对正方形剖分问题的探究

将一个正方形剖分成若干个互不重叠的小正方形称为正方形的剖分,这类题目在各种竞赛中经常出现。本文通过探究一道“新希望杯”竞赛试题,总结正方形剖分问题的解决方法。     

正方形的分割

下面我们看两道竞赛题1.将一个正方形分割成n(n>1)个小正方形,则n不可能取().(A)4(B)5(C)8(D)9(第十六届江苏省初中数学竞赛题)2.试设计一种方法,把一个正方形不重复不遗漏地分割成8个正方形(分得的正方形大小可以不相同);又问如何把正方形按上述要求分成31个正方形.(1997年安徽省初中数学竞赛题)这两道题都是研究正方形的分割问题.为了解决这两个问题,我们先来全面、深入的研究如何把一个正方形分割成n个小正方形.我们先考虑n可以取哪些数?首先从n=2开始,当n=2时,正方形不可分;当n=3或5时,正方形亦不可分.接下来,通过画图可以知道,当n=22…     

“竞赛数学教程”中若干引伸的注记(下)

本文继续讨论“竞赛数学教程”中的引伸,给出解答或注明出处: 五、例7.2的引伸:一个锐角三角形、钝角三角形、正方形能分成几个锐角三角形解:按图1锐角三角形可分成四个小锐角三角形,钝角三角形可分成七个小锐角三角形,正方形可分成十个小锐角三形。角形,故锐角三角形可分成九个(十个,…)锐角三角形。将图1a中一个小锐角三角形分成四个小锐角三角形,则原锐角三角形被分成七个锐角三角形。综上,对n=4和n≥7,锐角三角形可以分成n个锐角三角形。     

n^2与（n＋1）^2之间没有自然数的完全平方数

对于任意自然数n，n^2与（n＋1）^2之间没有自然数的完全平方数，这是一个非常明显的数学事实．在处理某些涉及完全平方数的数学竞赛试题时，这一结论有着不可低估的作用．下面以各地数学竞赛试题为例来说明．     

关联正方形的一些有趣结论与数学竞赛命题

正方形是一类完美的多边形,具有中心对称性与轴对称性,它有一系列特殊的线段和角度,因而使平面几何的很多著名的问题,由于正方形的参与而显得格外美妙有趣,在国内外各类数学竞赛中,蕴含正方形及其美妙结论的试题也举不胜举。本文介绍一些关联正方形的有趣结论,也顺便联系某些竞赛命题的来源加以说明。     

“n^2与（n＋1）2之间没有自然数的完全平方数”的巧应用

任意自然数n，n^2与（n＋1）^2之间没有自然数的完全平方数，这是一个非常明显的数学事实．这一结论在处理某些涉及完全平方数的数学竞赛试题时，有着不可低估的作用．下面以数学竞赛试题为例来说明．     

正方形一组邻边上不同分点构造的三角形面积

在正方形一组邻边上取两点,探究这两点与正方形相邻的顶点连线,以及正方形的一条对角线所构造的三角形的面积问题十分有趣,下面结合一道2012年全国初中图1数学竞赛进行分析,得出问题的一般结论,供参考.     

完美正方形

把一个矩形(或正方形)剖分成大小(规格)不同的正方形问题称为完美剖分问题,能够被完美剖分的矩形(或正方形)则称之为完美矩形(或正方形)。 早在1923年波兰利沃夫大学的鲁齐维茨教授曾首先提出完美矩形的存在性问题。     

n~2与(n 1)~2之间没有自然数的完全平方数

对于任意自然数 n,n~2与(n 1)~2之间没有自然数的完全平方数,这是一个非常明显的数学事实.在处理某些涉及完全平方数的数学竞赛试题时,这一结论有着不可低估的作用.下面以各地数学竞赛试题为例来说明.例1 对于任意自然数 n,试说明,数 n~4 2n~3 2n~2 2n 1不可能是完全平方数.     

