常用有理化因式的类型及应用

在进行二次根式的运算时 ,往往需要把分母有理化 ,而分母有理化的方法则是把分子、分母同乘以分母的有理化因式 ,因此分母有理化的关键是找分母的有理化因式。我们清楚 ,两个含有二次根式的代数式相乘 ,如果它们的积不含有二次根式 ,就说这两个代数式互为有理化因式。由此可知 :1. a与 a互为有理化因式例 1.把下列各式分母有理化 :112;2 x+ 1x- 1(x>1)。解 :112=22· 2=22 ;2 x+ 1x- 1=x+ 1· x- 1x- 1· x- 1=x2 - 1x- 1。2 .a+ b与 a- b互为有理化因式例 2 .分母有理化 :n+ n2 - 4+ 2n- n2 - 4+ 2(n>2 )。解 :n+ n2 - 4+ 2n- n2 - 4+ 2= …     

分母有理化与有理化因式

分母有理化是进行二次根式运算和化简的有力工具.而进行分母有理化的关键是确定分母的有理化团式,有理化因式有下列五种情形.一、a～(1/2)和a～(1/2)互为有理化因式例1 化简并求值:(1998年山西省中考题)解 原式     

分母有理化

在进行二次根式的除法运算时往往采用分母有理化的方法,化去分母中的根号.那么怎样进行分母有理化呢?一般地说,常用这样两种方法:一是将分子与分母同乘以分母的有理化因式;二是应用因式分解公式、约分的办法.     

分母有理化的若干技巧

分母有理化的一般方法是:先找出分母的有理化因式,然后用这个有理化因式去乘以分子和分母.但有些特殊的二次根式化     

二次根式的化简与运算

1.分母有理化例 1.化简 16 - 2。解 :原式 =6 + 2(6 - 2 ) (6 + 2 )= 6 + 24 。〔说明〕:利用分母有理化化简二次根式的关键是准确地找出分母的最简化有理因式 ,再利用分式的基本性质运算。2 .运用公式法例 2 .计算 :(2 + 3-6 ) (2 - 3- 6 )。解 :原式 =〔(2 - 6 )+ 3〕·〔(2 - 6 ) -3〕 =(2 - 6 ) 2 -( 3) 2 =8- 4 3- 3=5 -4 3。〔说明〕:二次根式的乘除运算 ,要根据题目的特点 ,充分利用乘法公式 ,使计算过程简化。3.拆项法例 3.计算1+ 2 3+ 5(1+ 3) (3+ 5 )。解原式 =(1+ 3) + (3+ 5 )(1+ 3) (3+ 5 )=13+ 5+ 11+ 3=5 - 32 + 3- 12 =5 - …     

异分母分式加减运算的通法和巧法

异分母分式的加减法是分式运算的重点和难点,必须切实掌握,其方法是先通法,后巧法.一、运用通法,掌握异分母分式的加减法的一般步骤(1)把各分式的分母分解因式;(2)确定各分式的最简公分母;(3)运用分式的基本性质化异分母为同分母;(4)进行计算,并将最后结果化为最简分式.例1计算:aa2+-3bb2+a1+b+b-1a.解原式=(a+ab)+(3ab-b)+a+1b-a1-b=(a+ab+)(3ab-b)+(a+ab)-(ab-b)-(a+ab)+(ab-b)=(a+3b)+a-b-(a+b)(a+b)(a-b)=(a+(ab)+(ab)-b)=1a-b.二、运用巧法,由于一些题目按通法解答繁杂,若抓住其特点,善用技巧,可化繁为简例2计算:a-1b+a1+b+a22+ab2+a44…     

二次根式

基础篇课时一　根式的概念诊断练习一、填空题1.当 x时 ,| x| - 1有意义 .2 .若 x - y + 3+ ( x + y - 1) 2 =0 ,则x2 + y2 = .3.n是正整数 ,当 n =时 ,2 n- 2 是最简二次根式 .4 . 1- x + x - 1=.二、选择题1.下列各式中 ,最简二次根式是 (　　 )( A) ab2 .　　　　　 ( B) ba.( C) a2 b2 . ( D) 5x2 y.2 . x - x + 1的有理化因式是 (　　 )( A ) x + 1.　　　　 ( B) 2 x.( C) x - x - 1. ( D) x + x + 1.3.如果最简根式 2 a - b + 6与 3 a- b 4 a + 3b是同类二次根式 ,那么 (　　 )( A ) a =2 ,b =1.　　　　 ( B) a =1,b =1.( C) a…     

