待定系数法的妙用

要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法．其理论依据是多项式恒等,也就是利用了多项式f（x）≡g（x）的充要条件：对于一个任意的a值,都有f（a）≡g（a）;或者2个多项式各同类项的系数对应相等．     

关于共轭多项式的一个性质

在复数域C上,设f(x)=C_nx~n C_(n-1)x~(n-1) … C_1x C_0C_i∈C,(i=0,1,2,…,n)是一个复系数多项式,则称 其中是C_i的共轭复数 为f(x)的共轭多项式。 在复数域C上,复系数多项式f(x)与其共轭多项式的最大公因式(f(x),(?)(x))是一个实系数多项式。 事实上,设d(x)=(f(x),(?)(x)),则d(x)|f(x),d(x)|(?)(x),所以(?)(x)|(?)(x),(?)(x)|(?)(x),即(?)(x)|f(x),因此,(?)(x)|(f(x),(?)(x))即(?)(x)|d(x),d(x)|(?)(x),所以d(x)=(?)(x),这说明d(x)的系数为实数,因此,(f(x),(?)(x))是一个实系数多项式。 关于共轭多项式,有一些很有趣的性质,本文仅讨论其中的一个。 定理:若复数α=a bi(a,b∈R)是复系数多项式f(x)的一个根,则α的共轭复数     

建立多项式函数方程的一种方法

用高阶等差数列通项公式为引导 ,认识到K次多项式函数在n =1,2 ,…时的值所形成的数列是K阶等差数列 .反之 ,对一个未知函数方程的多项式函数f(x) ,如果能用试验的方式求得 f(x)在x =1,2 ,…时的值或一列等距点处的值 ,则由此函数值数列的通项公式来导出多项式f(x)的函数方程     

浅谈艾逊斯坦因判别法的教学

多项式理论是高等代数的重要内容之一,在研究有理系数多项式的因式分解时,有下述定理:设f(x)=a_nx~n+a_(n-1)x~(n-1)+……+a_1x+a_0是n次整(数)系数多项式,如果有一个素数P,使:     

整值多项式的判定定理

设 f(x)=a_0x~n a_1x~(n-1) … a_(n-1)x a_n是n次实系数多项式,如果当x取非负整数值时,f(x)都是整数,则称f(x)是整值多项式。一个多项式什么时候是整值多项式呢?本文介绍一种简单的判定方法。先介绍一个引理。引理。设f(x)为n次多项式,则f(x)能唯一地表示成下面的形状:     

多项式值的符号及应用

对于一个实系数一元n(自然数)次多项式F(x),要确定它的值的符号,步骤往往是:1°将这,F(x)在实数集内分解因式;2°用,F(x)的各实根分全体实数为若干个开区间;3°确定F(x)的每一个因式在每一个开区间内的符号,从而确定F(x)在每一个开区间内的符号。上述三个步骤,可以简化,这就是改用符     

数学竞赛中条件多项式的求解方法

多项式理论是代数学的一个重要组成部分，有关多项式方面的问题常常被用作数学竞赛的试题．本文仅就数学竞赛中求解满足某些条件的多项式归纳几种方法介绍如下．1．从分析根的情况入手设n∈N,a_0，a_1，…，a_n∈C（或R，或Z）且a_n≠0，称f(x)=a_nx~n a_(n-1)x~(n-1) … a_0(1）为复（或实、或整）系数一元n次多项式．多项式的次数常记为degf(x)=n．单独的一个非零常数，叫做零次多项式；系数a_0，a_1，…，a_n全为零的多项式叫做零多项式．若数x_0满足f(x_0)＝0，则称x_0为多项式f(x)的根．由代数基本定理：复系数一元n次多项式f（x）有…     

整系数多项式因式分解的数值方法

本文引进整数的t进制表示式和代数式,将任意整系数多项式f(x)化为g(x),使g(t)为t进制表示式,再对g(t)施行数值分解,利用判别条件得出整系数多项式因式分解的数值方法.     

有奖解题擂台(64)

题 1　给定一个非负整数n及两个实数a和c ,求证 :存在无限多个实系数一元多项式P(x) ,使得对每一个x∈R ,都有P(x) +P( 1 -x) =(a·x2 -a·x +c) n。题 2　确定所有的有序非负整数组 (m ,n ,t) ,使得存在至少一个实系数一元多项式P(x) ,对每一个x∈R ,都有P(x) +xm·P( 1 -x) =(x2 -x +1 ) n·(x2 -x -1 ) t;并确定这样的P(x)是否有无限多个 ,请说明理由。(注　供题人对第一位完整且正确的应征解答者授予奖金 60元 ,每小题各设 3 0元 )有奖解题擂台(64)$广州大学理学院数学系@吴伟朝!邮编:510405…     

