2004年高考一道解几题的错解剖析

题目:(2004高考湖北卷理科数学⑥)已知椭圆x216+y29=1的左右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆上,若P、F1、F2为直角三角形三顶点则P到x轴距离为()A.95B.3C.977D.94错解:△PF1F2为Rt△,∴PF1⊥PF2｜PF1｜+｜PF2｜=2a=8①｜F1F2｜=2c=27∴｜PF1｜2+｜PF2｜2=｜F1F2｜2=28②①2-②得｜PF1｜·｜PF2｜=18∴P到x轴距离为18｜F1F2｜=977故选C.错因分析:题设告诉我们P、F1、F2为直角三角形三顶点,但并没告诉我们哪是直角顶点,而很多考生心态紧张,并没有认真分析条件,误以为三个顶点都可作直角顶点,答案可能都是相同的,于是仓促作答选了…     

解离心率问题五法

一、公式法圆锥曲线离心率的公式为e=ca.例1若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5∶3两段,则此椭圆的离心率为A.1617B.417√17C.45D.25√5解析抛物线的焦点F的坐标为(b2,0),由已知得b2+cc-b2=53,∴c=2b,∴e2=c2a2=c2b2+c2=45.∴e=25√5.选D.例2已知F1、F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,若△ABF2是正三角形,则这个椭圆的离心率是A.2√3B.3√3C.2√2D.3√2解析由椭圆的定义可知｜AF1｜+｜AF2｜=2a.∵△ABF2是正三角形,∴｜AF2｜=2｜AF1｜.∴｜A…     

一道全国高中数学竞赛题的多种解法

2006年全国高中数学竞赛有这样一题：已知椭圆x^2/16＋y^2/4=1的左右焦点是E，F，点P在直线x-√3y＋8＋2√3=0，当∠EPF最大时，比｜PE｜/｜PE｜的值为_.[第一段]     

平面几何知识在解析几何中的应用

在解析几何的问题中,常出现我们十分熟悉的平面几何图形,我们应及时引用平面几何中已知的结论而使解题过程简明,推演快捷,而不应局限于解析法,而失去得到佳解的机会.例1点P是椭圆xa22+by22=1(a>b>0)上任意一点,F是其右焦点,求证:以FP为直径的圆与以长轴为直径的圆内切.证明如图1,设F1为其左焦点,O1为PF的中点,连接PF1,由三角形中位线性质可知:｜OO1｜=21｜PF1｜,又有椭圆定义:｜PF1｜+｜PF｜=2a,所以｜PF1｜=2a-｜PF｜,所以｜OO1｜=12(2a-｜PF｜)=a-12｜PF｜.即两圆的圆心距｜OO1｜等于它们的半径a与12｜PF｜的差,故两圆内切.…     

双曲线“门诊部”

1．忽视判断点在哪一支上 例1若F1、F2分别是双曲线x^2/64-度/36=1的左、右焦点,点P在双曲线上,且｜PF1｜=17,则｜PF2｜=——．     

有心圆锥曲线焦点直角三角形的一个性质

本文介绍有心圆锥曲线焦点直角三角形的一个性质． 定理1如图1,设F1,F2分别是椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）的左、右焦点,点P在椭圆上,且∠F1PF2=90°．直线PF1,PF2分别交椭圆的左,右准线于M,N两点,则①｜PF1｜=｜NF2｜,｜PF2｜=｜MF1｜;     

双曲线上任意一点与两焦点所成三角形面积问题的讨论

题目：已知点M是双曲线x^2/4-y^2=1上的一点,F1．F2为两焦点,若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面积． 分析：由双曲线x^2/4-y^2=1,知a=2,b=1,c=√5.设｜MF1｜=t1,｜MF2｜=t2.由椭圆的定义得｜MF1｜-｜MF2｜4,即｜t1-t2｜=4,（t1-t2）^2=4^2,t1^2＋t2^2-2t1t2=16.     

圆锥曲线中有关离心率的问题

圆锥曲线离心率的取值与曲线形状相联系,因此离心率是圆锥曲线的一个基本量。而离心率的计算又往往涉及到曲线本身的几何性质及不等式等知识,因而综合性较强,在高考中时常出现。〈一〉应用曲线的定义及几何特征计算离心率例1!已知双曲线x2a2-by22=1,F1,F2为左右焦点,正三角形F1F2A交双曲线于P,G两点,P是AF1的中点,则双曲线的离心率为多少?解:因为P是AF1的中点又△AF1F2为正三角形所以PF2⊥AF1,｜PF1｜=c｜PF2｜=1｜F1F2｜2-｜PF1｜2#=14c2-c2#=#13c又#13c-c=2a∴e=#73+1点拨:利用几何性质及双曲线的定义建立a,c之间的关系,简捷!…     

平面几何用于解析几何

例1 已知椭圆x^2/4＋y^2/3=1上一点P在第三象限,且∠PF2=120°（其中F1,F2是椭圆的两焦点）,求tan∠F1PF2． 解 设∠F1PF2=0,则 ∠PF2F1=60°-θ,     

一道高考解析几何试题的引申

图12004年全国高考文(理)的解析几何试题如下:设椭圆x2m 1 y2=1的两个焦点是F1(-c,0)和F2(c,0)(c>0),且椭圆上存在点P,使直线PF1与PF2垂直.(1)求实数m的取值范围;(2)设l是相应于焦点F2的准线,直线PF2与l相交于点Q,若｜OF2｜｜PF2｜=2-3,求直线PF2的方程.在对该题的研究过程当中     

