一类计数问题的解答模式

两个经典问题:问题1(参见文1)如图1,墙上挂着两串礼物Ai(i=1,2,…,5)和Bj(j=1,2,…,6),每次从某一串的最下端摘取一件礼物,这样摘了11次,可将礼物全部摘完,那么对于这11件礼物共有多少种不同的摘取顺序?     

一类组合几何竞赛题的解答方法

在初中数学竞赛中,经常出现以点、线(段)、多边形、圆等几何元素的背景,求满足一定条件的某种几何元素个数的最值问题,也称为几何中的离散最值问题。由于解答此类竞赛题并非需要众多的基础知识,但能展示解题者思维能力而受到命题者青睐,本文从若干方面来探讨问题的一般解法。一、“不等导等”法所谓不等导等法就是从题设条件出发,     

组合计数问题的求解方法

组合计数问题是组合数学的重要组成部分,也是各类考试中常考常新的问题．解决组合计数问题不需要高深的理论知识,看似不足为奇,但在具体解题中,却需要同学们吃透重要的计算原理和思想方法,否则往往劳而无功．     

数学归纳法解一类计数问题

数学归纳法可应用于解决与正整数有关的许多问题 ,包括一些较复杂的计数问题 .用数学归纳法解计数问题时 ,“归纳过渡”常表现为构造或化归 ,有时不可避免地要用到分类讨论 ,有时要与反证法、化归法等联合使用 .下面举例说明 .1　用归纳的方法进行问题的推广例 1　设S ={1 ,2 ,     

隔板法解组合计数问题

什么是隔板法?先看一个简单的问题: 把7个相同的球分给4个人,有几种不同的分法? 分析:设有3块隔板将7个球分成4份,可将3块隔板与7个球排成一行,而3块隔板在行中占的不同位置对应着不同的分法。例如:     

构造模型巧解一类计数问题

求关于x1,x2…xn的方程,x1＋x2＋…＋xn＝m(m∈N)满足某些限制条件的整数解的个数,通常应用穷举法解,当。,。较大时,不仅繁琐,而且容易出现重复或遗漏错误.本文拟采用构造“投球”模型来处理这类计数间题,显得灵巧简便,很有启发性. 间题1求方程(·)非负整数解的个数. 解把间题转化为求将。个相同小球投放到。满足某些限制条件的整数解的个数,通常应用穷举法解,当。,。较大时,不仅繁琐,而且容易出现重复或遗漏错误.本文拟采用构造“投球”模型来处理这类计数间题,显得灵巧简便,很有启发性. 间题1求方程(·)非负整数解的个数. 解把间题转化为求将。个相同小球投放到。     

建立递推数列求解一类计数问题

排列组合中经常会碰到一类特殊的计数问题,看似排列组合应用题,但其复杂的情形常令人无从下手.若能根据题目特点建立递推数列则问题往往能迎刃而解.例1 有一楼梯共10级,如果规定每步只能跨上一级或二级,要走上这10级楼梯,共有多少种走法?解:设上 n 级共有 a_n 种走法,当 n=1时,一级楼梯只有1种走法,a_1=1;当 n=2时,两     

一类与排列有关的计数问题

<正>(本讲适合高中)本文介绍与排列有关的计数问题,这类问题频繁出现在国内外各级数学竞赛中.因为与置换群相关,在一些大学教材(如文[1])中也有所涉及.这类问题灵活有趣,题面自然优美,主要偏代数,也有部分与数论相关.解决这类问题需要较强的综合能力,大多数从递推的角度考虑,也可以研究排列的结构后直接计算.     