浅析一类恒等多项式

这类多项式展开后,等式两边分别是(1+x)和x的多项式,但其对应次幂的系数绝对值却对应相等,十分对称。     

关于求多项式最大公因式的逐步降低次数法

§1.引言 我们知道,求多项式f(x)与g(x)的最大公因式d(x)的传统方法是辗转相除法(也称欧几里得算法)。而最后倒推求出多项式u(x)与v(x),使得下面的等式成立: u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x)=(f(x),g(x)).(1)用这种方法,当多项式f(x)与g(x)的次数较高,并且其系数较大时是相当麻烦的,而最后求满足(1)式的多项式u(x)与v(x)时,也是很不容易的。     

π是无理数的一个简证

设π是有理数,即它为二正整数a与b的商a/b:作多项式: f(x)=(x~n(a-bx)~n)/n!, F(x)=f(x)-f~((2))(x)+f~((4))(x)-…+(-1)~nf~((2n))(x),这里正整数n将由后面来确定。因为n!f(x)是x的整系数多项式,且各项x的次数都不小于n,故对x=0时,f(x)及其各阶导数f~((i))(x)的值均为整数,又因f(x)=f(a/b-x),故对x=π=a/b时,它们的值也都是整数。于是由初等微积分的知识,我们有     

简谈有理数域上多项式的可约性

复数域,实数域和有理数域是最为常见的三个数域,因而这三个数域上的多项式是实用最多的多项式。在复数域上,只有一次多项式是不可约的：在实数域上,只有一次多项式和含非实并轭复数根的二次多项式是不可约的。然而,在有理数域上都存在任意次不可约多项式。因此判定有理数域上多项式的可约性就成为十分必要的一个问题。一、问题的解决设f（X）是有理数域上的一个多项式。若是f（x）的系数不全是整数,那么以f（x）系数分母的一个公倍数x乘f（x）,就得到一个整系数多项式kf（x）。显然,多项式f（x）与kf（x）在有理数域上同时可约或同…     

也谈多项式的求值问题

本刊84年第3期《综合除法在多项式求值中的综合应用》一文介绍了一种求有理系数多项式f(x)在x=b+cp~(1/n),x=b+di时的值的方法。本文介绍另一种方法,在k不大时(k=2、3)显得较为简便。设f(x)是n次有理系数多项式,x_1=b+cp~(1/n)(k相似文献   

看系数 找因式

一个关于x的多项式,若各项系数之和为零(包括常数项),则含有因式(x-1);若偶次项系数之和(包括常数项)等于奇次项系数之和,则含有因式(x+1),这样就可以根据系数特点,找出一些多项式的某些因式,从而为利用拆项法或分组分解法进一步找出其他因式提供了方便,现举例如下:     

多项式恒等定理在级数求和上的应用

在代数里,我们知道一个次数不超过 n 的非零多项式至多有 n 个根.如果有一个次数不超过 n 的多项式 P(x),当 x 取 n+1个不同值时有 P(x)=0.那么 P(x)≡0.由此可推出,两个次数均不超过 n 的多项式,R(x)、Q(x),如果 x 取 n+1个不同值时有 R(x)=Q(x),那么有 R(x)≡Q(x).进而可推出:如果 R(x)≡Q(x),那么 R(x)与 Q(x)中 x 的同次幂的系数也相等.这就是多项式的恒等定理,它有着广泛的应用.本文着重叙述它在级数求和上的应用.     

整值多项式判定定理及其应用

定义:若实系数n次多项式 f(x)=a_0x~n a_1x~(n-1) … a_(n-1)x a_n 当x取任何整数时,多项式f(x)的值皆为整数。则称F(x)是整值多项式。关于整值多项式的知识在有关书籍上已有论述。但所给判定方法及其证明既非初等且表述冗长,运算复杂。有的还需要巧妙的变形与详尽的讨论.这里介绍一个判定定理,把整值     

整数根定理的再改进

关于整系数多项式的整数根,有如下定理: 1.给定整系数多项式 f(x)=a_nx~2+a_(n-1)x~(n-1)+…+a_1x+a_0 (a_0≠0)如果r是f(x)的整数根、则r必是a_0的因子。由这个定理虽然可确定f(x)的可能的整数根的范围,但在某种情况下,范围是比较大的。所以有必要把这个“可能零点”的个数尽量减少。《中学数学教学》1983年第2期发表的“整数根定理的改进”一文,对定理1作了改进。使可能的整数根的范围大大缩小。该译文的定理如下:     

整系数多项式在Q上不可约性的判定

本文研究列举了整系数多项式在Q上不可约的判定条件,并给出了多项式f(x)存在虚根的条件.     

有关一个整系数多项式环定理的矩阵证明

本文旨在 :(1)用有理数域多项式矩阵证明以下定理 :设Z代表整数环 ,Z[　 ]代表整数系数多项式环 (我们简称整系数多项式环 ) ,定理 :设f1;f2 ;…fn 是Z[x]中一组 (n个 )元素 ,d是它们的最大公因式 ,则Z[x]中一定有一组相应的元素q1;q2 ;…qn,使得 :d =f1·q1 f2 ·q2 … fn·qn.(2 )用矩阵来计算若干个整系数多项式的最大公因式 .