用不等式求三角函数式极值(最值)常见错误剖析

求三角函数式的极值,最常用的不等式及其性质、定理,可归纳为以下三个方面: 1.一元二次方程在实数范围内有解,则判别式大于或等于零,即b~2-4ac≥0; 2.三角函数具有有界性,如-1≤sinx≤1,-1≤cos≤1; 3.x_1 x_2 …x_n/n≥(x_1·x_2…x_n)~(1/n)(x_1,x_2,…x_n均为正数,n为正整数,当且仅当x_1=x_2=…=x_n时等号成立)。 利用不等式求三角函数式的极值时常见错误剖析如下:     

有奖解题擂台(117)

<正>题设:x_i为正实数(i=1,2,…,n),且x_1x_2…x_n=1,n∈N,n>3,m是实数,则当m≥n-2或m≤-n+1时,有sum from i=1 to n x_i^m/((1+x_1)…(1+x_(i-1)(1+x_(i+1)…(1+x_n))≥n/2m/((1+x_1)…(1+x_(i-1)(1+x_(i+1)…(1+x_n))≥n/2^(n-1).第一位正确解答者将获得奖金100元.     

巧用方差(初三)

方差用于衡量一个样本数据波动的大小,计公式为:S~2=1/n[(x_1-(?))~2 (x_2-(?))~2 … (x_n-(?))~2]=1/n[x_1~2 x_2~2 … x_n~2-1/n(x_1 x_2 … x_n)~2]。显然S~2≥0,仅当S~2=0时,x_1=x_2=…=x_n。例1已知实数x,y满足求xy的最大值。解视x,y为一组数据,其方差为S~2=1/2[x~2 y~2-1/2(x y)~2]=-1/4a~2 1/2a 3/4≥0。即(a 1)(a-3)≤0,所以或解得-1≤a≤3.所以xy=(x y)~2-(x~2 y~2)/2=5/2(a-2/5)~2-9/10。当a=3时,xy有最大值,为16。例2已知a,b,c三数满足方程组     

庆祝1990年元旦数学趣题

题1.设有1990个数x_1,x_2,…,x_(1990),它们只能取值是0、1、2三个数中的一个,如果记:f_1=x_1 x_2 … x_(1990), f_2=x_1~2 x_2~2 … x_(1990)~2,试用f_1和f_2表示f_k=x_1~k x_2~k … x_(1990)~k (k∈N). 解:设在这1990个数中取值0有S个,取值1的有t个,取值2的有r个,则 s t r=1990,0≤s,t,r≤1990.由此得:f_1=t 2r,f_2=t 4r,     

关于方程1/(x_1~2)+1/(x_2~2)+…+1/(x_(n-1)~2)=1/(x_n~2)的正整数解

我们已经知道(文[1]),不定方程1/x2+1/y2=1/z2 (1) 满足(x,y,z)=1的所有正整数解可表为x=r4-s4,y=2rs(r2+s2),z=2rs(r2-s2) (2) 其中r>s为正整数,(r,s)=1,r,s一奇一偶,这里x,y可交换. 下面我们来推求更一般的这种不定方程1/x_1~(2)+1/x_2~(2)+…+1/x_(n-1)~(2)=1/x_n~(2) (3)     

同余方程a_1x_1 a_2x_2 … a_nx_n≡b(modm)的解法

本文对同余方程 a_1x_1 a_2x_2 … a_ax_a≡b(modm)有解的充分与必要条件和有解时解的个数,不仅给出了新的证明,而且给出了具体的解法.     

函数f(x)=1/(t-x)迭代周期的确定

有这样一个问题:是否存在互不相等的x_1,x_2,…x_n(n≥3),满足 x_1 1/x_2=x_2 1/x_3=…=x_(n-1) 1/x_n =x_n 1/x_1=t. 本文给出一个充要条件,从而解决这个问题。 定理 对t≠2,n≥3,函数 f(x)=1/t-x 在定义域内有n个两两不同的x_1,x_2,…,x_n,使     

不定方程x_1+x_2+…+x_n=1的非负整数解

[定理1] n元一次不定方程x_1+x_2+…+x_n=r的非负整数解共有C_((n+1)_(-1))~(n-1)个(r∈N)。证:考虑由r个1与n-1个0作成的一个排列。令x_1等于排列中第一个0左边1的个数,x_2等于第一个0与第二个0之间1的个数,…,x_n等于最后一个0右边1的个数。例如n=4,r=8,则排列11011110011对应解     

也谈1984年高考数学第八题的解法

题:设a>2,给定数列{x_n},其中x_1=a,x_(a+1)=x_n~2/2(x_n-1),(n=1,2,…)。求证(1) x_n>2,且x_(n+1)/x_n)<1(n=1,2,…);(2) 如果a≤3,那么x_n≤2+(1/2~(n-1)(n=1,2,…)(3) 如果a>3,那么当n≥lg(a/3)/lg(4/3)时,     