学习二次根式的基本思路

一、明确几个概念1 .二次根式 :一般地 ,式子 a (a≥ 0 )叫做二次根式。2 .最简二次根式 :(1 )被开方数的因数是整数 ,因式是整式 ;(2 )被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。3.同类二次根式 :几个二次根式化成最简二次根式以后 ,如果被开方数相同 ,这几个二次根式叫做同类二次根式。4.分母有理化 :把分母中的根号化去 ,叫分母有理化。依据是 :分式的基本性质。5.有理化因式 :两个含有二次根式的代数式相乘 ,如果它们的积不含有二次根式 ,这两个代数式互为有理化因式。其特点是 :(1 )成对出现 ;(2 )两式相加、相乘 ,其结果均为常数。二、…     

关于一元二次方程整数根的应用策略

一、求根法用分解因式法表示出一元二次方程的两个解,再利用约数的特性及根据题意解决此类问题·例1已知方程a2x2-(4a2-5a)x+3a2-9a+6=0(a为非负整数)至少有一个整数根,那么a=·解:原方程变形,得[ax-(3a-3)][ax-(a-2)]=0,所以ax=3a-3或ax=a-2·因为a为非负整数,所以x1=3aa-3=3-3a,x2=a-a2=1-2a·当x1为整数时a为3的正约数,所以a=1或3;当x2为整数时a为2的正约数,所以a=1或2·所以a=1或2或3·二、判别式法当一元二次方程有整数根时,首先必须确定整系数和判别式必为完全平方数,然后进一步验证·例2设m为自然数,且1相似文献   

因式分解的换元解法

换元法是数学中的一个重要的思想方法。就是将代数式中的某一部分用一个新字母(元)来替换。此法用于多项式的因式分解,能使隐含的因式比较明朗地显示出来,从而为合理分组、运用公式等提供条件,使问题化难为易。例1分解因式(x2+xy+y2)2-4xy(x2+y2)。解:设x2+y2=a,xy=b,则原式=(a+b)2-4ab=(a-b)2=(x2-xy+y2)2。例2分解因式(x+y-2xy)(x+y-2)+(xy-1)2。解:设x+y=a,xy=b,则原式=(a-2b)(a-2)+(b-1)2=a2-2ab-2a+4b+b2-2b+1=(a-b)2-2(a-b)+1=(a-b-1)2=(x+y-xy-1)2=〔(1-y)(x-1)〕2=(y-1)2(x-1)2。例3分解因式(x2-4x+3)(x2-4x-12)+56。解:设x2-4x=y,…     

二次根式除法运算的三种思维方法

1.直接用商的算术平方根的性质把 ab=ab (a≥ 0 ,b>0 )反过来 ,得 ab= ab(a≥ 0 ,b>0 )。当被除式的被开方数能被除式的被开方数整除时 ,可以运用 ab=ab(a≥0 ,b>0 )进行二次根式的除法运算。例 1 .计算下列各式 :(1 ) - 1 23÷ 56;(2 ) 2 x2 y2z3 ÷ (- xy2 z)。解 :(1 ) - 1 23÷ 56=- 1 23÷ 56= - 53× 65=- 2。(2 ) 2 x2 y2z3 ÷ (- xy2 z) =- 2 x2 y2z3 × 2 zxy= - 4 xyz2 =- 2z xy。说明 :这种方法对于一般情况不完全适用。对于一般情况 ,通常采用分母有理化的方法。2 .分母有理化分母有理化 ,即把分母中的根号化去。如计算3÷ 5 ,…     

分母有理化与分子有理化

在初中“九年义务教育”二年级代数第二册P182给出分母有理化的定义，把分母中的根号化去，叫做分母有理化。而分母有理化的关键是如何找出分母的有理化因式，下面给出一些常见有理化因式：定义，如果两个根式之积为有理式时，则这两个根式叫做互为有理化因式。例如：故是互为有理化因式。类似有：都是互为理化因式。如果再把上述常见的有理化因式加以推广，还可以得到如下情形。情形之一，关于任何有限个算术平方根的代数式，进行有限项有理化的过程，最终必得到一个完全有理式。例：求的有理化因式。解：乘以得再乘以有理化团式原式的有…     

