对一道中考试题的探究

一、中考试题例1如图1,已知AB是⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于点C,AC平分∠DAB.(1)求证:AD⊥DC;(2)若AD=2,AC=$5,求AB的长.(2006年江苏省南通市课改实验区中考题)解析:(1)如图1,连接CB,由AB为⊙O的直径,知∠ACB=90°.∵CD切⊙O于点C,∴∠ACD=∠B,又AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠BAC,从而有∠ADC=∠ACB=90°,即AD⊥DC.(2)由(1)知Rt△ADC∽Rt△ACB'AADC=AACB,∴AB=AACD2=($25)2=2.5.二、试题探源上述试题源于几何第三册(人教大纲版)93页例2.例2如图2,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为…     

中考试卷中方程与几何综合题的类型与解法分析

把一元二次方程同几何问题结合在一起，构成了丰富多采的综合题．这类综合题常在中考试卷中出现．解这类题，既要运用一元二次方程的有关知识．又要注意见何图形的性质．本文将对它的类型和解法分析作一些介绍．一、求作以两线段为根的方程例1已知：如图1．C”是以AB为直径的半圆上一点，CW上AB于H，D分AB为＊D：＊B一16：9．＊B一IO．不求＊C、DC的长．作出以AC、BC的长为根的一元二次方程．（199年河南省鹤壁市九义中考思。分析关键是求AC”＋BC”和AC”’BC”的值．易知AC”·BC”一AB·＜”D·AB—IO．故只须求＜W．A…     

中考中的 几何、方程综合题

中考中的几何、方程(equation)综合题,主要是指以线段长为根的一元二次方程问题.这类题将几何知识与一元二次方程有机结合,巧妙设计,既有几何的证明和计算,又有代数方程的变换和转化,综合考查几何、代数方程的基础知识和多方面能力.现以2002年典型试题为例,介绍这类题的命题特点和解题思路.     

以几何量为一元二次方程的根的综合题举例

一元二次方程是中考数学必考的知识,也是初中数学的重要内容之一,经常是以用几何量(线段长、三角函数的值、面积、线段的比值等)作为一元二次方程的根的综合题的形式出现。这类题目变化灵活,花样繁多,它将几何的许多知识和一元二次方程的知识巧妙地综合,是考查学生综合运用知识分析问题和解决问题能力的一类好题型。下面略举几例,以引起对这类考题的注意。例1.如图:Rt△ABC中,∠C=90O,AB=c,BC=a,AC=b(b>a),在△ABC外部作正方形ACDE和正方形BCFG。(1)求证:CM=CN;(2)若MN=2,且AD、BF是关于x的方程x2-(2n+1)x+n2+2=0的根,求c的长…     

一类方程与几何综合题的解题策略

一元二次方程是中考的一个重点 ,把几何问题与一元二次方程结合在一起组成综合题 ,又是中考中的一个热点与难点 .这些综合题类型较多 ,其中有一类常以下列两种形式出现 :(1 )求作以两个几何量为根的一元二次方程 ;(2 )求证两个几何量是某一元二次方程ａｘ2 ｂｘ ｃ=0的两个根 .解决这类问题的策略是化归 ,运用根与系数的关系 ,在第一种形式的问题中 ,把原题化归为求这两个几何量的和与积 ,再代入方程ｘ2 -(ｘ1 ｘ2 )ｘ ｘ1ｘ2 =0即可 ;在第二种形式的问题中 ,把原题化归为证明这两个几何量的和等于 -ｂａ,且这两个几何量的积等于 ｃａ.因…     

一元二次方程应用题常见题型分析

用一元二次方程可解决的实际问题很多,常见题型有：1．几何类问题解决这类问题要借助几何直观加以分析,并注意有关公式的应用．例1如图1,已知线段AB的长为a,以AB为边在AB的下方作正方形ACDB．取AB边上一点E,以AE为边在AB的上方作正方形AENM．过点E作EF⊥CD,垂足为F．若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等,     

聚焦圆中角的应用

在圆中,圆心角与圆周角是最常见的角,它们与弦、弧和扇形的面积的联系很密切,是中考命题的重点.下面以2011年的中考题为例,说明圆中角的各种应用.一、求角的大小1.利用圆心角求圆周角例1(2011年乌兰察布卷)如图1,AB为⊙O的直径,CD为弦,AB⊥CD,如果∠BOC=70°     

一元二次方程应用题常见题型分析

<正>用一元二次方程可解决的实际问题很多,常见题型有:1.几何类问题解决这类问题要借助几何直观加以分析,并注意有关公式的应用.例1如图1,已知线段AB的长为a,以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.取AB边上一点E,以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过点E作EF⊥CD,垂足为F.若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等,则AE     

关联多维视角 发展核心素养

<正>1试题呈现(2023年杭州中考第23题)如图1,在☉O中,直径AB垂直弦CD于点E,联结AC,AD,BC,作CF⊥AD,垂足为F,交线段OB于点G(不与点O,B重合),联结OF。(1)若BE=1,求GE的长。(2)求证:BC²=BG·BO。(3)若FO=FG,猜想∠CAD的度数,并证明你的结论。2解法探究     

