有奖解题擂台(63)

题 1　 (邵剑波提供 )　证明或否定设a >b >c>0 ,x21a2 +y21b2 +z21c2 =1 ,x22a2 +y22b2 +z22c2 =1 ,且 (x -x1+x22 ) 2 +( y -y1+y22 ) 2 +(z -z1+z22 ) 2 =14[(x1-x2 ) 2 +( y1-y2 ) 2 +(z1-z2 ) 2 ],则x2 +y2 +z2 ≤a2 +b2 +c2 。题 2　 (吴善和提供 )　证明或否定 :　若a、b、c分别是△ABC的三边长 ,实数m≥ 1 ,a′ =(bm+cm) 1m,b′ =(cm+am) 1m,c′=(am+bm) 1m,则以a′,b′ ,c′为三边可构成△A′B′C′ ,且△ABC与△A′B′C′的内切圆半径r与r′之间成立不等式r′≥ 2 1m·r。(注　每小题第一位解答正确者将获得奖金 5 0元 )有奖…     

（人教版）八年级数学单元测试题

一、填空题(每小题2分,共20分)1.9x2-()2=(3x+)(-(1/5)y)2.(a-2)2+()=(a+2)23.分解因式:a2+ac-ab-bc=______.4.分解因式:x3-2x2y+xy2-x=_______.5.分解因式:(x2-5x)2-36=_____.6.△ABC≌△A′B′C′相当于已知它们的_____相等,______相等.7.如图1,已知AC=BD,要使△ABC≌△DCB,只需增加的一个“角”的条件是_____.8.如图2,(1)、(2)在Rt△ACB与Rt△A′C′B′全等吗?理由为     

利用边的变换解三角形的问题

在△ABC中,记内角A、B、C的对边分别为a,b,c,设 a=y+z,b=z+x,c=x+y.     

数学奥林匹克问题

本期问题 初15.已知x,y,z非负,求证: (x~2 xy zx-yz)(y z)~2 (y~2 yz十xy-zx)(x z)~2 (x~2 zx yz-xy)(x y)~2 ≤(x y z)(x y)(y z)(z x)。 (王梦阳 吉林大学数学系91级) 初16.已知AA′,BB′,CC′是锐角△ABC的三条高。过A作直线l_1⊥B′C′,过B作直线l_2⊥C′A′,过C作直线l_3⊥A′B′。试证明:l_1,l_2,l_3相交于一点。     

再论一个重要三角形“母”不等式

1983年,笔者曾在大学毕业论文中证得 定理 设x,y,z∈R~ ,则在△ABC和△A′B′C′中,有式中等号当且仅当△ABC∽△A′B′C′且x:sin2A=y:sin2B=z:sin2C时成立. 在通用符号下,①式可变形或特殊化为 其中λ,μ,u∈R~ .由①～⑤式可推出外森比克不等式、费-哈不等式、高灵不等式、纽贝格-匹多不等式及一系列结果,这些在文[1]、[2]、[3]中曾作过讨论。下面再给出几个新的结果。     

关于费尔马点的一个猜想的证明

设F是△ABC内的费尔马点,延长AF、BF、CF分别交对边于A′、B′、C′。记AA′=x,BB′=y,CC′=z。文[1]猜想 1/x 1/y 1/z≥2/3(1/R 1/r)。 (1) 其中R、r分别表示△ABC的外接圆与内切圆半径。 本文将证明更优的结果: 1/x 1/y 1/z≥3/(4r) 1/(2R)。 (2) 引理1 设F是△ABC内部的费尔马     

2007年全国初中数学联赛

第一试一、选择题(每小题7分,共42分)1.已知x、y、z满足2x=y3-z=z+5x.则5yx+-2zy的值为().(A)1(B)31(C)-31(D)212.当x分别取值20107,20106,…,21,1,2,…,2006,2007时,计算代数式11-+xx22的值,将所得的结果相加,其和等于().(A)-1(B)1(C)0(D)20073.设a、b、c是△ABC的三边长,二次函数y=a-2bx2-cx-a-2b在x=1时取最小值-85b.则△ABC是().(A)等腰三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)直角三角形4.已知锐角△ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆的半径.则∠A的度数是().(A)30°(B)45°(C)60°(D)75°5.设K是△ABC内任意一点,△KA…     