自主招生考试中的组合计数问题

组合计数问题是初等数学中一类非常重要的问题,也是高等数学中的一个重要分支“概率与统计”的基础．近年来,组合计数问题深受自主招生考试命题者的青睐,同时也是竞赛试题中不可或缺的重要组成部分．     

n边闭折线计数问题的解答及猜想

杨之在《n边闭折线的计数问题》(见《中学数学教学参考》2 0 0 3年第9期)一文中提出:问题　平面上三三不共线的n(n≥3 )个点,可确定多少条n边闭折线?解:设n边闭折线条数为T (n) ,则T (n)=(n -1 ) !2 .证明如下:在n点确定的n边闭折线中,把任一顶点打开,加入第n 1边,即可得n条n 1边闭折线,且从不同顶点打开,所获n 1边闭折线不同,因此,有T(n 1 ) =nT(n) (n≥3 ) ,又T( 3 ) =1 ,故T(n) =(n -1 )T(n -1 )=(n -1 ) (n -2 )·T(n -2 )=(n -1 ) (n -2 )…3T( 3 ) =(n -1 ) (n -2 )…4·3=12 (n -1 ) (n -2 )…4·3·2·1=(n -1 ) !2 .关于正…     

一道组合计数问题的多角度分析

笔者曾在教学中给学生布置了这样一道作业:题目凸 n 边形(n>3)玫瑰园的 n 个顶点各栽一棵红玫瑰,每两棵不相邻的红玫瑰之间都有一条笔直的小路相通,这些小路没有出现"三线共点"的情况,它把花园分割成许多不重叠的区域(如三角形、四边形等),每块区域内再栽一棵白玫瑰,问花园中能否恰有99棵玫瑰?说明理由.这道题目有点难,因此留给学生的时间稍稍长一点,让他们充分思考,等到作业交上来时,笔者十分惊讶,学生的解法很好,很有代表性,真是"条条大     

多元一次方程的整数根组合计数问题

1前言首先由一个排列组合问题引出:有6个白球放在固定的位置,再加入3个红球,问有多少种红球加入方法?其中3个红球的放置位置不受限制.求解过程可以看成,先设有9个位置放球,其中选择3个位置放入红球,剩下6个位置放入6个白球,所以红球放置方法为C93种.这种求解思路可以类比求解多元一次方程的非负整数根的组合数问题:     

关于简单树的一类计数问题的讨论

本文通过定义的运算"*",简要讨论了集合τ_1*τ_2={(τ_1,x)*(τ_2,y)|x∈V_1,y∈V_2}的计数问题.其中:V_((τ_1*τ_2))=V_(τ_1)∪V_(τ_2),E_((τ_1*τ_2))=E_(τ_1)∪E_(τ_2)∪{(x,y)}。研究得到,在运算"*"下:若τ_1,τ_2是两棵同阶不同构简单无向树,则|τ_1*τ_2={(τ_1,x)*(τ_2,y)|x∈_1,y∈V_2}|=|V_2/Autτ_2|·|V_1/Autτ_1|.     

比较分率 转化求比——一类问题的解答方法

拆项法是数列问题中的一种常用方法,如把一个分数拆成两个分数的差的形式、把一个式子拆成两个式子的和、把一个代数式拆成两个代数式的商的形式等等. 一、拆成差的形式[例1] 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足     

用对应原理解一类几何计数问题

组合数学中的几何计数问题类型丰富,饶有趣味．其计算对象常常是几何中的元素和元素的集合（如点、直线、三角形、正方形的计数等）．解决此类问题除了熟练掌握组合计数的原理和公式外,还要注意以下几点：     

利用数列求和解一类图形计数问题

在教学中,经常遇到如下类型的问题：１图（１）中,共有多少个正方形？２图（２）中,有十六枚小钉,排成正方形,请问你能用彩色橡皮筋把它围成多少个正方形？３图（３）为连结正三角形各边四等分点而得到的图形,形成各种三角形和平行四边形．（１）求正三角形的...     

用不定方程解的个数解一类计数问题

定理 方程x1＋x2＋…＋xn=k（k∈N＋）． （1）非负整数解有C（n＋k-1）^（n-1）组； （2）当k≥n时，正整数解有C（k-1）^（n-1）组．     

Burnside定理在组合计数问题中的应用

针对一类组合计数方面的实际问题,利用二面体群、正多面体的对称性群等群的相关知识给出确切的数学描述,并运用Burnside轨道计数定理有效地加以解决,突破了用枚举法解决此类问题的局限性．