引入参数巧证不等式

在证明不等式 F(x_1,x_2,…,x_n)≥N(或≤N) (1)(N为常数)的过程中,有时适当引入某个参数λ,将不等式(1)的证明转化为证明不等式 G(x_1,x_2,…,x_n,λ)≥M(λ)(或≤M(λ))。 (2)而不等式(2)的证明较不等式(1)容易,且两个不等式等号成立的条件一致,利用这一点求出参数λ,进而得出不等式(1)的证明。下面举3例说明。     

一类Hermite——Fejér插值多项式的收敛性

设函数f(x)∈C[-1,1],x=cosθ(0≤θ≤π),α>-1,β>-1.考虑权函数ζ(x)=(1-x)~α(1+x)~β,设J(?)(x)是以ζ(x)为权的正交多项式,并且在L_2范数意义下是规范化的,即(?)~2dx=1,n=1,2,….J(?)(x)的n个零点记为x_1,x_2,…X_n,以{x_1,x_2,…,x_n}为基点的次数不超过2n-1的Hermite—Fejér插值多项式记成H_n(f,x)。     

1997中国数学奥林匹克

第一天 (1997—O1—13 8:00—12:30) 一、设实数x_1,x_2,…,x_(1997)满足如下两个条件: (1)-1/3~(1/2)≤x_i≤3~(1/2)(i=1,2,…,1997);     

第51届IMO预选题(一)

代数部分1.本届IMO第1题.2.已知实数a、b、c、d满足a+b+c+d=6.a~2+b~2+c~2+d~2=12.证明:36≤4(a~3+b~3+c~3+d~3)-(a~4+b~4+c~4+d~4)≤48.3.已知x_1,x_2,…,x_(100)是非负实数,且对于     

再论不等式(α+(1/α))(b+(1/b))≥25/4的推广

(一)引言偶翻期刊,看到两篇文章,涉及不等式的推广(文[1],[2]). 推广1 设x_1>0,i=1,2,…,n,且k≤n.则     

不等式(a+1/a)(b+1/b)≥25/4的再推广

目前已有人把(a+1/a)(b+1/b)≥25/4(a>0,b>0,a+b=1)推广为:设x_i>0(i=1,2,…,n)且x_1+x_2+…+x_n=k,则(x_1+1/x_1)(x_2+1/x_2)…(x_n+1/x_n)≥(n/k+k/n)~n当且仅当x_1=x_2=…=x_n=k/n时取等号。本文对该不等式进一步作了推广,得出两个新的结果。欲知情况如何,请看该文。     

高考理科(23)题的直观思路

题目:已知函数 y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线.当 n≤y≤n 1(n=0,1,2,…)时,该函数图象是斜率为 b~n 的线段(其中正常数b≠1),设数列{x_n}由 f(x_n)=n(n=1,2,…)定义.(Ⅰ)求 x_1、x_2和 x_n 的表达式;(Ⅱ)求 f(x)的表达式,并求其定义域;(Ⅲ)证明:y=f(x)的图象与 y=x 的图象没有横坐标大于1的交点.该题解答涉及许多重要的数学思想方法,考     

第40届IMO中国国家队选拔考试试题

第一天 (1999-04-01 8:00～12:30) 一、对于满足条件x_1 x_2 … x_n=1的非负实数x_1,x_2,…,x_n,求的最大值. (张筑生 供题) 二、试求满足以下条件的全部质数p: 对任一质数q相似文献   

不等式multiply from i=1 to n X_i-sum from i=1 to n X_i>2~n-2n及其简单运用

本文介绍不等式∏≥2~n-2n,并且说明它的一些简单运用。定理设整数 x_1≥2,i=1,2,…,n,那么∏≥2~n-2n.i=1 i=1证明不失一般性,令 x_1≥x_2≥…≥x_n.对 n 用数学归纳法。当 n=2时,x_1·x_2-(x_1+x_2)=x_1(x_2-1)     

公式a_n=S_n-S_(n-1)的功能挖掘

公式 a_n=S_n-S_(n-1)看似平常,其实内涵丰富,有着不寻常的功能和应用价值,本文举例如下:例1 已知数列{x_n),满足 x_1=b,x_(n 1)=cx_n d 且 c≠1.求通项公式.解:令 x_n=S_n则 S_(n 1)=cS_n d (1)S_n=cS_(n-1) d (2)(1)-(2)得a_(n 1)=ca_n=c~2a_(n-1)=…=c~(n-1)a_2∴x_n=S_n=a_1 a_2 … a_n     

线性方程组的一种解法

这里介绍线性方程组a_(11)x_1 a_(12)x_2 … a_(1n)x_n=b_1,a_(21)x_1 a_(22)x_2 … a_(2n)x_n=b_2,a_(m1)x_1 a_(m2)x_2 … a_(mn)x_n=b_m的一种解法(注),它的特点是通过计算一系列二阶行列式,逐步将未知量x_1,x_2,…,x_n表为已知量b_1,b_2,…,b_m的线性组合,从而求出方程组(1)的解。在方程组(1)中,未知量的的系数不能同时为零,设a_(ij)≠0,则由第i个方程 a_1x_1 … a_jx_j … a_(mn)x_n=b_i 解出x_1,得 x=—1/a_1(a_1x_1 … a_j,_(j-1)x_(j-1)—b_i a_1,_(j 1)x_(j 1) … a_i _nx_n)