每期一题

题:设a、b、c是三个非负实数,求证:亿歹干歹十侧护不奄豆十了歹不砰》侧万(a+b+c)。 证法一(代数法) ,.’a、b、c为非负数,a’+bZ》Zab .’.2(a’+石“)》(a+b)2a’+b’>士(a+b)2 .’.亿石万下石牙>士侧丁(a千b)同理可得亿乒下毛1)士了丁(b+:) 了户百石下>去侧万(‘+a)三式相加得: 了压f不石万+训歹干砰+侧石厄下万1》士斌万(Za+Zb+Zc)二侧了(a+b+c)。 证法二(利用复数) 设z:二a+b‘::=乙+cfz。==e+ai .’.{之:卜了砰下矛}z:卜了孙不砰 }:3}二了户百石下 ,.’有不等式:}z:卜!z:卜}‘。]>}::+z:+x:} .’.侧aZ+cZ+亿b’+cZ+了eZ+a“=}:,}+…     

Hlder不等式的巧用

这是熟知的著名不等式—H61der不等式a,m牛a,,产‘+…+a_’“_/a,+aZ+一+a.、成 刀一\月I此处:a*(R+,i=1,2,…,:,。、,:(N.求证(瓦十会)’+(凡十士)三十二十(付彩 巧用H61der不等式,可以使一类代数、三角、只何不等式的证明显得特别简洁明燎.+资。)’知小十封’例1证明若正数a+b=1,则a‘。一卜b,‘,》512一,.依H6lder不等式,aio+b‘o 2、/a+b\10户多妞--气二-~I一、乙j证明依H6lder不等式,了K.+李丫、.了K,长上)’一。,.r汀人一。一1、、一二‘K:/‘、一“凡/’‘又一“‘龙/ 打卫K 1.‘不丁= 11024’!“才 一 一 一。。‘二al。+b10…     

一个值得发掘的多项式

“’+乙’十。’一3。乙‘是一个值得发握的多项式.它具有很多功能.某些数学题借助于它,可获得巧妙的解法. 如果我们把它分解因式可以得到: a3+b’+〔’一3abe二(a+b+c)(a’+b’+cZ一a吞一乙c一ac)(1) 或a’+乙3+c’一3a乙e结论1: 结论2:结论3:如果。十。六一。一那么、一已a3+b“+e3=3晶c一’(8)如果a+占+c>0,那么,”+乙’+c3)3abc(4)如果a>O,西>O,‘>O,那么竺粤汽)“丽(5) 1,_:,、、一,_=.二了(“午乙宁‘夕红气‘了一口产 名根据上面两式,2+(6一c)’+(c一a)2〕(2)我们还可以得到如下结论: 在a二乙二e时,(4儿(3)两式中等号成立。 一下面…     

解三角函数问题要注意隐含条件

解三角函数题时,极易忽视隐含条年而致误码率,下面结合实例说明=O的两根 (). ,且。,B任‘一要,吞、,则。十口的值等于 、‘乙, 为偶数2n时,a笋。二+手(n任Z);当k为奇数2n十1 任 A.合 C一晋或誓 通泌,.’ .’. tan(a+户= B一誓或晋 ‘D一誓 ta由十’al甲=下3万, tan口ta币片4, tana+ta明 .3成,一~、._,.0._。L,.~…,,二 时,a铸”兀+竿(n任Z),即等式右边的定义域为a护。二 一”‘一’一’.’4、’一~一‘’,一,尸一一一’~-一,‘’一‘”~ 我,,~、.,,3代,一~、一~一,、“二、, 宁气~气n匕乙,J‘口宁二n兀月.气尸、n匕乙),a匕从。JL瓜二七…     

不等式a~2+b~2≥2ab的又一推广

(理若a,b任六’,。、k任N,且正<刀,则a”十b”乡a丙b“一‘+a”一‘b“当且仅当a=b时等式成立. 例1.若p、q任R气p3十q“=2求证P+q气2. 证:由定理, (,+叮)3二刀“+口3+3(尹’,+尹叮’) 百尹3+夕3+3(,3+夕3)=8, .’.p+q毛2. 枉·{2 .a,b,c任R十, 则a“+乙“+。“升3ab。. 泣:事实上,a3+b3+。一(a‘+b3+b“+c吕十c,+a吕)1,(a’乙‘一“/)“卜今哭。卜b(+e Za十。a“)=音一〔。‘“2+·”+“·’十·”干·(。:+“·,〕、3。“二(竹者单位:江苏建湖一县芦沟中学)不等式a~2+b~2≥2ab的又一推广@肖秉林$江苏建湖县芦沟中学 @沈文兆$江苏建湖县…     

