巧用方差公式解题

<正>方差公式是初中“数据的分析”一章中的重要公式,除了用于判断数据的波动程度的大小外,对于其他的一些数学问题,若能充分利用方差公式特点,巧妙应用或构造“方差”模型来求解,我们就会取得意想不到的解题之效.方差公式 设n个数据x₁,x₂,…,x_n,■表示它们的平均数,则x₁,x₂,…,x_n的方差■显然S²≥0,当且仅当■时取等号.     

方差概念的教法探讨

方差的概念是“统计初步”一章的教学难点之一 .究其原因 ,从知识体系和学生认知基础来分析 ,有三个方面 :( 1)方差是衡量一组数据波动大小的特征数 ,与平均数不同 ,学生几乎没有相关的认知基础 ,他们难以理解数据的“波动” ,对引入方差的必要性不理解、不认可 ;( 2 )方差的定义抽象复杂、逻辑性强 ,这与以形象思维为主的初中学生距离很大 ,冗长的公式 ,又增加了学生记忆的困难 ;( 3 )方差用“Ｓ2 ”表示 ,与学生知识结构中诸种表示符号不协调 ,这是知识本身造成的困难 .从教与学的方法来看 ,也有两个方面 :( 1)教师受升学教育的影响 ,不重…     

一个值得商榷的问题

人民教育出版社初中代数第三册教师教学用书第 171页有一段话 :“在讲方差概念时 ,有的同学会提出疑问 :为什么要这样定义方差 ?在表示各数据与其平均数的偏离程度时 ,为了防止偏差和负偏差的相互抵消 ,为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值 ,而要将它们平方 ?实际上 ,这也就是问为什么教科书没有选用平均差来衡量一组数据的波动大小 .这主要是因为在很多问题里含有绝对值的式子不便于计算 ,且在衡量一组数据波动大小的“功能”上 ,方差更强些 .例如 ,有两组数据 :甲 :9　 1　 0　 - 1　 - 9乙 :6　 4　 0　 - 4　 - 6从直观上看 ,甲组…     

方差公式在求最大(小)值中的应用

如果 x 为一组数据 x_1,x_2,…,x_n 的平均数,S~2为这组数据的方差,则有上述方差公式不仅在数理统计中应用广泛。而且在数学解题中也有着极其广阔的应用.由于统计初步列入中学数学时间不长,因而有关方差公式在数学解题中的应用资料甚少,义     

巧用方差公式解题(初三)

用(?)表示一组数据x1,x2,…,xn的平均数,则其方差(?)或(?).方差是反映一组数据波动大小的特征数,用方差公式,可以巧妙地解决一数学问题.本文试举几例.     

方差公式的应用

方差公式在数学解题中有着极其广阔的应用价值.然而由于统计初步列入中学数学时间不长,因而有关方差公式在数学解题中的应用资料甚少,故给学生一种错觉,好像学了方差公式仅仅是为了统计计算而已,别无它用.为延伸教材内容,紧跟素质教育和新课程改革的步伐,笔者就八个方面的应用介绍如下: 若x为一组数据x1,x2,x3,…,xn的平均数, S2为这组数据的方差,则有     

方差的妙用

如果一组数据x1,x2,x3,…,xn其平均数为x=1n(x1+x2+x3+…+xn)①方差为S2=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…++(xn-x)2]②此方差公式可简化为S2=1n[(x21+x22+x23+…+x2n)-nx2]③①代入③得S2=1n[(x21+x22+x23+…+x2n)-1n(x1+x2+x3+…+xn)2]()显然S2≥0,当且仅当x1=x2=x3=…=xn时,S2=0.公式()是极为实用的公式,一些数学问题妙用公式()来解,常能化繁为简,化难为易,且思路清晰,简捷明快.下面举例说明.一、求字母的取值范围例1(吉林省初中数学竞赛题)设实数a、b、c满足a2-bc-8a+7=0b2+c2+bc-6a+6=0①②则a的取值范围是.解:①+②得b2+c2=-a2+14a-13②-①得(…     