题虽在书外 根却在书内——探究源于课本的中考几何题的设计方法

在2009年全国部分省市中考数学试卷中,涌现出一大批源于课本的几何试题,这类试题有的一步到位,直接选用课本原题;有的进行改装、引伸、拓展课本中“读一读”“想一想”与“做一做”的内容成为中考题.这类试题紧扣书本和大纲,体现了基础性和学好课本知识的重要性,有着较好的导向作用,对于引导师生重视基础、重视书本、研究教材、重视教材、用好用活教材,均大有裨益.随着素质教育的不断深化,为进一步体现《数学课程标准》的理念,笔者认为:这类紧扣课本的试题将是命题的热点,且会长盛不衰,因此有必要提醒师生注意对课本知识的学习与挖掘,以达到灵活变通的目的.下面就以2009年部分省市中考几何试题为例,谈谈源于课本的试题设计方法,供参考.1直接选用课本例题并增设问题图1例1(承德市)如图1,⊙O1与⊙O2外切于A,BC是⊙O1和⊙O2的公切线,B,C为切点.(1)求证:AB⊥AC;(2)若r1,r2分别为⊙O1,⊙O2的半径,且r1=2r2,求AACB的值.点评本题第(1)题选自人教版《几何》第三册第129页的例4,并在原题的基础上引伸提高,构思出第(2)题,使问题得到了拓展,对相关知识进行了综合,题目不难,然而它提醒我们,题在书外,根在...     

紧扣基本模型 实现解法自然——一道中考几何题的解法赏析

<正>一、试题立意分析题目(2016年南通中考题)如图1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,BC=12,CO⊥AB于点O,D是线段OB上一点,DE=2,ED∥AC(∠ADE<90°),连结BE、CD,设BE、CD的中点分别为P、Q.(1)求AO的长;(2)求PQ的长;(3)设PQ与AB的交点为M,请直接写出     

有关一元二次方程的几何题

近年来,在各省市的中考数学试题中,与一元二次方程有关的几何题屡见不鲜.这类试题综合性强、知识覆盖面大,并且有一定的难度,它们大多与韦达定理、根的判别式、三角函数密切联系,本文结合实例说明这类试题的解法.一以线段长为方程的根的几何题     

几何探究题

中考几何命题改变传统格局,努力降低论证难度,注重在图形的运动(变换)中考查探究能力,已成为近年来中考命题的新特点.我们把这类试题称作几何探究题.现举典型试题说明其解法.一、探求图形在平移变换中的规律例1如图1,已知AB是⊙O的直径,AB垂直于弦CD,垂足为M,弦AE与CD交于F,则有结论AD2=AE·AF成立(不要求证明).(1)若将弦CD向下平移至与⊙O相切于B点时,如图2,则AE·AF(查题何.的直E成与AF是否等于AG2?如果不相等,请探求AE·AF等于哪两条线段的积?并给出证明.(2)当CD继续向下平移至与⊙O相离时,如图3,在(1)中探求的结论是否…     

一道中考题解法的一点延伸

在1993年西宁市中考数学试卷中,有这样一道题:已知在如图Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,AE平分∠BAC。若AB=15cm,BD=9cm。求:(1)BC的长;(2)AC的长;(3)     

一类方程与几何综合题de解题策略

一元二次方程是中考的一个重点,把几何问题与一元二次方程结合在一起组成综合题,又是中考中的一个热点与难点.这些综合题类型较多,其中有一类常以下列两种形式出现: (1)求作以两个几何量为根的一元二次方程;     

巧求一元二次方程的公共根

在中考数学试卷中和中考数学复习资料中，常常碰到一元二次方程公共根的问题．在求这类问题时，一般的方法是应用方程的根的定义，并借助方程组的相关知识加以解决．现向同学们介绍一种巧求的方法。     

例谈以线段长为根的中考综合题

近年来的中考试题中,常出现以线段长为根的综合题为压轴题。这类问题把一元二次方程同几何问题直接挂钩,沟通了几何与二次方程之间的联系。它涉及的知识点多,覆盖面广,题型新颖。求解此类问题时必须注意方程的根与系数和线段长的关系,充分借     

巧用勾股定理解竞赛题

直角三角形的直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2,这就是我们熟知的勾股定理,它揭示了直角三角形三边之间的数量关系.灵活巧用它,可使几何问题的解决变得简捷.例1如图1,已知AB⊥CD,△ABD、△BCE都是等腰直角三角形,CD=8,BE=3,则AC的长为()A.8B.5C.3D.&!34(2004年湖北省初中数学竞赛试题)解:依题意,AB=DB,BC=BE.∵BE=3,CD=8,∴BC=3,DB=5,AB=5,∵∠ABC=90°,∴AB2+BC2=AC2∴AC=!AB2+BC2&=&!34.例2如图2,AC=10,BC=17,CD⊥AB于点D,CD=8,求△ABC的面积.(2002年北京市初二数学竞赛试题)解:在△ABC中,∵CD…     

怎样解几何与方程综合题

以线段长为根的一元二次方程，是几何与方程综合题的典型试题，一直是近年来中考命题的热点，这类试题，综合了几何与代数方程的较多知识点，既有几何证明中的严密推理，又有方程、代数式的灵活变换，本文将通过典型试题的分析、解答，介绍这类综合题的命题特点和解题思路，供大家复习参考。     

韦达定理在几何中的应用

几何中的一些求值题和证明题,有时若用代数方法去解,反而方便、灵活,这里略举几例,谈一谈韦达定理的应用例1 如图1,AB是半圆的直径,长为5,C是半圆上的一点,CD⊥AB于D,CD长为2,EF是过C点的切线,AE⊥EF