二次根式解题中的常见错误剖析

同学们在学习二次根式时,常会犯一些错误,现举例说明,供同学们参考. 1.化简x3+2x2y+xy2√. 错解:原式=x(x+y)2√=x+yx√. 分析:答案中根号外的x+y是一个整体,必须加括号. 正解:原式=x(x+y)2√=(x+y)x√. 2.把式子x-1x√中根号外的因式适当变形后移到根号内,并使原式的值不变. 错解:原式=x2√·-1x√=-x√. 分析:由公式a=a2√(a≥0)知,根号外的负因式要移进根号内且保持原式的值不变时,需在根号外添加一负号.如-4=-(-4)2√. 正解:由题意可知-1x>0,∴x<0. ∴原式=--x-1x√=-(-x2-1x √=--x√. 3.计算2√÷3√…     

数学竞赛中多层根号根式的化简

数学竞赛中常常会遇到含有多层根号的根式 .一般的说 ,这类根式都能通过化简最终化为单一根号的根式或不带根号的式子 .一、多层二次根式的化简化简含有多层二次根号的根式 ,一般有两种思路 :(一 )对根号下的式子进行配方 ,变为完全开方式如果是 a± 2 b的形式 ,设法找到两个有理数 x、y,使 x + y =a,xy =b,则a± 2 b =( x + y)± 2 xy =( x ) 2± 2 xy + ( y ) 2 =( x± y ) 2 =| x± y | ( x >y >0 )如果是 a± b的形式 ,可如下变形a± b =2 a± 2 b2= 2 a± 2 b2再用上述方法化简 .比如 ,化简 ( 1) 3+ 2 2 ;( 2 ) 2 - 3.解 :( 1)原式 =( …     

浅谈根式(a~2)~(1/2)化简中的隐含条件

在《二次根式》一章的学习中,规定如果没有特别说明,根号内被开方数都表示非负数。因此对于一些具体问题,要根据题目特点,以二次根式的概念为依据对字母的取值进行,充分挖掘其隐含条件,现举例说明。例1化简-a1.分析:根据二次根式定义,开方数-1a应是非负的,又分母不能为零,所以根式中隐含着a<0.解:-1a=-aa2=|1a|-a=-1a-a.例2把(x-1)11-x的根号外面的因式移到根号内。分析:a2=a(a≥0)有时我们可反用,即a=a2,使解题更方便,但要注意a≥0这个条件,本题不能随意的将x-1放到根号内,因为题目中有隐含条件即1-x>0,亦x-1<0所以x-1=-(1-x)=-(1-x)2解:(x…     

二次根式大小的比较

比较两个二次根式的大小,是八年级代数的重要内容之一,若不许查表,可采用以下方法进行比较. 一、因式法(将根号外的部分移入根号内)例1 比较76√和85√的大小. 解:76√=294√,85√=320√,∵294√<320√,∴76√<85√.二、作差比较法例2比较23√-7√和7√-3√的大小.解:∵(23√-7√)-(7√-3√)=33√-27√=27√-28√<0,∴23√-7√<7√-3√.三、作商比较法例3比较π√和3π√的大小.解:∵π√÷3π√=π3>1,∴π√>3π√.四、平方比较法例4比较11√+13√2和12√的大小.解:11√+13√2>0,12√>0,将11√+13√2和12√分别平方,得11√+13√2 2…     

抓无理数特点巧明概念内涵

一、抓定义无理数的定义是无限不循环小数 ,它有两层意思 :(1)无限小数 ;(2 )不循环。二者缺一不可。有些无理数 (不是全部 )表现为带根号的数 (如 2、 3等 ) ,但带根号的数不一定是无理数 ,关键要看这个带根号的数最终结果是不是无限不循环小数。如9=3,19=13=0 .3· ,虽然形式上带根号或是无限小数 ,但都是有理数。无限小数与无理数是整体与部分的关系。例 1.判断下面的说法是否正确 ?如果不正确 ,举例说明。(1)无限小数都是无理数 ;(2 )无理数都是无限小数 ;(3)带根号的数都是无理数。思路分析 :从无限小数与无理数的关系以及无理数概念的…     

根号中的奥妙

初中代数课本中,有这样一道题目:请同学们判断下列各式是否成立:(1)232!=232!;(2)383!=383!;(3)4145!=4145!;(4)332!=332!.经过计算可知,(1),(2),(3)式是成立的,(4)式是不成立的.这说明在二次根式的化简运算中要特别注意,根号里面的数是不能轻易地放到根号外面来的.细心的同学可能会想,什么情况下根号里面的数能放到根号外面来呢?(1),(2),(3)三式的成立仅仅是巧合吗?其中会有什么规律呢?我们来分析一下前三个式子的运算过程:232!=2×33+2!=38!=232!;383!=3×88+3!=287!=383!;4145!=4×1155+4!=1654!=4145!.通过把带分数化成假分数运算和分子…     