培养初中学生逆向思维能力的几种途径

逆向思维能力的培养是数学教学的任务之一。本文试从解题教学这一角度出发,谈谈初中数学教学中培养学生逆同思维能力的几种常用途径。一、逆用公式、法则初中数学中的许多公式、法则都具有可逆性。在解题教学中要充分利用这种可逆性、引导学生逆用公式、法则,寻求问题的简捷解法,培养学生逆向思维的能力。例1 化简:(6~(1/2)-2~(1/2))(3~(1/2)+2)(2-3~(1/2))~(1/2) 分析:本题若采用一般方法求解,则运算量很大,逆用公式a~2~(1/2)=|a|,则十分简便。解:原式=([(6~(1/2)-2~(1/2))(3~(1/2)+2)(2-3~(1/2))]~2)~(1/2) =(4(2-3~(1/2)(2+3~(1/2))~(1/2)=4~(1/2)=2 二、逆用定义在初中数学教材中,通常总是采用“定义”的方式来阐述某个数学概念的。数学概念的灵活运用,是应用数学知识和方法分析解决问题的基础,特别是定义的逆向应用,更显示了思维水平的     

方差公式的若干应用

<正>学习了方差公式,有些学生往往只局限于具体的数字计算之中,没有体会其中的奥妙,实际上方差公式在数学解题中有着广泛的应用.大家知道,如果一组数据x1,x2,x3,…,x n,其平均数为x=1n(x1+x2+x3+…+x n).1方差为S2=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+(x3-x)2+…+(x n-x)2].2此方差公式可简化为S2=1n[x21+x22+x23+…+x2n)-nx2].31代入3得S2=1n[x21+x22+x23+…+x2n)-     

应用“MM方法”进行教学——谈谈环形跑道应用题基本模型教学

“MM 方法”即“数学模型方法”.教学中应用“MM 方法”,对培养学生应用数学意识,提高学生解题水平,发展学生创造能力,具有重要作用.应用“MM 方法”教学,应教会学生将不同类型的问题构造相应“模型”,再应用这些“模型”解决实际的问题.行程应用题的环形跑道问题,是学生难以理解和掌握的列方程解应用题.本文以环形跑道应用题基本模型教学为例,拙谈“MM 方法”在教学中的应用.     

巧用方差公式及其非负性解题

对于一组数据x1、x2…xn,设其平均数、方差分别为X、S2,由方差简化计算公式S2=1/n(x12+x22+……+xn2-nx2)(※)的推导过程知S2≥0.当S2>0时,说明数据存在波动。当S2=O时,说明x1,x2…xn这几个数之间不存在波动,即x1=x2=…xn=x。许多数学问题,若能认真观察,根据已知(所求式或     

“代数初步知识”的教学刍议

数学思想方法是学生获取知识、解决问题、建立合理而又迅速的思维结构的有效工具,信息社会越来越多地要求人们自觉地运用数学思想方法来提出问题、分析问题、解决问题、评价问题,要具有数学头脑和眼光。目前学生运用数学思想方法的意识还很淡薄,数学思想方法的教学也尚处在初级阶段,为此我们在有关专家、教授的直接指导下,于1993年秋季开始进行了“MM教育方式”(即贯彻数学方法论的教育方式,全面提高学生素质,简称MM课题)的实验,旨在探索初中数学教学中渗透数学思想方法,提高学生素质的有效途径。下面以“代数初步知识”的教学为例谈谈我们的一些认识和做法。     

方差简化公式的记忆及应用

我们知道方差公式 S2=1/n[(x1-(-x))2+…+(xn-(-x))2]① 可以简化为 S2=1/n[(x12+x22+…+xn2)-n(-x)2]② 一、公式的记忆 利用公式②,只要直接计算各个数据的平方,而不必计算各个数据与样本平均数的差的平方,这样就少了一个步骤,有时比较方便.但记住公式②有一定难度.笔者在教学过程中发现,公式②可稍作变形为     