构造有理化因式解题

利用互为有理化因式的意义(“两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式”),构造有理化因式解题,常能起到以简驭繁、化难为易的作用. 例1 若a=1996/(?)1997-1,则a5-2a4-1996a3的值为____. 解:由题设有a=(?)1997+1,又设b=(?)1997-1,则a-b=2.ab=1996.因此,原式=a5-(a-b)a4-ab·a3=a5-a5+a4b-a4b=0. 评注:这里构造的(?)1997+1的有理化因式(?)1997-1,将求值式中的“2”、“1996”分别用a-b、ab替换,将代数求值题转化为整式运算,使     

用共轭根式巧解无理方程

我们称式子√a+√b与式子√a-√b互为共轭根式(有理化因式)．从课本上可知,用共轭根式可以进行分母有理化．实际上,注意到两个共轭根式的积是简单的有理式,那么,可以用共轭根式来巧解一类无理方程．     

公式法分解因式三注意

公式法是分解因式的重要方法之一,运用公式法分解因式时除正确理解和准确记忆公式外,还需注意以下三点.一、注意直接运用公式.所给多项式符合某种公式模型时,直接运用公式分解因式.例1分解因式:(1)25a2-16b2;(2)4(a-2b)2-12(a-2b)+9.解析(1)中的多项式是两项差的形式,符合平方差公式特征,故想到用平方差公式.把25a2写成(5a)2,16b2写成(4b)2,原式便呈现出平方差公式模型来.原式=(5a)2-(4b)2=(5a+4b)(5a-4b).(2)式中把2(a-2b)看成一个整体,原式便符合完全平方公式的特征.原式=[2(a-2b)-3]2=(2a-4b-3)2.评注运用公式法分解因式,首先应将平方差…     

巧用分母(或分子)有理化解题

我们知道，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则称这两个代数式工为有理化因式．化街一个式于时，如果分母是二次根式，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法，可以把分母中的报号化去（即分母有理化）；如果分子是二次根式，那么也可以把分子中的报号化去（即分子有理化）．在根式的运算中，有些题目需要把分母有理化，还有些题目，需要把分子有理化．巧用分母（或分子）有理化解题，往往能化繁为简、化难为易．例1已知，求的值．分析若将代入计算，其运算之繁杂可想而知的；但若将作变换后再代入，运算…     

分母有理化中的一类错误

分母有理化算中,易忽略分母所乘的配偶因式为零的情况。 例如,人教社新教材《代数》第二册p.205,A组4(9):分母有化化:2 3x-2/1 x-2(x>2).教师用书的答案是-3x 8 x-2/3-x. 答案是不全面的.当x=3时上式无意义.原因是在2 3x-2/1-x-2=(2 3x-2)(1-x-2)/(1 x-2)(1-x-2)     

分母有理化的十种技巧

常用的分母有理方法是分子、分母同乘以分母的有理化因式。但是,如能根据根式的有关概念和性质、结合题目的特点,利用整式、分式的一些计算技巧进行分母有理化,则可使运算简捷明了,产生神奇的效果。现举例如下:     

分式的加减知识导学

一、同分母分式加减法 同分母分式相加减,把分子相加减.用式子表示为:a/c±b/c=a+b/c. 特别提醒:(1)式中的a,b,c,d可以是单项式,也可以是多项式,当分子相加减时,一定把各分子看做一个整体,加上括号.(2)运算后的结果要进行约分化简. 解题方法:同分母分式加减法,(1)分母不变,分子相加减;(2)分子相加减后,分子、分母能因式分解的一定要因式分解,以便约分化简.当分母互为相反数时,应根据分式的符号法则化为同分母.     

分母有理化应注意的问题

在分母有理化时，应重视分式的性质，否则会导致解题错误．下面以人教版初二《代数》中的几个二次根式习题为例来分析．例１化简a２－３a＋３√．误解：a２－３a＋３√＝（a２－３）（a－３√）（a＋３√）（a－３√）＝（a２－３）（a－３√）a２－３＝a－３√．剖析：这种解法是利用有理化因式将分母有理化，但是当a＝３√时，a－３√＝０，a２－３＝０，解题过程却出现了将分子分母同乘以（a－３√），即分子分母同乘以０了，这是分式的性质不允许的．解题过程中还出现了分母含有因式（a－３√）和（a２－３），即分母为零．因而这种解法…