三角形内心的几个性质及其运用

本文用向量的知识得出三角形内心的几个简捷的性质,并进一步探讨其在解题中的一些应用.性质1△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,I为△ABC的内心,则auIAur+buIBur+cuICur=0r.证明如右图,过I分别作三边的平行线,分别交三边于A1、A2、B1、B2、C1、C2∵I是△ABC的内心,∴四边形AA1IC2、BB1IA2、CC1IB2都为菱形,A B Cl A1A2B1B2C1C2设AA1=x,BB1=y,CC1=z,则AI x(AB AC),BI y(BA BC),=c+b=c+auur uuur uuur uur uuur uuur CI z(CA CB)=b+auur uuur uuur,∴auIAur+buIBur+cuICur ax by AB ax cz AC by czBC…     

关于费尔马和的一个不等式

文 [1 ]中用微积分方法证明了不等式 :(x +y +z)·1y2 +yz+z2 +1z2 +zx +x2 +1x2 +xy +y2>4 + 23,①其中x、y、z为任意正实数 .我们指出 ,由此不等式可导出一个关于三角形的费尔马和的不等式 :设△ABC的三边长分别为a、b、c ,其费尔马点在形内 (即所有内角都小于 1 2 0°) ,且到顶点A、B、C的距离分别为x、y、z,则(x+y +z) 1a+ 1b+ 1c >4 + 23.②事实上 ,当△ABC的费尔马点在形内 ,即所有内角都小于 1 2 0°时 ,有a =y2 +yz+z2 ,b =z2 +zx +x2 ,c =x2 +xy +y2 .此时式①直接化为式② .关于费尔马和的一个不等式@方廷刚$四川省成都市第七…     

外角平分线三角形中的类正弦定理

文[1]、[2]、[3]等给出了外角平分线构成的三角形几个有趣的性质,本文得到定理如图,△DEF是△ABC三条外角平分线构成的三角形,设BC=a,CA=b,AB=c,2s=a+b+c,I为△ABC的内心,且DI=x,EI=y,FI=z,△ABC的外接圆和内切圆半径分别为R、r,则4sin2sin2sin2x A=y B=z C=R(1)首先给出一个引理.引理设I为△ABC的内心,则AD、BE、CF交于I点,且I为△DEF的垂心.略证∵?DEF是△ABC三条外角平分线构成的三角形,∴D、E、F为△ABC的旁心[4],显然AD、BE、CF为∠A、∠B、∠C的平分线,则它们交于I点;又∵2∠D AC=A,222∠E AC=B+C=π?…     

与两个正切、余切恒等式相关的锐角三角形等效条件及其应用

下面介绍与两个正切、余切恒等式相关的锐角三角形等效条件及其应用.一、三角形的正切恒等式在非直角三角形ABC中,存在这样的正切恒等式:tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C.我们有以下结论:定理1设x、y、z为正数,满足:x+y+z=xyz,则必存在锐角三角形ABC,使x=tanA,y=tanB,z=tanC.证:因x、y为正数,故有锐角A、B,使     

由两个几何不等式引出的讨论

例 1　设 O为△ ABC的外心并且△ BOC、△ COA、△ AOB和锐角△ ABC它们的外接圆半径分别为 R1 、R2 、R3 和 R,2 0 0 3年郭要红先生建立了不等式 :[1 ]R1 +R2 +R3 ≥ 3 R 1笔者在证明 1的过程中发现 1式还可加强为 :1R1+1R2+1R3≤ 3R 2由 Wolseenholme不等式 ,其证明过程如下 .有定理 1,设 x,y,z为正实数 ,在锐角△ ABC中有 xR1+yR2+zR3≤ 1R( yzx +zxy +xyz) 3证明 3式需要如下引理 1.引理 1[2 ]　 ( Wolseenholme不等式 )设 A、B、C为△ ABC的内角 ,x,y,z为实数 ,则x2 +y2 +z2≥ 2 yzcos A +2 zxcos B +2 xycos C 4当…     

