椭圆性质应用一例案例分析

一、教材分析： 研究性学习是近年来兴起的一种全新的教学方式，它主要着重于学生学，鼓励学生以类似科学研究的模式，进行主动探究。它把目标指向学生的创新能力、问题意识，以及关注现实、关注人类发展的意识和责任感的培养，而不仅仅是知识的传播和掌握。探究性则是研究性学习的主要特征之一，其利于改变学生学习数学的方式，它强调“做中学”，力图通过学生“做”的主动探究过程来培养他们的创新精神、动手能力和解决问题的能力。     

例谈数学解题中正难则反的原则

“正难则反”原则是解答数学问题的一种灵活思维的思想方法,它提醒我们,当从正面入手解答数学问题感到困难时,可以考虑从问题的反面着手去解答.下面结合数学中的具体例子谈谈“正难则反”这一数学思维的应用.例1若函数f(x)=(a?2)x2?4ax+2a?6的图像与x轴有两个交点,其中至少有一个在x轴的负半轴上,求实数m的取值范围.分析“两个交点至少有一个在x轴的负半轴上”包含三种情形,而其否定情形“两个都不在x轴的负半轴上”则较简单,因此从反面入手较容易.解假设两个交点都不在x轴负半轴上,设函数图像与x轴的两个交点的横坐标分别为x1,x2,则有12402…     

你会用"Δ"求"a"吗?

在二次函数中 ,若已知抛物线顶点坐标和图像与x轴两交点间的距离 ,可利用“Δ”的整体性来求二次项系数“a”的值。现以一例示之 ,供参考。题　已知二次函数顶点坐标是 ( 2 ,8) ,对称轴平行于 y轴 ,它的图像与x轴两交点间的距离是 8,求此函数的解析式。分析　解题的常规思路是利用对称轴的对称性 ,先求出图像与x轴的两个交点的坐标 ( -2 ,0 )、( 6,0 ) ,再用 y =a(x -6) (x+2 )或 y=a(x -2 ) 2 +8求a的值即可。在解题的过程中 ,我发现了抛物线顶点的纵坐标4ac-b24a ,与图像与x轴两交点间的距离 b2 -4ac|a|之间有一定的联系 ,它们都含有“b2 …     

观察·联想·探求--一道习题的动态研究实录

研究性学习体现在课堂教学中,强调学生自主性、创造性地学习,要求学生对知识主动探求,重视问题的发现与解决.这就需要教师在教学中为学生创设情境、营造氛围.现选取一堂课例,求教与同仁.这节课是在学习了圆锥曲线一章基础知识以后进行的.上课开始,教师板书:例1 求过两圆x2+y2+3x-y=0,3x2+3y2+2x+y=0交点的直线方程. 教师导言:这道习题貌似简单,其实却有丰富内涵,先请同学们给出它的基本解答.于是得:     

研究性学习的教学案例

在教学中,如何开展“研究性学习”的教学活动,许多老师已做了大量的实践.笔者在教学过程中,根据数学教学大纲和学生的现状,适当开设一些学科性的小课题进行研究性学习的教学探索,其教学目的是:(1)让学生学会提出问题和明确探究方向;(2)体验数学活动过程;(3)培养学生的创新精神;(4)让学生学会交流.下面就一个教学案例,探索课堂教学中“研究性学习”的教与学.例题过椭圆x2/5+y2=1的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB,点M在x轴上,且使FM为∠A MB的平分线,求点M的坐标.可求得M点坐标为(?5/2,0),解法略.问题1点M为该椭圆左准线与x轴…     

二次函数考点分析

二次函数是初中数学的核心内容,是中考的重点.下面以2015年中考题为例,归纳二次函数的常见考点如下,供你学习时参考. 考点一 二次函数的图像与性质 例1(2015年黔南卷)二次函数=x2-2x-3的图像如图1所示,下列说法中错误的是(). A.函数图像与y轴的交点坐标是(0,-3) B.顶点坐标是(1,-3) C.函数图像与x轴的交点坐标是(3,0)、(-1,0) D.当x＜0时,y随x的增大而减小 解析:y=x2-2x-3,当x=0时,y=-3,二次函数图像与y轴的交点坐标是(0,-3),选项A正确. y=x2-2x-3=(x-1)2-4,顶点坐标为(1,-4),选项B错误.选B.     

