浅议直线与圆、圆与圆的位置关系

<正>一、基础知识,要点回顾1.直线与圆的位置关系设直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圆:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),d为圆心(a,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.2.圆与圆的位置关系设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r21(r1>0),圆O2:(xa2)2+(y-b2)2=r22(r2>0).二、题型分类,深度剖析题型一:直线与圆的位置关系例1已知直线l:y=kx+1,圆C:(x-1)2+(y+1)2=12.(1)试证明:不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点;     

例谈一种位置关系及其应用

关于直线l:Ax+By+C=0与圆:(x-a)2+(y-b)2=R2,O(a,b)到l的距离为:d=|Aa+Bb+C|/√A2+B2,则     

2014浙江高考理数第21题的分析与巧解

2014浙江高考理数第21题:如图,设椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限.(1)已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标.(2)若过原点O的直线l1与l垂直,证明:点P到直线l1的距离的最大值为a-b.标准答案:(1)设直线l的方程为y=kx+m(k<0),由     

两直线的位置关系单元测试

一、选择且 l,下列四个命题中,正确的是() ①两直线平行的充要条件是这两条直线的斜率相同; ②两直线A:x+拭y+鱿=0和A声+B岁+q刃垂直的充要条件是:A.AZ+拭从习; ③过直线l:Ax十场十c=O外一点M(x。,y0)且与l平行的直线方程是:A(卜气,卜 B(y一)。)=0; ④两平行直线Ax+场十C,=O和Ax+毋+q=0的距离是 IC:一CZI 确2+召2 A .QX多逐X王B.(委逗X国 C.似墓K困D,②⑧ 2.设直线1.和l:的方程分别为xsina+与,l和2x+ys ina二2,且1.到12的角为60”, 则sina的值是() A .2犷3一B.4一2犷3 C .2丫3土4 D.4士2V3 ,·设点(·i·。,一”)至,直线一“…     

双曲线及其一个同心圆的性质

已知双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0),圆O:x^2+y^2=r^2(r>0).(1)当b>a>0,r^2=a^2b^2/b^2-a^2时,直线l是圆O的切线,若直线l与双曲线C相交于点A、B,则OA⊥OB;(2)当a>b>0,r^2=a^2-b^2时,若从圆O上点P引双曲线C的两条切线PA、PB,则PA⊥PB.     

对一个充要条件的正确表述与理解

<正>许多教辅资料中都有这样一个命题"直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1和B1不同为0),直线l2:A2x+B2y+C2=0(A2和B2不同为0),l1∥l2A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0)."一学生运用上述结论解答2009年高考上海文科第15题时出现了错误.题目已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的     

一个命题的向量证明及推广发散

命题 :设点 P(x0 ,y0 ) ,⊙ O:x2 + y2 =r2 ,直线 l:x0 x + y0 y =r2则 1当点 P在圆上时 ,直线 l与⊙ O相切 ;2当点 P在圆外时 ,直线 l与⊙ O相交 ;3当点 P在圆内时 ,直线 l与⊙ O相离 .1　证明在直线 l上任取一点 Q(x,y) ,因为向量 OP =(x0 ,y0 ) ,OQ =(x,y)所以 OP .OQ =x0 x + y0 y =r2即 | OP| .| OQ| .cos∠ POQ =r2因为 l的一个方向向量 v=(-y0 ,x0 )所以 v.OP =0 OP⊥ l故圆心 O到 l的距离d =| OQ| .cos∠ POQ =r2| OP|| OP| >r时 ,d r;故命题为真 .2　画法已知点 P和⊙ …     

求三角形面积的一个公式

定理已知点P(a,0)、Q关于直线l:Ax+By+C=0对称,点R(x_0,y_0)是直线PQ外一点,则证明:设Q坐标为(X,Y)。∵直线PQ和直线l互相垂直, ∴ Y-b/X-a=B/A,即 BX-AY=Ba-Ab. (1)又∵ P、Q关于直线l对称,且在l的两侧, ∴ AX+BY+C=-(Aa+Bb+C),即 AX+BY=-(Aa+Bb+2C). (2) 将(1)、(2)联立,可得如下关于X、Y的线性方程组: BX-AY=Ba-Ab, AX+BY=-(Aa+Bb+2C),解之得X=Au+a, u=-2(Aa+Bb+C)/A~2+B~2 Y=Bu+b, ∴点Q坐标为(Au+a,Bu+b).     

