c=0的两根,所以x1 x2=-ba,x1x2=ca.Δ=b2-4ac=a2[(-ba)2-4.ca]=a2[(x1 x2)2-4x1x2]=a2(x1-x2)2=a2(|x1-x2|)2=(ad)2.定理2　当Δ=-4ak>0时,抛物线y=a(x-h)2 k与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,记d=AB=|x1-x2|,则:Δ=-4…     

2003年全国高中数学联赛山东赛区预赛

一、选择题(每小题6分,共6 0分)1.已知y =f(x)是定义在R上的偶函数,当x>0时,f(x) =log2 (1 x) .那么,当x <0时,f(x) =(　　) .(A)log2 (1 x)　　　　(B)log2 (1-x)(C)log2 (- 1 x)　(D)log2 (- 1-x)2 .若p、q为实数,则函数f(x) =x3 px2 qx r(　　) .(A)在(-∞, ∞)上是减函数(B)在(-∞, ∞)上是增函数(C)当p2 <3q时,在(-∞, ∞)上是增函数(D)当p2 >3q时,在(-∞, ∞)上是增函数3.已知α、β均为锐角,cos(α β) =- 45 .若设sinβ=x ,cosα=y ,则y与x的函数关系式为(　　) .(A)y =- 45 1-x2 35 x (0 相似文献   

不可忽视的五个条件

1a0=1中a≠0 例1 当m=_时,函数y=(m 3)x2m 1 4x-5(x≠0)是一个一次函数。 错解①当2m 1=1时,函数为一次函数, 解得:m=0。 ②当m 3=0时,函数为一次函数,解得m=-3, 所以m=0或-3。 分析因为x≠0,所以当2m 1=0,即m=-1/2时函数也是一次函数,故m的值应为0或-3或-1/2,错解中忽视了x0=1(x≠0)这个隐     

分式问题的考点分析

一、考查基本概念例 1 .(1 )当式子 |x|- 5x2 - 4 x- 5的值为零时 ,x的值是 (　 )A.5;　 B.- 5;　 C.- 1或 5;　 D.- 5和 5。(2 )当 x=时 ,分式 2x- 1 无意义。 (2 0 0 0年江苏省杨州市、徐州市中考题 )分析 :一般地 ,中考试题主要考查分式 NM在什么情况下有意义、无意义和值为零的问题 ,当 M≠ 0时 ,分式 NM有意义 ;当 M=0时 ,分式 NM无意义 ;当 N=0且 M≠ 0时 ,分式 NM=0 ,据此可得 :(1 ) x=- 5,(2 ) x=1。二、考查基本性质例 2 .不改变分式2 x- 52 y23x y的值 ,把分子、分母中各项系数化成整数 ,那么结果是 (　　 )A.2 x- 1 5y4x …     

用二元一次方程组解中考应用题

课程总体目标提出 ,要“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会 ,去解决日常生活和其他学科学习中的问题 ,增强应用数学的意识”.近几年来中考试题中不断出现各种新型的实际应用题 ,但是万变不离其中 ,它们都可以用我们所学基础知识来解决 ,现列举几例可以用二元一次方程组解决的问题 .一、图形拼凑问题例 1　 ( 2 0 0 3年扬州市中考题 )如图 ,8块相同的长方形地砖拼成一个宽为 6 0 cm的图案 (地砖间的缝隙忽略不计 ) ,求每块地砖的长和宽 ?解 :设长方形的长为 x cm ,宽为 y cm ,根据题意得 :x +y =6 03y +x =2 x或 x +y =6 08xy …     

与方程有关的阅读理解题归类点拨

阅读理解能力是初中数学课程追求的重要目标之一.本文特选了几例与方程有关的阅读理解题,供参考.一、阅读解题过程,总结思想方法例1阅读下面的材料:为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们可以将x2-1视为一个整体,然后设x2-1=y,则(x2-1)2=y2.原方程化为y2-5y+4=0①.解得y1=1,y2=4.当y=1时,x2-1=1,∴x=±2;当y=4时,x2-1=4,∴x=±5.∴原方程的解为x1=2,x2=-2,x3=5,x4=-5.解答问题:(1)填空:在由方程得到①y2-5y+4=0的过程中,利用法达到了降次的目的,体现了的数学思想.(2)解方程(x2-x)2-4(x2-x)-12=0,若设y=x2-x,则原方程可化为.解(1)换元:转化;(2)y2…     

导数在函数中显神通

一、求函数解析式【例1】设y=f(x)为三次函数,且图象关于原点对称,当x=1时,f(x)取得极小值-2,求f(x)的解析式.解:设f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0),由于其关于原点对称,为奇函数.故b=d=0.所以f(x)=ax3 cx,由f′(x)=3ax2 c,且x=1时,f(x)有极小值-2得f′(1)=3a c=0,f(1)=a c=-2,解之,得a=1,c=-3,所以f(x)=x3-3x.二、求函数单调区间与判断函数单调性【例2】求f(x)=x3 3x的单调区间.分析:首先确定f(x)的定义域,再在定义域上根据导函数f′(x)的符号来确定f(x)的单调区间.解:f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0, ∞)f′(x)=3x2-3x2=3(x2 1)(x 1)(x-1)x2由于当x<-…     

四年级数学练一练

一、填空。86+97=86+100127+59=127+6099+45=100121-89=121-90二、在()里填上适当的单位。(1)小山家距离学校约50(0),步行约需9分钟。(2)一个街心休闲花园大约有280(0)。(3)一张单人床长(2)、宽(1)。(4)一块菜地,长是6米、宽是5米,它的面积是3(0)。三、直接写出下列各题的得数。430+190=510÷30=390-56=120×40=640÷80=263+97=76四、应用题。(1)兴隆小学全校有学生1044人,是四年级学生人数的6倍。四年级有学生多少人?(先列出含有未知数x的等式,再解答。)(2)一个长方形花圃的宽是24米,长是宽的3倍。它的周长和面积各是多少?(3)一个大型蔬菜…     

初二第一学期期末考试数学试题选

一、填空题1 .当 x=时 ,分式 x 12 x- 4 无意义 :　当 x=时 ,分式 |x|- 32 x- 6的值为 0 .2 .在括号里填上代数式 ,使等式成立 :x yx- y=(　　 )y- x =2 x 2 y(　　 ) .3.64的平方根是 ,立方根是 ;1 6的算术平方根是 .4.若 a2 =36,则 a=;若 - b3 =8,则 b=.5.已知 a=2 ,b=43 ,c=2 2 ,则b2 - 8ac=.6.查表得 6.2 75=2 .50 5,3 2 .97=1 .437,则62 7.5=;3 0 .0 0 2 97=.7.若 |a- 1 | b2 2 b 1 =0 ,则 a2 0 0 1 - b2 0 0 1=.8.已知分式 2 x mx- n,当 x=- 1时 ,分式的值为0 ;当 x=3时 ,分式无意义 ,则 mn=.9.若等腰三角形的一个底角为 50°,则它的…