“判别式”在解题中的应用

实系数一元二次方程ax~2+bx+c=0(其中a≠0)的判别式Δ=b~2-4ac,与方程的根,有下列关系存在: >0时,方程有两个不等的实根; Δ=b~2-4ac =0时,方程有两个相等的实根; <0时,方程没有实根。从几何意义上来看,二次函数y=ax~2+bx+c(其中a≠0)的图象是一条抛物线,也有下列关系存在: >0时,抛物线与x轴有两个交点(相交); Δ=b~2-4ac =0时,抛物线与x轴有一个交点(相切); <0时,抛物线与x轴没有交点(相离)。     

抛物线中的“四点”“五距”

一、抛物线中的"四点"抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的"四点"是指抛物线与x轴的两个A交点,与y的交点及抛物线的顶点(如图).抛物线与x轴的两个交点是A(x1,0),B(x2,0).其中x1、x2是当y=0时,方程ax2+bx+c=0的两根;     

初中数学课堂教学探究性学习案例简析

研究性学习是近年来兴起的一种全新的教学方式 ,它主要着力于学生的学 ,鼓励学生以类似科学研究的模式 ,进行主动探索 .它把目标指向学生的创新能力、问题意识 ,以及关注现实、关注人类发展的意识和责任感的培养 ,而不仅仅是知识的传播和掌握 .探究性则是研究性学习的主要特征之一 ,其有利于改变学生学习数学的方式 ,它强调“做中学” ,力图通过学生“做”的主动探究过程来培养他们的创新精神、动手能力和解决问题的能力 .而立足于课堂 ,深入钻研教材 ,是数学课堂教学中实施探究性学习的基础 .我们结合承担的浙江省温州市教育科学规划课题的…     

一次函数的一个性质及其推论的应用

<正>我们知道,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴、y轴的交点坐标是(-bk,0)和(0,b),它具有如下性质:一次函数的图象与x轴所夹锐角的正切值等于|k|.反之,|k|等于一次函数图象与x轴所夹锐角的正切值.推论:已知l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b2,若k1=k2(b1≠b2),则l1∥l2.     

研究性学习问题展评

研究性学习是近年来兴起的一种全新的教学方式,它主要着力于学生的学,鼓励学生以类似科学研究的模式,进行主动探索.它把目标指向学生的创新能力、问题意识以及关注现实、关注人类发展的意识和责任感的培养,而不仅仅是知识的传播和     

如何求解“是否存在”型题

存在性问题是指判断满足某种条件下的结论是否存在的数学问题。解决这类问题的方法有两种,一种是具体找出满足条件的数学对象;另一种是假定其存在,通过推理导致矛盾,从而判断所讨论的数学对象不存在,现举例如下,供同学们参考。例1　已知抛物线y=x2-5mx+4m2(m为常数)(1)求证:此抛物线与x轴一定有交点;(2)是否存在正数m,使已知抛物线与x轴两个交点的距离等于6m-1? 若存在,求出m的值,若不存在,说明理由。证明(1):∵△=b2-4ac=(-5m)2-4×1×4m2=25m2-16m2=9m2≥0 　　　　∴此抛物线与x轴一定有交点。(2)假设存在正数m,使已知抛物线与x轴两个交…     

谈抛物线与x轴的两个交点和顶点连线构成的三角形

抛物线y=ax~2+bx+c(a≠0)当Δ=b~2-4ac>0时,它与x轴有两个交点,这两个交点和顶点的连线构成等腰三角形。我们提供下列三个计算公式:     

试论一元二次方程和二次函数的关系

正一元二次方程以及二次函数是九年级的重要内容,它们之间联系紧密。我现对它们的关系加以总结、归纳,来帮助学生学习和复习。二次函数通用解析式为:y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0),一元二次方程一般形式为ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,a≠0),单从形成上看就很像。当二次函数的值为零时,也就是说求解二次函数与x轴交点问题时,可转化为一元二次方程来解决。一、一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c图像与x轴的交点1.△0时,方程有两个不相等的实数根x1、x2,二次函数与x轴有两个不同的交点,其     

二次函数、反比例函数错解例析

在学习二次函数、反比例函数时,有些同学常因概念不清、思维不周或理解不透而发生解题错误.现列举几例共同探究. 例1 已知抛物线y=(m-3)x2-2mx+m与x轴有两个交点,求m的取值范围. 错解:∵抛物线与轴有两个交点,∴△>0,即(-2m)2-4×(m-3)×m>0解得m>0.     