解读数据的三个特征数

平均数、众数、中位数都是一组数据的代表,反映这组数据的特征.它们分别代表这组数据的“平均水平”、“多数水平”、“中等水平”,这三个量从不同角度描述一组数据的集中趋势.11平均数是反映样本数据平均水平(或称为综合水平)常用的一个特征数.平均数的计算公式为:样本数据x1,x2,x3,…,xn的平均数x=x1+x2+xn3+…+xn.由公式可以看出,一组数据的平均数与这组数据中的每个数均有关系.在运用此公式求平均数时,若样本数据x1,x2,x3,…,xn较大,为了使计算更简便,可先将原数据分别减去同一个适当的数a,得到一组新数据x′1,x′2,…,x′n,然后求新数…     

例谈“方差”模型在求解数学竞赛题中的妙用

<正>数据方差公式是统计中的重要公式,除了用于判断数据的波动程度的大小外,在解决数学问题时具有极其广泛的运用价值．对于数学中的其它一些问题,若能根据特点,巧妙应用或构造“方差”模型来求解,则思路清晰、明快简捷,常常会有出其不意的解题之效．本文从竞赛视角谈谈“方差”模型在数学解题中的妙用．     

方差性质在解决多变元问题中的应用

在初中统计知识中,有一个反映一组数据波动大小的特征量——方差.设n个数据x_1,x_2,…,x_n的平均数为     

平均数、方差的两个性质及应用

平均数、方差是统计初步中的重要概念,它有两个易懂、实用的性质: 若n个数据x1,x2,……,xn的平均数是x,方差为S2,那么: 1.n个数据x1 a,x2 a,……,xn a的平均数是x a,方差不变; 2.n个数据kx1,kx2,……,kxn(k≠0)的平均数是kx,方差是k2S2. 证明这两个性质并不难: 证明:∵x1,x2,……,xn的平均数、方差     

方法型数学模型教学的实践与思考——以苏科版“二次根式乘除(1)”为例

方法型数学模型几乎贯穿整个初中数学教学.很多一线教师在此类课型的讲授中出现“重应用,轻探究”的现象,学生的学习以“被告知+反复训练”为主.本文以苏科版“二次根式乘除(1)”教学为例,探究了方法型数学模型的教学过程,提出了方法型数学模型要重探究、转变学生的学习方式、培养学生的问题意识等观点,旨在通过此类模型的学习提升学生的核心素养.     

构造方差巧解数学竞赛题

方差22212[()()(nSxxxxx=- - -L 2)]/xn-(其中x是n个数据12,,nxxxL的平均数)是用于描述数据波动的情况的一个量.方差的表达式可以写成222212[()nSxxx= L 2122()/]/xxxnn- L,显然有20S(当且仅当12nxxxx====L时等号成立).利用方差的这一变式,我们可以通过构造方差来解决一类有关n个实数的和与其平方和之间的关系问题.兹以国外数学竞赛题为例说明之. 1 构造方差证明不等式 例1 设3/25x#,证明2123xx - 153219x -<.(2003年全国高中联赛试题) 证明 设原不等式的左边为(0)uu>, ∵1x 、1x 、23x-、153x-的方差 2S=222[(1)(1)(23)xxx - …     

构造方差求最值

设ｎ个数据ｘ1,ｘ2 ,… ,ｘｎ 的平均数为ｘ ,则其方差为ｓ2 =1ｎ[(ｘ1-ｘ) 2 +(ｘ2 -ｘ) 2 +… +(ｘｎ-ｘ) 2 ]=1ｎ[(ｘ21+ｘ22 +… +ｘ2 ｎ) -1ｎ(ｘ1+ｘ2 +… +ｘｎ) 2 ]显然ｓ2 ≥ 0 (当且仅当ｘ1=ｘ2 =… =ｘｎ=ｘ时取等号 )。应用这一公式 ,可简捷、巧妙地解决一些竞赛试题中的最值问题 ,例说如下 :1　求函数的最值例 1　求函数 ｙ=3ｘ+1 -3ｘ的最大值。(1 984年上海市中学生数学竞赛试题 )解　∵ 3ｘ、 1 -3ｘ的方差是ｓ2 =12 [(3ｘ) 2 +(1 -3ｘ) 2 -12 (3ｘ +1 -3ｘ) 2 ]=12 (1 -12 ｙ2 )≥ 0 ,∴ ｙ2 ≤ 2 ,故ｙｍａｘ=2。例 2　求…