似曾相识燕归来——解析几何相似题探究

<正>引例(2015年全国高考题)已知椭圆C:9x²+y2+y²=m2=m²(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A、B,线段AB的中点为M.(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率之积为定值;(2)若l过点(m/3,m)延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?     

对1992年全国高考理科试题中的一个题的商榷

下面是 1 992年全国高考理科试题中的一个选择题 :已知直线 l1和 l2 的夹角的平分线为 y =x,如果 l1的方程是 ax + by + c=0 ,(ab>0 ) ,那么 l2 的方程是 (　　 )(A) bx + ay + c=0 .(B) ax -by + c =0 .(C) bx + ay -c=0 .(D) bx -ay + c=0 .答案为 (A) .可是这个题是错题 ,原因如下 :图 1如图 1 ,直线 l1:bx + ay+ c=0 ,当 ab>0的倾斜角为钝角 ,直线 y =x与 l1的夹角大于 45°,直线 y =x平分的角是α,而角α不是 l1和l2 的夹角 .人民教育出版社中学数学室编著的全日制普通高级中学教科书 (试验修订本 .必修 ) ,《数学》第二册 (上 ) 4 8…     

一道模考题的逆问题及推广

<正>某校的高三模拟试卷中,解析几何题目如下：已知点P(4,4)在抛物线C:y²=2px(p>0)上,直线l:y=kx+2与抛物线C有两个不同的交点．(1)求k的取值范围;(2)设直线l与抛物线C的交点分别为A,B,过点A作与C的准线平行的直线,分别与直线OP,OB交于点M,N(O为坐标原点),求证：|AM|=|MN|.     

对一道2014年高考浙江解析几何题的探究

<正>2014年高考浙江卷理科第21题,如下:如图,设椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(其中a>b>0),动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限.(1)已知直线l的斜率为k,用a、b、k表示点P的坐标;(2)若过原点O的直线l1与l垂直,证明:点P到直线l1的距离最大值为a-b.     

一道高考题的另解

题 (Z009安徽理科20题第一小题)点P(x0,y0)在椭圆:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)上,x0=acos,y0=bsinβ(0＜β＜π/2).直线l2与直线l1:x0/a2x+y0/b2=1垂直,O为坐标原点.直线OP的倾斜角为a,直线l2的倾斜角为γ.     

一道解析几何题的解法研究

题目过点P(2,1)的直线l交x轴正半轴、y轴正半轴于点A、点B,求△AOB面积S的最小值,并求出此时直线l的方程·这是一类典型的求直线方程的题目,解题的关键是选取直线方程的哪种形式,来建立起三角形面积的表达式,进而采用恰当的方法求出面积的最小值·根据着眼点的不同,本文给出如下一些入手方法·解法1:(用直线的一般式及平均值不等式)设直线l的方程为Ax+By+C=0,直线l过点P(2,1),则有2A+B+C=0,C=-2A-B·在l的方程中,令y=0,得x=-AC>0,则A(-AC,0);令x=0,得y=-BC>0,则B(0,-CB)·所以S=21|OA|·|OB|=21(-AC)·(-BC)=(-22AAB-B)2=2+…     

直线系与圆系方程

内容概述 具有某种性质的直线(圆)的集合叫直线(圆)系.通常方程中含有一个或几个参变数. 1.直线系常见类型 (1)过定点(a,b)的直线系为:λ1(y-b)+λ2(x-a)=0,其中λ1、λ2为参数 (2)与直线Ax+By+C=0平行的直线系为:Ax+By+λ=0,(λ≠C,λ为参数) (3)与直线Ax + By + C=0垂直的直线系为:Bx-Ay+λ=0(其中λ为参数) (4)若直线l1与l2的一般式分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则曲线系:λ1f1(x,y)+λf2(x,y)=0(λi为参数)     