Δ~(1/Δ)/|a|在二次函数问题中的应用

如果抛物线y=ax~2 bx c与x轴有两个交点,那么方程ax~2 bx c=0有不相等的两实根,反之亦然,此时 ∵方程的两根为: ∴抛物线y=ax~2 bx c与x轴的两个交点A、B之间的距离为: 如果把作为一个公式来应用,那么对解决某些有关二次函数的问题就显得简便多了。 一、求二次函数的解析式 例1,已知对称轴与y轴平行的抛物线和y轴交点到原点的距离等于6,与x轴两交点的距离等于2,并且顶点在直线x y=0上,求二次函数的解析式。 解:设y=ax~2 bx c, 则顶点为 根据题意得: 解得: ∴所求解析式为: y=2x~2-8x 6或y=-2x~2-8x-6。 例2,二次函数y=ax~2 bx c在x=2时,它的最大值是16,且图象与x轴的两个交点间的距离是8,术该二     

"研究性学习"课程的性质

对于“研究性学习”一般可以有两种理解:一是将“研究性学习”视为一种与接受式学习相对应的学习方式,二是将“研究性学习”视为一种主要采取研究性学习的方式进行的学习活动。 作为一种学习方式的“研究性学习”是与接受式学习相对应的,这种学习强调学生的主动探究和自主学习,其主要特征是通过高水平的思维来学习,基于问题解决来建构知识。这种学习方式是最适合未来与当今现代化社会需要的,应大力提倡,可以在校内外各种教育、教学活动中渗透运用。 作为一种学习活动的“研究性学习”,它和信息技术教育、社区服务与社会实践以及劳动技术教育共同组成“综合实践活动”,是我国基础教育课程体系的有机构成,是一个独具特色的课程领域,已经于2000年秋季在全国部分省市普通高中试行,并于2001年秋季在全国部分小学(三年级起)和初中试行。 无论从学习内容、学习方式、教学组织形态、教师角色还是其它方面看,作为一种学习活动的“研究性学习”课程,对于广大中小学教师而言,都是全新的。那么“研究性学习”课程到底是一门怎样的课程,如何认识它和其他学科间的关系等等,成为大家十分关注而又必须了解的问题。     

内接于抛物线的图形面积问题

内接于抛物线y=ax~2+bx+c(a≠0)的几何图形面积问题是近来中考的热点问题,由于它是融几何、代数于一体的综合题,同学们往往感到困难,为了便于同学们巩固所学知识,提高中考成绩,现分析如下: 一、以抛物线与x、y轴的三个交点为顶点的三角形面积设抛物线与x轴的交点A(x_1,0),B(x_2,0),与y轴的交点C(0,c),则     

老问题新探究——一节研究性学习课例实录

研究性学习是一种教学理念,是一种以学生的研究活动为中心的开放式学习,华东师范大学霍益萍教授说得好:“时空的开放、形式的开放都是次要的,重要的是思维的开放,思想的开放.”研究性学习随着新课程的开展也逐步在课堂有所体现,但是在教学第一线的教师们为此感到困惑,下面是笔者一次亲身经历的研究性学习课例,当时我感到课堂气氛十分踊跃,觉得效果也不错,因此特将本课例实录如下,供广大同行们借鉴,目的是给大家有所启发.师:同学们,我们一起来看一道题目:已知圆C1:x2 y2 2x 2y-8=0与圆C2:x2 y2-2x 10y-24=0相交于A,B两点,求直线AB的方程.…     

a、b、c的符号与抛物线

我们知道,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象叫做抛物线,它的顶点坐标是(-2ba,4ac-b24a),对称轴是平行于y轴的直线x=-2ba·而a、b、c的符号与抛物线在坐标系中的位置关系有以下三条规律:1·a的符号与抛物线开口方向的关系:(1)a>0抛物线开口向上;(2)a<0抛物线开口向下·2·a、b的符号与抛物线的对称轴的位置的关系:(1)ab>0对称轴位于原点左侧;(2)ab<0对称轴位于原点右侧;(3)b=0对称轴是y轴(直线x=0)·3·c的符号与抛物线和y轴交点的位置的关系:(1)c>0抛物线和y轴的正半轴相交;(2)c<0抛物线和y轴的负半轴相交;(3)c=0抛物线和y轴的交点就是顶点·…