一道有关焦点三角形面积习题引发的思考

正1.问题的起源原题:已知椭圆x2/25+y2/9=1的左焦点为F1,右焦点为F2,在椭圆上是否存在点P,使∠F1PF2=90°,若存在,求出ΔF1PF2的面积;不存在,说明理由.分析:因为在椭圆上点P是短轴的端点时,∠F1PF2最大,所以只要求出此时的∠F1PF2,看它是否为不小于90°,若是钝角,则在椭圆上存在点P,使∠F1PF2=90°,且这样的点有四个;若为90°,则这样的点有两个;若小于90°,则这样     

解析几何中简化运算的策略

一、活用定义,优化过程例1已知动圆圆心P经过定点O(0,0),且动圆与⊙A:(x-2)2+y2=1外切,求动圆圆心P的轨迹方程.解依题意有｜PA｜-｜PO｜=1<｜OA｜=2.由双曲线的定义知,动点P的轨迹是以点O、A为焦点的双曲线的左支.由2a=1,2c=2得a=12,c=1,∴b2=c2-a2=34,双曲线中心为(1,0).∴点P轨迹方程为(x-1)214-y234=1(x≤12).例2已知椭圆方程(x-6)216+(y-2)212=1,点P(5,-1)是椭圆内一点,试在椭圆上求一点M,使｜MF｜+0.5｜PM｜的值最小(其中F为椭圆的左焦点).解已知椭圆的离心率e=0.5,左准线方程x=-2,∴｜MF｜∶｜MN｜=0.5,即｜MF｜=0.5｜MN…     

一道高考题的推广与引申

2010年全国高考辽宁卷理科第20题是：已知椭圆x^2/a^2＋y^2＋b^2=1（a〉b〉0）的右焦点为F,经过F作斜率为√3的直线与椭圆相交于不同两点A,B,已知^→FA=-2^→FB.（1）求椭圆离心率;（2）若｜AB｜=15/4,求椭圆方程．     

推荐高考方法在线

1.(2000年上海高考题)设F1、F2为椭圆x2/9+y2/4=1的两个焦点,P为椭圆上的一点,已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,求|PF1|:|PF2|的值. [当∠PF1F2=90°时为7/2,当∠F1PF2=90°时为2]     

一道2014年湖北高考试题的探究与推广

题目 (2014年湖北理数第9题)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=π/3,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为() A.4√3/3 B.2√3/3 C.3 D.2 解析:不妨设椭圆和双曲线的方程分别为x2/a212+t2/b12=1和x2/a22-y2/b22=1,其中:a1＞b1＞0,a2 ＞0,b2 ＞0,且椭圆和双曲线的离心率分别为e1和e2.记|PF1 |=m,| PF2 |=n,则由椭圆和双曲线的定义知:|m+n|=2a1①,| m-n |=2a2②.由①②得:m2+n2=2a2+ 2a2,mn=a12-a22③.在△F1 PF2中,应用余弦定理得:cos∠ F1PF2=m2+n2-(2c)2/2mn =1/2,即m2+ n2-4c2=mn.     

高考圆锥曲线基础试题考点解析

《考试说明》要求考生:1掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及其几何性质和椭圆的参数方程;2掌握圆锥曲线的初步应用.下面介绍圆锥曲线基础试题的考点和解析.考点1　求椭圆坐标的取值范围例1　(2000年新课程卷高考题)椭圆x29+y24=1焦点为F1和F2,点P为椭圆上的动点.当∠F1PF2为钝角时,点P的横坐标的取值范围.解析:设P(x0,y0)是曲线x2a2±y2b2=1上的一点,则|PF1|=|a+ex0|,|PF2|=|a-ex0|(e为离心率,F1、F2为左、右焦点).运用焦半径公式可简捷地解决与焦点三角形有关的问题.解:a=3,b=2,c=5.设P(x,y),由焦半径公式知|PF1|=3+53x.|…     

在研究性学习中培养创新意识

纵观 2 0 0 3年和 2 0 0 4年两年的高考题 ,都有圆锥曲线的探索性问题 .因此 ,有必要加强圆锥曲线中研究性学习 ,以培养创新意识 .一、随圆【例 1】　如图 1,已知椭圆C :x24+y23 =1,F1 、F2 分别为左、右焦点 ,问能否在椭圆C上找到一点M ,使点M到右准线的距离｜MN｜图 1是 ｜MF1 ｜和｜MF2 ｜的等比中项 ?若存在 ,求出M点的坐标 ;若不存在 ,说明理由 .探索 :先假设M点存在 ,再寻求结论成立的依据 ,或找出结论不成立的理由 .解 :设｜MN｜ =t>0 ,则由椭圆第二定义得 :｜MF2 ｜=e｜MN｜=et又由椭圆第一定义知 :｜MF1 ｜=2a -｜MF2 ｜…     

问疑答难

1．椭圆x^2/9＋y^2/4=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是____.     

椭圆的一个性质及其应用

性质设P是椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（n〉b〉0）上的动点,E,R为椭圆的左、右焦点,当点P落在椭圆的端点时∠F1PF2最大。     

一道高考题的多解及寻根究源

2000年高考理科数学第14题：椭圆x^2/9 y^2/4=1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是_____．