浅析高考圆锥曲线题中平面几何证明的运用

圆锥曲线是解析几何的核心内容,每年高考必考 一道解答题,常以求圆锥曲线的标准方程、位置关系、定点、定 值、最值、范围、探索性问题为主。这些试题的命制有一个共同 特点,就是起点低,但在第(2)问中一般伴有较为复杂的运算,对考生解决问题的能力要求较高。有时在经过简单的平面几 何证明,将题中条件进行转化之后,会大大减少运算量。     

利用直线系方程证明平面几何问题

(本讲适合高中)解析法证明平面几何问题已备受关注,而直线系方程的巧妙利用,既可摆脱求交点、直线方程等烦琐运算,又能较简单地得到所需结论,充分体现了整体处理问题的解题策略.本文从六个方面介绍直线系方程在证明平面几何问题中的应用.若直线a1x b1y c1=0与a2x b2y c2=0相交于点P,则通过点P的直线系方程可写成λ(a1x b1y c1) μ(a2x b2y c2)=0(λ、μ∈R).1证明三线共点用直线系方程表示过其中两直线交点的直线,然后,取特殊的λ0、μ0时就是第三条直线,从而证明三线共点.图1例1如图1,⊙O与△ABC的边BC、CA、AB分别交于点A1和A2、点…     

解析法证明兰勃特定理

兰伯特(1728～1777,德国数学家)定理抛物线三切线组成的三角形,其外接圆通过抛物线的焦点.证明:(1)直角坐标法如图,设 A_i(2pt_i~2,2pt_i)(i=1,2,3)为抛物线 y~2=2px 上三点,则过 A_i 三点的切线方程为:l_i∶x-2t_iy 2pt_i~2=0.由此可解出三切线的交点坐标为:     

解析法在平面几何中的妙用

平面几何中的许多证明题和解答题需要做辅助线通过独特的解法来解决,难度较大.若运用解析法来解决则可以让我们耳目的一新.用解析法证明或解答几何问题时,需要注意以下几点:     

利用向量解平面几何问题

用向量解决平面几何问题 ,首先是在图形中选出一对不平行的有向线段 ,设为ａ、ｂ ,则平面内的其他有向线段均可用ａ、ｂ惟一表示 ,即ＡＢ =ｐａ +ｑｂ .有序实数对 (ｐ ,ｑ)可看成ＡＢ的“坐标” ,这里近似于复数 ,但它的优点在于直观性 ,ａ、ｂ可以是不互相垂直 ,同时起始点可以任意选定 ,从而对于解决几何问题有着较大的自由度 .本文仅就两个方面说明它的价值 .　　一、证明三点共线定理 1　Ａ、Ｂ、Ｃ为平面上不重合的三点 ,则Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线 ＡＢ∥ＡＣ 存在实数λ,使ＡＢ =λＡＣ .定理 2　ａ∥\ｂλａ + μｂ =0 λ + μ =0 .图 …     

解析三角法证明平面几何中的多圆问题

在平面几何问题中，若题设中有两线段垂直时，可通过建立直角坐标系，引入适当的角参数解题．我们称此法为解析三角法．本文就平面几何中涉及的多圆问题作些探讨．     

用平面几何知识解决圆锥曲线问题

对有些直线与圆锥曲线问题．若恰当地运用几何方法．可避免复杂的计算．     

复数法解平面几何问题

复平面的建立实现了几何与复数问题问的转化，因此，可以利用复数法巧解一些几何问题，而复数及其运算的几何意义常是解决这类问题的有力工具．     

几道国外竞赛题的解析法证明

笔者对《中等数学》2007年增刊中的部分赛题进行了研究，并用解析方法给出证明．     

再谈用数学解析法解磁偏转问题

由于圆的方程很容易用xoy坐标系中的解析方程表示出来．因此带电粒子在磁场中的运动问题也可以通过“数学解析法”来解决．     

减少解析几何运算量的策略

在解解析几何问题时常用解析法解决关于曲线的问题,思路比较简单,规律性较强。但是,这种方法运算过程比较繁复。因此,设计合理的运算途径、选择恰当的数学方法是简化运算过程从而达到迅速、准确解题的关键。     

例谈等积式的证明

自2000年教育部颁布<关于初中毕业、升学考试改革的指导意见>以来,全国各地的中考数学命题有了很大的发展、变化,尤其是考查分析应用能力方面,我们发现全国各省市在数学命题时,或者创设一些新的情景、或者结合社会热点问题来设计考题.同时,我们不难发现,注重考察双基仍是中考数学命题的一个基本特点.本文将谈谈2001年中考题中的一类基础题--求证等积式的基本思路.下面结合例题加以说明证明等积式的几种基本思路.     

一道平几联赛题的解析法证明

题目如图,四边形ABCD是梯形,点E是上底边AD上一点,CE的延长线与BA的延长线交于点F.过点E作BA的平行线交CD的延长线于M,BM交AD于点N,证明:∠AFN=∠DME.(2007年全国初中数学联赛(A、B、C卷)二题).     

也谈几道竞赛题的解析法证明

受到文[1]的启发,笔者整理了下面几道题,与读者分享. 例1在Rt△ABC中,已知BC,以AB为直径的半圆Γ与点C在AB的同侧,P为半圆Γ上一点,且满足BP=BC,Q为AB上一点,且满足AP=AQ.证明:CQ的中点在半圆Γ上.[2]     

一道保送生试题的解析法证明及探究

1题目平面内有间距为d的平行直线．证明：任意放入一针l与直线相交的概率为P＝2lπd．（2013年清华大学保送生试题4）文［1］中,给出了该题的几何证法．本文思路另辟给出它的解析法证明．