选取主元的四种方法

在一个涉及多个变量的问题中,若能适当地选取其中的一个变量作为主变量(也叫主元),突出其作用,则能使问题顺利得到解决.一、从整体角度选取例1已知x>0,y>0且x+y=1,求x2+y2-x2y2的取值范围.分析这里以x、y中的任意一个为主元,都会给解题带来麻烦.现取“xy”这一整体作主元.解∵x>0,y>0且x+y=1,∴2xy√≤1.∴0m>1,t>1,求证:logntmtm>…     

函数值域求法的策略

一、反函数策略例1求函数y=3-x2x+5的值域.分析此题可用“观察法”,但形如y=ax+bcx+d的值域问题,用反函数法尤为简洁.解函数y=3-x2x+5的反函数为y=3-5x2x+1,而y=3-5x2x+1的定义域为x|x≠-12 ,∴原函数的值域为y|y≠-12 .二、换元策略例2求函数y=2x+41-x姨的值域.分析可将原式2x移至等式左边后,再两边平方,用“Δ法”求解,但是值域范围有可能扩大.若令t=1-x姨≥0,则x=1-t2,从而将原式转化为在限制条件下,即t≥0时二次函数的值域问题.解令t=1-x姨≥0,则x=1-t2,故原式为y=2穴1-t2雪+4t=-2穴t-1)2+4≤4,∴原函数的值域为(-∞,4].三、数形结合…     

“零”的陷阱例析

我们知道几乎每一个数学概念和每一 种数学运算都与零有关,零在数学领域中常 扮演着举足轻重的角色.在解题过程中,若对 零丧失警惕,就容易走入误区,掉进陷阱,造 成解题失误.因此,我们在解题时就应睁大眼 睛,增强警惕性,从而排除陷阱,顺利到达正 确解题的目的地. 陷阱之一　忽视分母不能为零 【例1】　求和Sn=(x+1y)+(x2+1y2) +(x3+1y3)+…+(xn+1yn). 错解:Sn=(x+x2+…+xn)+(1y+ 1 y2+…+1yn) =x(1-xn)1-x+ 1 y(1-1yn) 1-1y =x-xn+11-x+yn-1yn(y-1) 剖析:因为当分母为零,即当x=1或 y=1时,不能表达成上述…     

求函数值域的常用策略

求函数值域问题是高中数学的重点和难点,也是高考的热点.本文对求函数值域常用方法作些归纳,供同学们参考.一、分离常数法例1求函数y=x2-xx2-x+2的值域.解:y=x2x-2-x+x2=1-x2-2x+2,而x2-x+2=x-212+74≥47,所以0相似文献   

构造法在数学解题中的应用

针对数学问题的题型特点,构造与之相关的辅助数式、图形,甚至理想模型等以求另辟捷径的解题方法通常称之为构造法.下面举几个例子说明“构造法”在数学解题中的运用:例1求证:(1 2005)2004-(1-2005)20042005是整数.分析若以x代换2005,分子成为一个多项式,可构造辅助函数来研究它的特点.证明设f(x)=(1 x)2004-(1-x)2004.∵f(-x)=(1-x)2004-(1 x)2004=-f(x),∴f(x)是奇函数.因此f(x)只含x的奇次项,于是f(xx)为只含x的偶次项(包括常数项)的整系数多项式.以x=2005代入可题式为整数.例2x、y是取任意实数的2个变量,试求函数f(x,y)=x2 y2-2x-2y 2 x2…     

求解三角问题的常用数学思想

数学思想是研究和解决数学问题和有关实际问题的基本指导思想.求解数学问题时,若能正确地运用数学思想,则可提高解题效率.本文举例介绍在求解三角问题时的常用数学思想.一、函数思想例1已知x3+sinx-2a=0,x∈[-π2,π2],4y3+sinycosy+a=0,y∈[-π4,π4],求sin(x+2y)的值.分析:从已知条件所具有的特征出发,可构造一个新的函数f(x)=x3+sinx,利用该函数的单调性,找出x与2y的关系,从而获得解答.解:令函数f(x)=x3+sinx,由x3+sinx-2a=0,得2a=x3+sinx=f(x).又由4y3+sinycosy+a=0,得2a=-8y3-2sinycosy=(-2y)3+sin(-2y)=f(-2y),∴f(x)=f(-2y),∵x,-2y…     

几类函数题的常见错误

在解答基本函数的有关问题时,若忽视或混淆条件充分性、必要性或充要性,进行非等价转化,或者由于概念、性质、定理不清、运算方法不当等,就会造成“对而不全”的解题失误甚至错误.1忽视对定义域的等价转化致错例1已知函数f(x)=loga(-x2+log2ax)的定义域为(0,21),则实数a的取值范围是.图错解函数f(x)=loga(-x2+log2ax)的定义域为(0,21),即当x∈(0,21)时,-x2+log2ax>0恒成立,即关于x的不等式log2ax>x2在(0,21)上恒成立,令y1=log2ax,y2=x2,如图,y2过点P(21,41),y1>y2在(0,21)上恒成立,则应有y1、y2在(0,12)上的图象的位置关系为y1在y2上方,所…     

