每期一题

题:从射线OB与圆x~2 y~2=2ax的交点B向Ox轴作垂线BC,C为垂足,求C在OB上射影的轨迹方程。解一:选取过定点的动直线斜率为参数。如右图,设直线OB斜率为k(k为参数),OB直线方程为y=kx, y=kx由 { x~2 y~2=2ax, x_1=0 x_2=2a/(1 k~2) ∴ { { y_1=0 y_2=2ak/(1 k~2) 则C(2a/(1 k~2),0)     

每期一题

题:设锐角α和β满足等式 sin~2α+sin~2β=sin(α+β), 试证明α+β=1/2π。本题是第十七届苏联数学奥林匹克十年级第1题。引导学生深入探索其题设与题断间的内在联系,寻求它的种种不同的证明途径,无疑将有益于学生分析、判断、推理诸能力的增强。下面介绍该题的四种证法。证法一(分析法)将已知等式改写为sin α(sinα-cosβ)=sinβ(cosα-sinβ) 因为 sinα>0,sinβ>0,所以只能有     

每期一题

题已知M为边长是1的正方体AC_1的棱AA_1的中点,P为CC_1上任一点,求过D、M、P的截面中所有的四边形面积的最大值。解分两步,设N为CC_1的中点,首先证明当P在CN上(包括N点)时,截面是平行四边形;而当P在NC_1上(不包括N)时,截面是五边形。然后求四边形面积的最大值     

每期一题

题设z是一个复数,且{z卜1,求122 训了一3f’1的最大值与最小值,并求取得相应最大值与最小值的复数:。1。代教法 解法1.设刁==a bi(a、b〔R),财由!21=1,得a么 bZ=1。由此得 122 了丁一3i{=2了4十7了厅二息乙。令犷二4 斌了a一3b,(,>0) 则有夕=4 训丁a士3侧1一砂,移项得梦一了丁a一4=士3、/I二一砂,两边平方整理得 12‘, (8了丁一2了丁,)a 92一8召 7 二O。① 由于}a}《1,。〔刀,关于a的一元二次方程①的判别式△二(8训丁一2、/丁妇“一48(g,一8夕 7)》0即万1一8封 4《0,②.’.4一2记丁《对《4 2侧丁,③.,.当,二4 2、/丁时,}22 、/丁一31}。…     

每期一题

题已知 ABCD为圆O的内接正方形,P为AB上任一点,求证: PD~2-PB~2=2PA·PC。 (云南大理开思) 证一连结BD、AC,并作PM⊥AC,PN⊥BD,垂足分别为M、N。在rt△PBD中,由射影定理有     

每期一题

题在△ABC中,已知艺刁二2匕B=4匕C,一、丫1 .11水脸万十万=万①此题形式醒目,条件简明,结论规范,很吸引人。证题有两种思考途径,一是综合法,“由因导果”用综合法:由艺A二2乙B=4了C,及乙A 乙B 怎样着手解呢?,二是分析法,“执果索因”。匕C=二,可推得三个角分别为叁72兀4兀7但它     

每期一题

题一金工车间的切割工具呈有缺口的圆形,如图一所示,圆的半径是50~(1/2)cm,AB之长为6cm,BC之长为2cm,∠ABC为直角,求B点到圆心的距离(以cm为单位)。解法一 (利用直角三角形内有关定理)如图二,     

每期一题

题:一平面过三棱锥P—ABC的棱PA、PB、AC、BC的中点M、N、R、T,求证:这个平面把三棱锥P—ABC的体积二等分。证法一:连PT、PR、AT、AN,由题设知PC、AB平行于平面MNTR,且到平面MNTR的距离相等。∴V_P=MNTR =V_A-MNTR     

每期一题

题设对所有实数二,不等式XZ‘。;:红等丝 Zx‘。92击十‘。92镖买>0,09:红誓卫>o冷①’‘言‘>音号二>2宁>矗等>0或②‘092号<。恒成立,求。的取值范围。(1987年高考理科数学试题第六题)。 这里提供几种不同于《评分标准参考解答》,抓住“恒成立”的恒字的一些简捷解法。‘o‘2     

每期一题

题:锐角三角形ABC的顶角A的内分角线交BC于L,又交三角形外接圆于N,过L分别作AB和AC边的垂线LK和LM,垂足是K和M。求证:四边形AKNM的面积等予三角形ABC的面积。(第28届IMO试题第一试2题)     

每期一题

题:过抛物线y~2=2px(p>0)的焦点F,作二直线与抛物线交于A、B和C、D,以AB和CD为直径作二圆,则此二圆的公共弦必经过抛物线的顶点,试证之。本题证法较多,大致可分为以下三种类型:     