一个条件不等式的加强及应用

已知a、b、e为非负实数,且a+b+e+~1,又由均值不等式知·“·、‘吐笋三)3-1一3 一一1一4 +J1一27 ,1口0~十O‘月-Cd:咬下丁 O127(1) 这是我们熟知的一个十分简单的条件不等式,本文把它加强成 定理已知a、b、e为非负实数,且a+b+c=1,则 ,9,.1 ab+bc+ea成千abc+令(2) --·--·一~4一’4 证明由对称性,不妨设a》b》:势。,又 ‘一,1 .9~由a+b+‘=1知‘成音,1一于e>0*一一‘-一,”一~3’一4一 ,9 a口十口乙十Ca尧受甲丁入 任 9,1ao-1~口亡月~Ca一-丁a口C一,丁 任任 这就得到不等式(1),因此我们说不等式(2)是不等式(1)的加强. 现在我们用不等式(…     

求代数式值的几种常用方法

.1...J一、代入法代入计算是求代数式位的呆常用的方解:原式一l(a l))2一4a乡(a一b)2 4abL(a一b)a 乙 一一飞....J法,一般都是化简后,再代入求值=将求(a 乙)(a一乙)=aZ a一b(a b)2a一乃一一bZ卜例1已知创53,,4a乡\z、“一”十不侧_气“十占一刀 了5a=二2乙二一粤代入 ‘即求得原式的值飞7P qi一夕 一i一户为1. 有时利用分母有理化,往往可以简化运算过程. 例2已知:解:由_卫几很夕士旦- P十q”P qP=1’“F工十万一万-1“1,.工_生以二七q二=这里土玉迄_,. 亿3一了2’,’‘ xZ十xxZ一4x一5的值。(层一 韵’一(备一韵’十4一5.及十卫二士了…     

运用a~3 b~3 c~3-3abc的分解因式解题几例

a3 b3 c3一3abc =(a b)3 c3一3“b(a b)一3“bc ~[(a b) c〕[(a b)2一(a十b)c cZj 一3ab(a十b十c) =(a b c)(aZ bZ cZ一ab一bc一ca). 下面举例介绍aa ba ‘3一3obc的分解因式在解题中的应用,供同学们学习时参考. 例1已知a b ‘~6,矛 夕 ‘2~14,矿 b3 ca~36,求abc的值. 解由。 b ‘~6得 a含十b盆 c,十加b Zbc十Zca=36,.’.口b bc ‘“~11.丫a3 b3 ca一3abc ~(口 b十c)(“Z bZ c足一“b一bc一c召), 1,,:。“bc~令「a“ b3 ‘3一(d b ‘)·一’一一3‘一’一’一、一’-(aZ bZ cZ一。b一bc一ea)〕 例2‘5~0. 解一合〔36一6(14一11)j一6.已…     

证明不等式的若干技巧

一、放缩法例1.。>O,6>O,求证鹦》(碧~)’‘铲/征明:a. b。 2 1 Fla b.=不.‘~一1犷-一宁 艺L\乙夔 2.la b一a一b\门_la b\,个几~气下下一~甲一飞犷一刀.~屯一一万一一叫, 、“IJ、‘l二la 石\一,la一b c‘.又一厄一)火份了一\:._/a 乙\“.十.‘坛多‘~一下一1,、‘/. 二、合成一一将若千不等式相加或相乘 例2。在众ABC中,求证abe)8(P一a)(P一6)‘,一e).其中,一告(a “ 。). 证;aZ)。,一(b一c)2>0,护)bZ一(e一a)2)o沙李价一(。一吞),>。,三式相乘取算术根得 abC》(a b一e、(b e一a)(c a一b)二8(P一a少·(P一b)(户一c). 三、配方 例3.…     

一道几何题的联想与推广

众所周知,在△ABC中,若乙B=乙c,则b=c,即b一‘=0. 在△ABC中,若乙B=2乙C,依据正弦定理,则有ae c’一乙’=o(a=域a今e). 联怒:在△ABC中,乙B=乙C,b一c=o,不妨记作:f:(a,石,e)=b一e=0。 当乙B=2匕C时, f,(a,西,c)=a·c c子一b’二0. 那么乙B=3乙C时, f3(a,b,c)=…=o?当乙B=n乙C时,f。(a,b,c)=…=o?(,〔N)-推广.在△ABC中,当乙B=一b年】二尸= ‘sinn乙Csin匕C.由棣莫弗定理、理及复数相等的条件,不难求出:n乙C时,二项式定 sin”乙C2,一ik一i=名(一i)资c七sin“乙e·cos“一“乙c(扎中,任N,k二:二__.(一1).十巴一1、一几,f—,. ‘根…     