代换法在不等式证明中的运用

代换法在数学解题中有着广泛的应用 ,用它证明不等式 ,不蹈常规 ,见解独到且富有新意 .本文谈谈五种代换方法在不等式证明中的运用 .1　增量代换在题设条件a≥b下 ,令a =b +t(t≥ 0 ) ,这种代换叫做增量代换 .例 1　已知x >y>0 ,求证 x -yy >0入手 ,用增量代换法去证明 ,十分快捷 .证明 :由x >y >0 ,可令x =y +t(t>0 ) .∵ y +t相似文献   

一类分式函数求值域的基本方法

方法一:反函数法根据反函数的性质,一个函数若存在反函数,那么反函数的定义域就是原函数的值域.这样,从原函数表达式y=f(x)中,解出自变量x来,得到一个以y为变量,x为函数的新函数x=f-1(y),这个函数自变量y的取值范围,就是原函数y=f(x)的值域.这个方法一般适用于分子、分母都是一次式的分式函数.例1.求函数y=1-x2x+5的值域.分析:因为y=1-x2x+5=-12+722x+5图象为以点(-52,-12)为中心,平行于x轴,y轴两条相交线为渐近线的双曲线.从自变量x到函数y是一一映射,存在反函数.解:由y=1-x2x+5得x=1-5y2y+1,这个函数中,自变量y的取值范围是y≠-12.所以,原…     

做数学题要注意“咬文嚼字”

数学问题考查的不仅仅是同学们的数学思维能力,同时也考查同学们对数学语言的理解能力,即对题目给出的数学语言怎样理解,理解后怎样转化为熟悉的数学问题并进行解决的能力.所以做数学题目时,在理解数学语言上要“咬文嚼字”.下面举几个例子说明.“咬文嚼字”一“过”和“在”不同【例1】曲线y=x3+x+1过点(1,3)处的切线方程是.错解切线的斜率为y′|x=1=(3x2+1)|x=1=4,故所求的切线方程是y=4(x-1)+3,即4x-y-1=0.剖析“过”点(1,3)的切线方程,说明(1,3)不一定是切点,这时切线可能不只一条.就必须通过设切点来求.设切点坐标为(x0,y0),对y=x3+x+1求导得y′=3x2+1,故切线的斜率为3x02+1,于是切线方程为y=(3x02+1)(x-x0)+y0,由于点(1,3)在切线上,故有3=(3x02+1)(1-x0)+y0①又切点在曲线上,即y0=x03+x0+1②解①②得x0=1y0=3或x0=-21.y0=83当x0=1y0=3时,切线斜率为4,方程为4x-y-1=0;当x0=-21y0=83时,切线斜率为47,方程为7x-4y+5=0.错解是求曲线y=x3+x+1在点(...     

与方程有关的阅读理解题归类点拨

阅读理解能力是初中数学课程追求的重要目标之一.本文特选了几例与方程有关的阅读理解题,供参考.一、阅读解题过程,总结思想方法例1阅读下面的材料:为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们可以将x2-1视为一个整体,然后设x2-1=y,则(x2-1)2=y2.原方程化为y2-5y+4=0①.解得y1=1,y2=4.当y=1时,x2-1=1,∴x=±2;当y=4时,x2-1=4,∴x=±5.∴原方程的解为x1=2,x2=-2,x3=5,x4=-5.解答问题:(1)填空:在由方程得到①y2-5y+4=0的过程中,利用法达到了降次的目的,体现了的数学思想.(2)解方程(x2-x)2-4(x2-x)-12=0,若设y=x2-x,则原方程可化为.解(1)换元:转化;(2)y2…     

反函数的应用(高一)

例1 方程x+lgx=3和方程x+10x=3的根分别为α、β,求α+β. 解因为lgx=3-x,10x=3-x. 没f(x)=lgx,则 f-1(x)=10x. 分别作出函数f(x)、f-1(x)和直线y=3-x的图象,y=f(x)与Y=3-x的交点A(α,3-α),y=f-1(x)与y=3-x的交点为B(β,3-β).而     

用判别式法求函数值域

判别式法是求函数值域的主要方法之一,方程思想在函数问题上的应用。它的理论依是:函数的定义域是非空数集,将原函数看作以y为参数的关于x的二次方程,若方程有数解,必须判别式Δ≥0,从而求得函数的值。因此,判别式法求函数值域的适用范围虽然泛,但又是有条件制约的。一、判别式法的广泛性⑴判别式法不只适用于形如y=x2+b1x+c1x2+b2x+c2(a12+a22≠0)的函数的值域问题。例1:求函数y=x-2-x√的值域。解:由已知得x-y=2-x√∵2-x≥0∴x≤2,又∵x-y≥0∴y≤2y=x-2-x√两边平方,整理得:x2-(2y-x+y2-2=0则解得y≤94又∵y≤2,故原函数的值域为狖y∈R…     