关于费马点的一个不等式

定理 设F是△ABC内的费马点,延长AF,BF,CF分别交对边于A′,B′,C′。记AA′=x,BB′=y,CC’=z,则     

正弦定理的联想及其它

由正弦定理出发,我们可以得到如下定理:△ABC中,以sinA、SinB、sinC为边可以构造△A′B′C′。且△ABC∽A′B′C′,△A′B′C′外接圆直径为1。证明:设△ABC外接圆半径为R, sinA+sinB=1/2R (a+b)>1/2R·C=sinC。同理可证 sinA+sinC>sinB,sinB+sinC>sinA。因此以sinA、sinB、sinC为边可以构造△A′B′C′。由正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC,因此△ABC∽△A′B′C′,则A=A′,B=B′,C=C′。设△A′B′C′外接圆半径为R′,对△A′B′C′施行正弦定理,则sinA/sinA′=2R′=1。由这个定理出发,有下面的二个应用。一、关于三角形中一些恒等式和不等式的互证     

函数与导数(文)

一、选择题: l、函数y=f(x)的图像与直线x二2的公共点共有( A.0个B.l个C.O个或1个D.不能确定2、函数y=共(:,一5)的反函数是( X J A .y二土一5(x尹。) e .y二土 5(、尹。) B .y二x 5(x eR) D·y二x一5(x‘R) X 3、“△ABC中,若乙C=9()。,则乙A、乙B都是锐角”的否命题为( A.△ABC中,若乙C护卯“,则乙A、乙B都不是锐角B.△人BC中,若乙C护卯“,则乙A、乙B不都是锐角C.△ABC中,若乙C笋oo。,则乙人、乙B都不一定是锐角D.以上三个命题都不正确4、函数y二处卫ZX 3的值域是( A.(一,,一I)U(一l, ao) C.(一,0)U(0, a…     

圆中与三角形的心有关的轨迹问题

与三角形的心有关的轨迹问题,同学操作起来往往“不领会”,本文试谈这个问题.一、重心问题例1已知△ABC中,B(-3,-1),C(2,1),顶点A在圆(x+2)2+(y-4)2=4上运动,求△ABC的重心G二的轨迹方程.分析利用重心坐标公式,表示出点A的坐标.解设△ABC的重心坐标G(x,y),A(x1,y1),则x=x1-33+2,y=y1-31+1"$$$$#$$$$%.即x1=3x+1,y1=3y&.又A(x1,y1)满足(x1+2)2+(y1-4)2=4,所以(3x+3)2+(3y-4)2=4,整理得(x+1)2+(y-43)2=49,即为所求的轨迹方程.评注求轨迹时应注意分析与动点相关联的点,如相关联点轨迹方程已知,可考虑“代入法”.二、垂心问题例2如图,已…     

Gerasimov不等式的推广

1971年,Ju.I.Gerasimov给出了下述三角形不等式: 设△ABC内部任一点P至边BC、CA、AB的距离分别为r_1、r_2、r_3,边BC、CA、AB分别为a、b、c.则 (r_2r_3)/(bc) (r_3r_1)/(ca) (r_1r_2)/(ab)≤1/4. (1)等号仅当P为△ABC的外心时成立. 在已知的有关△ABC、△A′B′C′及任意正数x、y、z的不等式 (1 y z)~2≥4(yzsinAsinA′ zxsinBsinB′ xysinCsinC′)(2)     

有奖解题擂台(119)

<正>题已知正数x,y,z满足x≤y≤z,又△ABC的三个内角A,B,C满足A≥B≥C,求证:xcosA+ycosB+zcosC≥2/3(x cos² A/2+y cos2 A/2+y cos² B/2+z cos2 B/2+z cos² C/2)≥1/2(x+y+z).第一位正确解答者将获得奖金100元.擂题提供与解答请电邮至guoyaohong1108@163.com,解答认定时间以电子邮件时间为准.欢迎广大读者踊跃提供擂题.     

计算机数学基础(A)综合练习

1　选择题( 1)设z =2xy3 ,则2y=(　　)。　A 2 z y2 　　　　　　　B 2 z x2　C 2 z x y　　D 2 z y x( 2 )设z =2xy3 ,则z y x =2y =2 =(　　)。　A 8　B 32　C 2 4　D 4 8( 3)函数z=ln( 4 -x2 - y2 )x2 +y2 - 1的定义域为(　　)。　A x2 +y2 <4　B x2 +y2 >1　C 1相似文献   

利用边的变换解三角形的问题

在△ABC中,记内角A、B、C的对边分别为a,b,c,设a=y z,b=z x,c=x y.(＊)则x、y、z的几何意义如图1所示.又记三角形的半周长为P,面积为S,内切圆与外接圆半径分别为r、R,易知