几何问题代数解法

我校最近举行了初二数学竞赛,其中有一道题目是:图1中的矩形被分成6个大小不一的正方形,现在只知道中央小正方形的面积是1,求整个矩形面积.这道题目颇有趣味.现将     

边长为整数的正方形剖分成整边直角三角形最少个数问题

文[1]指出:(边长为整数的)正方形剖分成整边直角三角形最少个数5能否再小,人们尚不得知。其实,正方形剖分成整边直角三角形最少个数只能是5,不能再有更少个数的剖分。     

“存在型”问题的四种常用证法

数学竞赛中常见到一类结论呈“一定…”形式的证明题,究其实质,是证明某种存在性。由于结论究竟存在于何处难以把握,常使学生望而却步。本文介绍四种常用方法。一、数学归纳法:与自然数有关命题可考虑此法。例1.n个正方形经有限次剪拼,一定能够合成一个大正方形,试证之。(n≥2)     

一类竞赛题的几种解题策略

n角星的求和问题是初中数学竞赛的常考题型.不少同学遇到此类问题常感到束手无策,无从下手.下面以2003年“TRULY 信利杯”全国初中数学竞赛一道试题为例,介绍此类问题的思考策略. 例如图1所示,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+     

谈几种剖分数与组合数(上)

在初等数学中,人们研究了许多剖分问题,其中有些是重要的——因为由它们往往可以引出数学中的不少话题。再就是某些著名的组合数,它们的用途很广。下面列举几个。 1 平面剖分空间     

一道数学竞赛题的再推广

1989年北京中学生数学竞赛有这样一道题: 在7×7的网格正方形中,任意挖去一个1×1的小方格,证明剩下的48个方格,可以沿格线完整地剪成16个□□形。 1981年上海数学竞赛有类似的复盖题: 试证在2~n×2~n个相等小方格组成的棋盘上任意挖去一个小方格后,总可以用由三个小方格构成的L形块恰好铺满。推广上述结果,我们曾得到: n×n的网格正方形中,任意挖去一个1×1小方格后,能被L形无重复地复盖的充要条件是3×n,n≠5. 本文进一步讨论n×m网格矩形的情况.有如下定理。     

如何确定正方形的个数问题

在数学游戏及数学竞赛中经常会出现用线段把阵点连起来,要求所组成的正方形的个数的问题。例如,用线段把下图的点连接起来,可以连成几个正方形? 解答这一类问题时,许多学生甚至老     

隐含不等关系的问题(初一、初二、初三)

某些数学竞赛问题中隐含着不等的关系,必须注意到这些关系,适当地运用它们,问题才能获解.下面以几则竞赛题为例说明.例1若x、y是两个不同的自然数,且1/x+1/y     

谈谈特殊数列的求和

特殊数列是指既不是等差数列、又不是等比数列的数列．在历届高考数学和数学竞赛试题中经常有非等差（等比）数列的求和问题，下面介绍此类数列求和的某些方法．     

完美正方形

能否把一个矩形分割(解)成有限个正方形(称为矩形的正方形剖分或方解)的问题一提出便引起人们的极大兴趣和关注,其中人们最偏爱的是那些没有大小相同(规格一样)正方形的剖分(方解),它称为完美的。 存在完美剖分(方解)的正方形,称为完美正方形,(命名的本身就体现着美学的意识) 完美矩形、完美正方形存在否?如何去构造?关于它的研究和探索,经历了一个有趣的历史过程,同时,这种研究的本身也揭示了数学与其他学科千丝万缕的联系。     

完全正方形化问题

完全正方形化问题,指的是将一个矩形无空隙地割分成若干个正方形.这类题在中考、竞赛试卷中常有出现,现举例说明之. 例1 大厅长27.2 m,宽14.4 m.用大小相同的正方形木板铺满地面,最少需要正方形木板__块. (1998年“希望杯”培训题)