解题“四逆”

在数学解题中,逆向思维往往体现为如下的“四逆”;一曰“逆转结构”.例如“从线段y=-x+1(0≤x≤1)上任一点 A 作抛物线g=-x~2的切线,求切点横坐标 a 的取值范围”,题设条件逆转为:“切线与直线 y=-x+1的交点落在线段内”,则略解如下:切点设为(a,-a~2),切线方程为((y-a)~2)/2=     

数学解题中的化归策略

“化归”是指把未解决的数学问题 ,通过某种转化过程 ,归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中去 ,最终求得原问题的解答的一种手段和方法 .1.复杂向简单化归一个比较复杂的数学问题 ,往往是由几个简单问题构成的 .因此 ,只要把这些简单问题一一加以解决 ,就可以使复杂问题得到解决 .例 1　解方程组3 (x +y -1) +2 (x -y) =64 ,4(x +y -1) +5 (y -x -3 ) =78.①②解 :设x +y -1=m ,x -y +3 =n .整理得3m +2n =70 ,4m -5n =78.　解得 m =2 2 ,n =2 ,即　 x +y -1=2 2 ,x -y +3 =2 .解这个方程组得x =11,y =12 .评注 :把方程组中重复出…     

数学奥林匹克高中训练题（133）

第一试 一、填空题(每小题8分,共64分) 1.方程(1+3x+32x+...+32 010x)/(1+3-x+3-2x+...+3-2 010x)=3的解为x= __. 2.若实数x、y满足y2=4x,则(y)/(x+1)的取值范围为__.3.集合A=x,yy=1-x ,y=1-x2的子集个数为__.     

构造函数 活用单调性

根据题设条件和题意要求 ,巧构函数 ,活用函数的单调性 ,实现问题转化 .由此 ,既可简化运算过程 ,又可明快证明结论 ;既可探索解题捷径 ,又可发现解题方法 .本文就此举例探究 .1　构造函数方程例 1　解方程 4x +2 -7-x +3 =0解 :由观察可知 ,x的取值范围为 :-2≤ x≤ 7令 F ( x) =4x +2 -7-x +3 ,因为在区间 [-2 ,7]上 ,f ( x) =4x +2单调递增 ,g( x) =7-x单调递减 .所以 F ( x) =4x +2 -7-x +3在 [-2 ,7]上单调递增 ,又 F ( -2 ) =0 ,所以由函数单调性可知 ,原方程的解为 x =-2 .2　构造函数解不等式例 2　解不等式 3 x +1>3 -x解 :构造…     

一题多解话成因

例:已知x2+y2=4,求3x+4y的最大(小)值。分析1:按常规思路,讨论一个函数的最大(小)值,首先可以考虑化为单元函数,然后用配方等方法进行讨论。此题可从x2+y2=4入手,解出x或y,代入3x+4y,再用导数的方法求出最大(小)值。解法1:由x2+y2=4!y=±4-x2",代入3x+4y可得,3x+4y=3x±4-x2",令f(x)=3x±44-x2",则f′(x)=3±-4x4-x2".令f′(x)=0,解之,可得驻点:x±56.讨论可知:当x=56时,3x+4y可取得最大值10,当x=-56时,3x+4y可取得最小值-10。评析:分析的方法是研究函数的有力工具,用导数对函数的性态进行讨论是非常常用的,它可以解决很多问题,如单调性、极…     

例谈函数图象变换在解题中的应用

函数图象是以“形”来描述函数性质的,它能直观地反映函数所蕴含的基本关系.正确理解和熟练掌握函数图象变换的规律,能有效地增强我们对图形变化的认识,把握住问题的关键,提高解题的能力.以下是几种常见的函数图象变换关系:Ⅰ 平移变换(1 )水平平移:y =f(x±a) (a >0 )的图象,可由y=f(x)的图象向左( )或向右(-)平移a个单位而得到.(2 )竖直平移:y =f(x)±b(b >0 )的图象,可由y=f(x)的图象向上( )或向下(-)平移b个单位而得到.Ⅱ 对称变换(1 )y =f(-x)与y =f(x)关于y轴对称;(2 )y =-f(x)与y =f(x)关于x轴对称;(3 )y =-f(-x)与y =f(x)关于原点对…     

纠正复合函数中的一个流行错误

<正>一、问题问题1:若函数y=f((1/2)9-x2)的定义域是[-3,3],则函数y=f(x)的定义域为.解:因为-3≤x≤3,所以0≤(1/2)9-x2≤3,故y=f(x)的定义域是[0,3].问题2:已知函数y=f(x2-1)的定义域是[-2,2],则函数y=f(x)的定义域为.解:因为-2≤x≤2,所以-1≤x2-1≤3,故y=f(x)的定义域是[-1,3].问题3:函数y=f(2x)的定义域是[-1,1],求y=f(log2x)的定义域.