每期一题

题求过圆物一1)“十妙一].)“=1外一点P(3,2)向该圆所引切线的方程。 (宿州市三八中学陈新昌) 解法一:设过P(3,2)的圆(x一1)2十(y一1)“=1的切线方程为y一2二I.(。一3)即无x一夕十2一3无=0(x一1)2+(少一1)“=1的切线方程为夕一2=无〔x一3)解方程组{ 即k落一,+2一3左二。(劣一1)2+(y一1)“=工(工)kx一y+2一3无=0(2)则由圆心到切线的距离等于半径,一_。}k。1一1。1+2一3k!而有一土兰少一红){全二巴{卫一=1 、/八:+(一1)2 把(劝代入(l)整理,得 (1+无2)xZ一(2一Zk+6k“)x++gk之一6k+1二0 .’.圆(二一i)2十(y一1)“=1与直线相切, ·’.△=〔一(…     

每期一题

题求函数(x)=(x~2 x 1-)(1/2) (x~2-x 1)(1/2)的值域。首先注意到(x)为奇函数,故只需研究x≥0的情况;其次,设当x≥0时,它的值域为y,因为函数连续,(0)=0及lim(x)=1,可知y〔0,1),故以下各解法均只证明y〔0,1〕。解法1(平方法)∵ x≥0, ∴(x)≥0,此时~2(x)=2(x~2 1)-2(x~2 1/2)~2 3/4(1/2) <2(x~2 1)-2(x~2 1/2)=1(x)∈〔0,1〕,故(x)的值域为(-1,1)。解法2(有理化法)将(x)的分子有     

每期一题

题:如图,椭圆 x~2/a~2+y~2/b~2=1的切线与两坐标轴分别交于A、B两点,求三角形OAB的最小面积。 (下面一些解法是解析几何极值问题的常用解题方法。) 解法一利用二次函数极值知识。设切点为(x_0,y_0)(x_0>C,y_0>0),则切线AB的方程为     

每期一题

题:如图,角形,尸、Q、试证△尸QR亦是正三角形 (芜湖市1983年高中数学竞赛试题)。 设ABC、A尸B,C产是二正三R分别是AA‘、BB‘、CC‘中点,图1 证法1(位似缩小加旋转)连A‘B、A‘C,E、F分别为其中点。连尸石、QE,pF,刀F,EF。利用三角形中位线定理,易知△pEF是△ABC的位似图形,A‘是位似中心,相似比为一含。 ,.’ pE=寺月B二一参月C==尸F, QE=士A/B‘二一吞一A‘C/二RF,又PE与PF交角为60。,EQ与FR交角为心 .’.以p为顶点,将△pOE旋转600,即与△PRF重合,故此二三角形全等。(或证匕尸EQ=匕PFR:如图2,延长OE交RF延长…     

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题:设a、b、c、d是给定的正数,且b相似文献   

每期一题

题:设a、b、c是三个非负实数,求证:亿歹干歹十侧护不奄豆十了歹不砰》侧万(a+b+c)。 证法一(代数法) ,.’a、b、c为非负数,a’+bZ》Zab .’.2(a’+石“)》(a+b)2a’+b’>士(a+b)2 .’.亿石万下石牙>士侧丁(a千b)同理可得亿乒下毛1)士了丁(b+:) 了户百石下>去侧万(‘+a)三式相加得: 了压f不石万+训歹干砰+侧石厄下万1》士斌万(Za+Zb+Zc)二侧了(a+b+c)。 证法二(利用复数) 设z:二a+b‘::=乙+cfz。==e+ai .’.{之:卜了砰下矛}z:卜了孙不砰 }:3}二了户百石下 ,.’有不等式:}z:卜!z:卜}‘。]>}::+z:+x:} .’.侧aZ+cZ+亿b’+cZ+了eZ+a“=}:,}+…     

每期一题

题:△ABC是⊙○内接锐角三角形,射线AO、BO、CO各交⊙○于A′、B′、C′。记BC=a、CA=b、AB=C,BC′=B′C=a′CA′=C′A=b′、AB′=A′B=c′。求证:abc=ab′c′+a′bc′+a′b′c。分析:本题结论可以改写成: b′c′/bc+c′a′/ca+a′b′/ab=1; 由于∠BA′C与∠BAC互补、∠CB′A与∠CBA互补、∠AC′B与∠ACB互补,     

每期一题

题:设f(x)二侧了不万百,若口、b〔刀,且a今b,求证:}f(a)一f(b)}(!a一b}。 证法一(分析法) {f(a)一f(西)!相似文献   

每期一题

皿解方程‘不不+关不不一二了丁. 娜1(共扼无理式法) 原方程等价于 }沪万万一刹’一。,:丫不于一再一0.功二万一士一。, 沂万+访二落一①对①式两端同,以杯万一沂万, ,厂万刁万万一宁②①一②。沪万于一￡几聋士2.解得工~1+了万 2 注意从不同角度研究方程(.),可得如下独特、新颖的解法。 解4(不等式法) 显然二>。,应用均值不等式得两边平方化简得 二‘一女.一砂+Zx十1二(二.一二‘1).二0. l一沪万于.冉+弄万.卜专[“一乡,+士〕+合〔(1一士)+乡〕一1,解得二.i+了万 2(负根舍去)脸根略。解2(平均值代换法)原方程等价于 不二万可万于一设沂万…