类比圆的一个性质探求圆锥曲线的性质

正定理1已知AB是圆C:2 2 2x+y=r的直径,直线l与x轴垂直,过圆C上任意一点P(不同于A,B)作直线PA与PB分别交直线l于M,N两A P O B Q N M x y点,记线段MN的中点为Q,则直线PQ与圆相切.证明设点0 0P(x,y),直线l为x=m,     

有趣的直线x_0x+y_0y=r~2

在高二解析几何教材的圆锥曲线一章中有这样的一个结论 :若P(x0 ,y0 )是圆 :x2 + y2 =r2 上的一点 ,那么过该点的圆的切线方程是x0 x + y0 y =r2 .(证明见教材 ) .问题 :若点P(x0 ,y0 )在圆x2 + y2 =r2 外(或圆内 )时 ,直线l:x0 x + y0 y =r2 是什么样的直线 ?与圆x2 + y2 =r2 有什么关系 ?不妨设点P(x0 ,y0 )不在坐标轴上 .直线l:x0 x + y0 y =r2 的斜率是kl =-x0y0(y0 ≠ 0 ) ,而kOP =y0x0(x0 ≠ 0 ) .∵klkOP =-1,∴直线l⊥OP .圆心O(0 ,0 )到直线x0 x + y0 y=r2 的距离为d =r2x20 + y20=r2｜OP｜.①由①可见 ,直线l与圆的关系由｜…     

2004年高考一道解几题的新颖解法

一、准备知识问题1:对二次齐次方程Ax2+Bxy+Cy2=0(1)①当B2-4AC>0时,方程(1)表示过原点的两条相交直线;②当B2-4AC=0时,方程(1)表示过原点的两条重合直线;③当B2-4AC<0时,方程只表示原点.事实上,当B2-4AC>0,则方程(1)可化成(px+qy)(mx+ny)=0(A=mp,B=mq+np,C=nq)结论成立当B2-4AC=0时,则方程可化为(px+qy)2=0(A=p2,B=2pq,C=q2)结论成立.当B2-4AC<0时,只有(0,0)点坐标适合方程结论成立.问题2:若方程Ax2+Bxy+Cy2=0表示过原点的两条相交直线l1,l2,则l1到l2的角α满足tanα=±B2-4ACA+C事实上,由问题1得tan2θ=(mq-npmp+nq)2=(mq+n…     

对一道解析几何模考题的探究

正题目如图1,已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)和圆C2:x2+y2=b2,圆C2将椭圆C1的长轴三等分,且圆C2的面积为π.椭圆C1的下顶点为E,过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A,B,直线EA,EB与椭圆C1的另一个交点分别是点P,M.(1)求椭圆C1的标准方程.(2)①设PM的斜率为kPM,直线l的斜率为t,求kPM t的值;②求△EPM面积最大时直线l的方程.(2014年宁波市高三十校联考数学模拟试题     

圆锥曲线问题的常见错误

一、利用判别式确定位置关系时导致丢解例1已知双曲线C:x2-y24=1,过点P(1,1)作直线l,使得l与C有且仅有一个公共点,则满足上述条件的直线l共有()(A)1条.(B)2条.(C)3条.(D)4条.错解:设直线l的方程为y-1=k(x-1),即y=kx-k+1,与x2-y24=1联立消去y,得(4-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-5=0.要直线l与C有且仅有一个公共点,必须△=(2k2-2k)2-4(4-k2)(-k2+2k-5)=0.解得k=52.故满足条件的直线l只有一条,选(A).评析:以上解法有三个问题,一是双曲线与直线只有一个交点,除了利用△=0得出相切的一条外,还有与渐近线平行的直线也与双曲线只有一个交点;二是利用…