基本不等式的变形及其应用

工.基本不等式即:(1)aZ 乙2)Za乙 a 乙~,一(2厂气兴二)了a乙、~,2(2)a._‘a b) 4(a、乙任R(a、乙任R)(a、乙任R十)(3)aZ bZ cZ》a云 ac 乙c五。由基本不等式可得下列变形: ,一一~了丁,,、,,,。二、气住夕丫、在一十D一‘‘一二万又门 0夕L口、口忆八夕 乙“,等。(宁)’,(。)件、2。一。 口(a、b任R )!7‘6,分‘a一“,》‘a一“,‘a·“〔R‘, 班.基本不等式在解题中的应用已为大家所熟悉,而利用它的变形解题则具有深刻性和灵活性。 例1已知x、,任R”一,二 :一1,_、、,,、,1、。,1、2~25求泛:(1)(x 会), (万十宁)“)臀 X一“g‘(:球万…     

每期一题

魔:。>o,b>o,。>0,敲明“‘占”。“异(动日a 吞 心 3 (晓申)敲法一不失一般性可假毅a梦石}c.n」 a‘乃乙夕‘一(a乡。)笋 a 卜 =a3‘一孟~…(·Za一凡一c 日 口十丙一2‘·b3 Za一石一ca ‘一Zc\_几3.,3、 /.Za一J一‘2口一‘一‘ 3。十石一2‘a 石一2‘,石3)c一’一万一,d十孟一2‘ 3一石气‘-‘.C口十凡一Zc 3》0-石b乡 2口一人一‘口3又故‘斗孟J‘岔3 2几十Zc一口占3·c广>O 。“沙占c‘一(d石‘)粤异05 .十占斗‘a“户占“)(a石c)一一-百一.(仅当a~石二。时取等号)又即‘︸3 、.产 3 占 了叮、 .题法二a ab‘ec(a3)百(abe)‘十吞…     

精心联想 巧妙构造

构造方程(组) 例1。‘“=ab一实数a,乡9。求证ac满足a=6一乙,乙。由韦达逆定理联想到构造二次方程 之,一6之 c’ 9=O,a,白是它二根,再证它判别式等于零即可. 构造二次函数 例2.已知a,b,‘为△ABc三边,S为面积.求证a’ 石’ 。‘)4侧丁5. 设AD为BC边上的高,AD=h,BD=m,DC=n.则 a’ 乙气 c’一4了丁s =(m n)’ ,n乙 ,:‘ Zh“ 一2训丁(m十n)h.把右式看作几的二次函数厂(h),证明广(的)0即可。 构造恒等式 例3.求证(x y 劝“=(一x 夕十劝 (x一g 之)3 (x g一之)3 24x对之- 在恒等式(: 乙 c)“=a” 乙“ c. 3(a 乙)(乡 c)(c a)中命a=一x , …     

值得商榷的一个例题

统编数学教材高中第三册六十四页上有一个利用不等式求极值的例题: , 已知/>。,求证/2十2/十纂的最小值是6。 证明:,.’‘>O, 我认为这个例题是不正确的。道,如a、乙、c都是正数,那么卫我们知十b C 3》粼abc,(当且仅当a=b=c时,取等号)4硒_。,/兀二厂一万一户”犷丫’匕义‘气二芯, 义~。也就是说,上例xZ 2二十典要等于6,xZ 2劣 护十2x 连)。必须且只有在男2一2/一纂时才成立。事实上,满足二,二Zx二奥的二是不存在的,即X‘ ZX 纂的最刁、值是6。是说,当%>”,/’ 2“ 纂没有最刁·值6。值得商榷的一个例题@唐绍武$德宏州民族中学~~…     

复数集中a>b隐含的信息

先看下面一道全国高中联赛试题:c知,.、b、.EC,则a’十U一c‘>0是a’十扩>.‘的()条件.(人)充分非必要;出)必要非充分;K)充要;(D)既不充分也不必要;分析a、b、.E C·若 a‘ b’-.’>0.说刚a’十b’一.”是正实数.但是U’十广与.’是合为实数就不一定了,例如a‘ b’.2 i,.’一i.则a‘ l’‘一’.’一2为正实数.他足.;‘十b‘〕c’均为县数,不能比较大小.不能计a’十b‘>;、’若.‘ b’>’’.说Iw.;’斗l)‘’Z.’均为实效一!-t·l‘十八人于l’.从而.’上人一/>O成).故应选(B).     

