关于∑k=1^n1／k—logn—γ的估计

极限中通项与极限值之间的误差估计是很有意义的，用欧拉常数和泰勒展式，证明这种误差的估计是一种方法。     

关于方程sum from k=0 to n(x-qk)~r=sum from k=1 to n (x+qk)~r

本文证明了对任何正整数n,q,r,方程sum from k=0 to　n(x-qk)~r=sum from k=1 to n(x+qk)~r仅有正整数解:r=1,x=qn(n+1);r=2,x=2qn(n+1)。     

关于和式sum from k=1 to n(cos~Lkβ)及sum from k=1 to n(sin~Lkβ)的计算公式

[1] 文中讨论了sum from k=1 to n(cos~L(kπ)/(2n)) 和sum from k=1 to n(sin~L(kπ)/(2n)) 的计算问题,导出了四个计算公式。在这四个公式中,公式(1)和(3)是很复杂的,不便于应用。本文准备继续来讨论这个问题,为讨论方便起见,现将[1]文中的公式(1)和(3)转抄如下: “当L=2m时,则     

余切函数ctgx与级数sum from n=1 to ∞=1/n~(2k)的和

助于伯努利数及有关欧拉等式 ,将函数 ctgx展成不同形式的级数 ,通过比较得到级数 ∑∞n=11n2 k 的和。     

用公式C_n~k C_n~(k 1)=C_(n 1)~(k 1)巧求sum from k=1 to n(k~2)和sum from k=1 to n(k~3)

由公式C_n~k C_n~(k 1)=C_(n 1)~(k 1),可得:C_2~2 C_3~2 … C_n~2=C_(n 1)~3,sum from k=2 to nC_k~2=C_(n 1)~3,     

和式sum form k=1 to n (k (k 1))~(1/2)界的估计

文【l]中证明不等式 丛写』<一 ~ ……十八又万.沙于卫 卫互卫犷上与位梦广作为和式的上下界是不理想的,因为 达专止一业尸一宁一(,一). (1) 本文拟对(1)的上下界进行改进. 引理1设0相似文献   

形如sum from n=1 to ∞(1/n~(2k))(k≥1,k∈N)的级数求和

大数学家贝奴里曾经利用三角函数展开成无穷级数的方法得到贝奴里级数的值。笔者经过长期的摸索 ,发现可以将函数 f ( x) =xk在 [-π,π]作傅立叶展开 ,得到傅立叶系数 ,代入 Bessel等式 ,求得广义调和级数当 p =2 k时的一种递推关系。利用此递推关系可以求出 ∞n=11n2 k( k≥ 1,k∈ N )的值     

用递推法求sum from k=1 to n k~mr~kcoskα与 sum from k=1 to n k~mr~ksinkα

设 a≠1,记 S_n~(0)=(sum ∑ from k=1 to n)ak=(a(1-a~n))/(1-a),S_n~(1)=(sum ∑ from k=1 to n)kak=(a(1-a~n))/(1-a)~2-(na~(n+1))/(1-a),S_n~(m))=(sum ∑ from k=1 to n)kmak(m∈N)     

再谈sum from k=1 to n K~2、sum from k=1 to n K~3公式的解释

《数学教学通讯》1990年第5期,1991年第2期分别发表了周学璋老师和谭光全老师的文章,对sum from k=1 to n k~2、sum from k=1 to n k~3公式,从面积和体积的角度给出了几何解释,本文想再介绍一种解释一、sum from k=1 to n k~2=1/6n(n+1)(2n+1)的解释     

关于丢番图方程sum from k=1 to n(k!=q~m+a)

与阶乘有关的高次丢番图方程,一直是数论中引人关注的课题。本文研究了方程sum from k=1 to n(k!=q~m+a)主要结果为在一定条件下求出了它的全部正整数解,所用的方法仅限于取有限模。     

也谈sum from k=1 to n k~2、sum from k=1 to n k~3公式的几何解释

《数学教学通讯》1990在第5期发表了周学璋同志“sum from k=1 to n k~2、sum from k=1 to n k~3公式的几何解释”的文章。作者是用面积来解释前者,用体积来解释后者的。如果用体积来解释前者,用面积来解释后者,会显得更简便。把sum from k=1 to n K~2个边长为1的正方体如图1放置,     

关于方程sum from k=0 to n((b-5~rK)~l)=sum from k=1 to n((b+5~rK)~l)

本文证明了:设l,n,b,r为正整数,丢番图方程sum from k=0 to n((b-5~rk)~l)=sum from k=1 to n((b+5~rk)~l)仅有正整数解l=1,b=5~rn(n+1)和l=2,b=2.5~rn(n+1)     

关于丢番图方程sum form k=0 to n(b-21k)=sum form k=1 to n(b+21k)

本文得到下面结论:设n,b,r为正整数,丢番图方程sum from k=0 to∞(1/n)(b-21k)~r=sum from k=1 to∞(1/n)(b+21k)~r仅有正整数解r=1,b=21n(n+1)和r=2,b=42n(n+1)     

关于等幂和sum from i=1 to k(i~n)

证明了每一个等幂和sum from n=1 to ∞(i~n)(n为自然数)都可以表成k的n+1次多项式f_n(k),并给出了f_n(k)关于n的一个递推公式。     

求和公式sum from k=0 to n (k~mr~k~c_n~k)的证明

本文以高级导数的方法简捷地推导出了sum from k=0 to n (k~mrk~c_n~k)求和公式,从而扩展了等幂迭乘和的表示范围,同时得出了r=1、-1、e1θ时的特别结论.     

求sum from k=1 to n(K~3)的又一方法

关于1~3 2~3 … n~3的求和,已有多种方法,现介绍另一种有趣的方法.先考察如下数列的和.S_n=1 (3 5) (7 9 11)十(13十15十17十19) ……①把①中的括号去掉就得到;S_n=1十3 5十7十9 11十13十15十17十19 ……②①与②只是项数不同,①中有n项,②中有1 2 3 … n=n(n十1)/2项.     

调和级数sum (1/n) from n=1 to ∞发散性的证明

级数是数与函数的一种重要表示形式,是微积分理论研究与实际应用中的一种强有力的工具。在级数敛散性的讨论中,调和级数的应用很广泛,关于调和级数发散性的各种方法,对级数敛散性的学习和研究是有益的,特别是在其证明方面能起到举一反三、融会贯通的作用。本文对调和级数发散性的证明方法进行了整理,其中有些采用了与原证不同的叙述,但比原证更加具体明了。     

巧求sum from k=1 to n(K~3)又一法

本刊1995年第1期第37页,蔡金忠先生给出了一种求1~3 2~3 … n~3的新方法,读后很受启发.下面再介绍一种构思独特、颇具新意的方法.∵k~3=k~2,设k~2=s t,k=s-t,则s=k~2 k/2,t=k~2-k/2,∴k~3=s~2-t~2=[k(k 1)/2]~2-[k(k-1)/2]~2=(1 2 … k)~2-(1 2 … (k-1)]~2,     

sum from n=1 to n(i~ma~i)的解析求和公式

给出当m为正整数时的解析求和公式并提出了L三角形的非线性数字邻居关系,较好地揭示了其系数关系．     

sum form k=1 to n k~r=?

“sum form k=1 to n k~r=?”至今仍是个争相探讨的课题。近几年来,国内外曾先后发表过几篇有关的论述(如《数学通报》1979年第5期、1980年第4期和1981年第11期,相继发表了张德志同志、余炯沛同志撰写的和李鸿祥同吉译自美国《数学月刊》上的关于“