解数学选择题五法

由于选择题事先给出一些结论 ,这一点类似于证明题 ,但又没有明显的结论 ,解答时就不一定用常规的直接求解法 ,而可以对条件和几个结论进行观察和分析 ,发现其特殊的数量关系和图表位置的特征 ,应用所学知识 ,作出正确的选择。方法一 :求解对照法从题目的条件出发 ,通过正确的运算或推理 ,直接示得结论 ,再与选择题对照来确定选择题。例 1.把式子 m - 2 0 0 3m 中根号外的 m移到根号内 ,结果是 (　　 )。(A) 2 0 0 3m ;　　　　 (B) - 2 0 0 3m ;(C) - - 2 0 0 3m;(D) - 2 0 0 3m。分析 :把 m移进根号内时 ,需要考虑 m的符号 ,但题中没有…     

关于根式的两个问题

什么是根式?根式与无理式的关系是什么?从各种资料看,对这个问题主要有下述三种不同的认识: 1.认为根式是含有根号的代数式,无理式集合是根式集合的真子集.如曹才翰、沈伯英编著的《初等代数教程》(北师大出版社,1986年第1版)是这样叙述的:“含有根号的代数式叫做根式.”还认为“根式与前面定义的无理式(含有字母开方运算的代数式)既有区别,又有联系.它们的关系是无理式是根式的一种,根式不一定是无理式.如x+2~(1/2)(x≥-2)是无理式,又是根式,2~(1/2)只是根式,不是无理式.”无疑,按照这种认识,3~(1/3)+2~(1/2)应为根式. 2.认为根式是表示方根的代数式,又泛指一般的含有根号的代数式。无理式集合是根式集合的真     

比较无理数大小的方法

比较无理数大小是一个难点,它不同于比较有理数大小,本文就此作些说明. 一、比较被开方数根据:若a>0,b>0,a>b,则a~(1/2)>b~(1/2). 例1 比较5 6~(1/2)与6 5~(1/2)的大小. 解将根号外的数移到根号内,然后比较被开方数的大小.     

二次根式

二次根式;二次根式的乘、除法;最简二次根式 诊断检测 一、选择题1.化简~:--4m3的结果是( )(A)一2研√二二_磊. (B)2m~/二i(c)一2m~//i. (D)2。~//i. 2.式子2一~/1一z的最大值为( ) (A)2.(B)1.(c)2一~/T.(D)0. 3.使、历j+—兰有意义的z的取值范围 √z一1是( ) (A)z>1. (B)1≤z≤3. (C)z≤3. (D)1相似文献   

X(u,λ,N)=intergral from n=0 to ∞λ~(-Nt){1/4〔(lim2·-1(n to ∞)~2-1)}~t dt 的存在性和特性

设u,λ,N是三个参变量,其中u,λ∈R,N∈Z .本文所构造的一个积分函数X(u,λ,N)如下:X(u,λ,N)=∫ ∞0λ-Nt14(limn→∞2·u u u …-1)2-1tdt　　　　　　　　　　　n重根号()·极·限·存·在·性考虑极限limn→∞u u u …,显然给定u=0时极限存在且等于0.　　　　　　　　　　　n重根号(1)给定u≥1时,令Wn=u u u …,因W1=u<2u,而Wn 1=u Wn,　　　　　　　　　　　n重根号故Wn<2uWn 1<2u,所以根据数学归纳法知,Wn有上界:Wn<2u(一切n).另一方面,由Wn 1=u Wn知Wn单调递增.(2)给定0相似文献   

新课程《数的开方》创新测试题

一、精心选一选(每小题只有一个正确答案,请把正确答案的代号填入题后括号内。每小题3分,共计30分) 1.(81)~(1/2)的平方根是( )。 A.±9 B.9 C.±3 D.3 2.在下列说法:①有理数和数轴上的点一一对应:②不带根号的数一定是有理数:③负数没有立方根:④-(17)~(1/2)是(17)~(1/2)的平方根。其中正确的是( )。 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.若数轴上表示x的点在原点的左边,则化简|3x+(x2)~(1/2)|的结果是( )。     

二次根式除法运算的三种思维方法

1.直接用商的算术平方根的性质把 ab=ab (a≥ 0 ,b>0 )反过来 ,得 ab= ab(a≥ 0 ,b>0 )。当被除式的被开方数能被除式的被开方数整除时 ,可以运用 ab=ab(a≥0 ,b>0 )进行二次根式的除法运算。例 1 .计算下列各式 :(1 ) - 1 23÷ 56;(2 ) 2 x2 y2z3 ÷ (- xy2 z)。解 :(1 ) - 1 23÷ 56=- 1 23÷ 56= - 53× 65=- 2。(2 ) 2 x2 y2z3 ÷ (- xy2 z) =- 2 x2 y2z3 × 2 zxy= - 4 xyz2 =- 2z xy。说明 :这种方法对于一般情况不完全适用。对于一般情况 ,通常采用分母有理化的方法。2 .分母有理化分母有理化 ,即把分母中的根号化去。如计算3÷ 5 ,…     