巧代换证一个不等式

文[lj有如下不等式: 设a,b.‘是正数,证明 了a乃(a 办) 了l,c(。 。) 了e。(‘ 。) >了(a 占)(乃 ‘)(‘ a). 证明:设二~a十b,y~b十‘,二一‘ a.则以x,y,z为边可组成一个三角形ABC,在此三角形中,.A厅二石玩 艺V艺同理可得:丫石不气耳而丫石丁端是石而 一一召一2 一一e一2 n S因为在三角形ABC中, A二B二C_s一n~或尸十sln下~十sln刃了声夕1. 乙‘乙所以丫万万丁斋~而 丫而轰干丽十丫砰揣汗丽>1·两边同乘/(。 占)(吞 c)(c a)即得:石蔽不而下 石欲万平不 石蔽万不石了巧代换证一个不等式@邓重阳$杭州第四中学高中数学组!310002~~1 苏…     

数学问题解答(选译自(苏)初等数学习题集)

1.指出,对于任意自然数n,有将以上不等式相加,得典一琦一琴 …*-2‘3‘1厂<旦卫 ll1 .11二1/‘1砰十乎十班十“’十平火1一万=n一1111 一一证明,因为<共 1.乙 1一丁’所以22 l,1-二歹一峨几、又一万O一乙.j万一万’琴灯一工4‘’3一414’岁·矗·扣…乒<宁一2.化简、‘X ·,‘XZ 一)…(xZn一‘ 。2“一‘),.一八Q若x年a,则(x、a)(xZ a“)1,1吸、牙甲一.下二一一二 气fi一1少1111n一In·…了Zn一‘2’‘一‘、 \X a/犷 /Zn一‘2飞一’、(x一a)(x a)(x乙 a‘)…\x、a/_(xZ一a“)(x“ a“)(x名 a弓)…/2九一‘2几一‘\、·x a/X一aX一a,…     

添项较恰当 证题更顺畅

现就儿种常用的添项技巧,分类例析如下. 1.利用“整体‘,恰当添项 【例1】若a、b、c呀R+,a,+b3+。3妻ab‘(当且仅当a二b一‘时,“~”成立). 这是新教材的定理2,书中证明是: 丫矿十b3+护一abc=(a十b)“十c3一3aZb一3动2一3abc==(a+6+。)[(a+乙)“一(a+b)“+eZI 一3abc(“+b十c)一(a十b十c)(a“十夕十了一ab一阮一ca) 1,,,、厂/一令(a+b+c)}(a一b)乙+(b一c)“ 2”一’一’一‘二、一 +(。一a)“〕)o :.a3+b3十‘3)abo. 显然,当a一b一。时,“一”成立、 这种证明方法(比较法)中的第一次添项(即第一步变形),技巧性强、不易想到;第二次添项(即…     

每期一题

题:已知0(。提2,。>。,求 T=(:一)’十(侧万万沪一9/的’的最小值。 解法一:设“=Zeoso,0〔〔0、专派〕则T=(Zeoso一u)2+(Zsino一9/”)2=‘一‘”一“。一‘·号。,n。+。2+黔一4一4·护小丁喜:COS(e一甲)+一+影》‘一4扣不一纂=(2一了于漂)’于点A尸, OA+AB)OB二OA‘+A’B,.’. AB)A产B,因此,只要求OB的最小值。设点B(a户),则OBZ=、a’+西’)Za乙二15,只有在a=b时最小,即 a=b二3。 T。‘。=(3了万一2)’。 解法三:将T看作二复数差的模的平方:=一(:‘+、蔚‘)一(。+子‘)12”日l )}!·+、、·‘,一,·】2一训石2~而户.!’+全f2…     

美国数学竞赛题和解答

第七届(1 9 78年),已知。、b、。、d、e为实数,且满足a+乙+c+口+e二8,a:+bZ+c艺+d,+已2== 16试确定己的最大值。 解:对于一切实数二、:,不等式2x,三二2十yZ成立,并且当且只当:二,时取等号。下面,我们要多次用到这个不等式,只不过是将。、乙、c、反来轮流替换二、夕罢了。由题没条件可知 (8一约2二(口十b+‘+d)2 二尹+b名一卜产+d之+2口b+宕a‘ +2‘d十2乡c一于Zb己十Zc叮三(al+乙,+c“+dZ)+(。2+乙“) +(aZ+c“)+(aZ+dZ) +(乙忿+cZ)+(乙“+d名) +(cZ+dZ) =4(aZ+乙2+cZ+dZ) =4(16一e艺),.’. 64一16￡+eZ三64一4。艺,即5e2一16e三0,由…