第十二届江苏省初中数学竞赛

一、选择题(满分40分,每小题5分) 1.把代数式(1-a)[-1/(1-a)]根号外的因式移入根号内,化简后的结果是( )。 (A)(1-a)~(1/2) (B)(a-1)~(1/2) (C)-[(a-1)~(1/2)] (D)-[(1-a)~(1/2)] 2.如图,在三个等圆上各有一条劣弧     

四川省初中数学联合竞赛试题

(1 995年1 1月25 Et) 一、选择题(每小题8分,共48分) 厂—_ 1-把(a～1)√一丢l_的根号外面的因式移到根号内,则原式等于 ( )(A)而. (B)历.(c)一av,'~--_1.(D)一而.2.菱形两邻角之比2:1,则菱形较长对角线与较短对角线的长度之比是 ( ) (A)~/2:1. (B)~/3:I. (C)3:2 (D)4:3. 3.设F为正方形ABCD的边AD上的一点,CE上CF交AB的延长线于E。若正方形ABCD的面积为64,ACEF的面积为50.则ACBE的面积为 ( ) (A)20. (B)24. (C)25. (D)28. 4.一个容器盛满纯酒精溶液,第一次倒出5公升后,用水加满.第二次倒出5公升,再用水加满,这时容器内的纯…     

二次根式运算中常见错误剖析

在二次根式一章中 ,出现的概念和性质 ,若不正确理解 ,就容易出现错误。下面将同学们常出现的错误 ,举例剖析。例 1　 2 5的平方根是多少 ?错解 :2 5的平方根是± 5 .剖析 :此题型在中考试题中常常出现 ,同学们把 2 5的平方根误理解为 2 5的平方根 ,忽视了 2 5和 2 5是不同的两个数。正确 :2 5的平方根是± 5 ,即± 2 5 =± 5 .例 2　把ｍ - 1ｍ 中根号外面的ｍ移到根号内 ,并化简。错解 :原式 =ｍ2 × (1ｍ) =-ｍ .剖析 :本例的化简是逆用性质ａ2 =|ａ| (ａ≥ 0 )。同学们化简时误认为ｍ≥ 0。忽视了题目中的隐含条件ｍ <0。因此ｍ不能直接…     

用换元法解方程

初中数学试题常常有解方程(组)的类型,这类方程通常含有根式或分式。若平方去根号或去分母都会产生高次方程,很难解决。对这类方程,一定要认真观察,看看有没有一元二次方程的背景,然后用换元法来解。今以全国各地初中毕业、升学考试数学试题为例来说明。例1.解方程x2x2-3x+5√+3x+1=3x+1分析x2-3x-1-x2-3x+5√=0观察发现根号内的(x2-3x)项是有的,移项后再添上5即可。解:原方程可化为x2-3x+5-x2-3x+5√-6=0令x2-3x+5√=y,则有y2-y-6=0解得y1=-2,y2=3当y1=-2时,x2-3x+5√=-2,此方程无解。当y1=3时,x2-3x+5√=3,解这个方程得x1=4,x2=-1。经检验…     

化asinα bcosα时符号的选择

在统编数学教材中,化asinα bcosα为±(a~2 b~2)~(1/2)sin(α arctgb/a)时,未曾谈及根号前的正负号应该怎样决定(见高一册160页)。学生应用这个公式解题时,往往会出现似是而非的问题。如化3cosα-4sinα为积的形式时,就进行了如下错误的运算: 原式=-4sinα 3cosα=((-4)~2 3~2)~(1/2)sin[α arctg(-3/4)]=5sin(α-36°52′)。有鉴于此,本文仅就推导asinα bcosα=±(a~2 b~2)~(1/2)sin(α φ),(φ=arctgb/a)时,根号前正负号的取舍进行探讨。     

例说二次根式a~2～(1/2)的化简

二次根式中主要难点是正确理解与动用公式 :a2 =| a| =a　 ( a≥ 0 )- a　 ( a <0 ) ,实际运用时 ,则要牵涉到对字母取值范围的讨论 .为此在运用时应注意以下几点 :1.公式中的 a可以是任意实数 ,a2是非负数 ,a2也是非负数 ,它是 a2的算术平方根 .2 .在化简时 ,一定要弄清根号内字母 a是正值 ,0 ,还是负值 .3.动用公式 a2化简二次根式的一般步骤 :( 1)去掉根号及被开方数的指数 ,写成绝对值的形式 ,即 a2 =| a| .( 2 )去掉绝对值的符号 ,如果已知 a的符号 ,则根据绝对值的意义化简 ;如果不知道 a的符号 ,就应分 a≥ 0 ,a <0两种情况分别表示 …     

非常规方法四例

例1 解方程:(2-x)~(1/2) (x 3y-5)~(1/2) (y 2)~(1/2)=(12y-3)~(1/2)．分析题中有多个根式,若按一般思路, 不易去掉根号,联想到方差公式: S2=1/n[(x12 x22 … xn2)]-n(?)2], 当S2=0时,x1=x2=…=xn, 可把题中的根号去掉．