导数用于根的问题(高一、高二、高三)

本文例析导数的一个应用:研究方程根的问题,这可以提高学生对高考新题型的适应能力.例1证明2x=sinx只有一个根x=0.证明设f(x)=2x-sinx,x∈R.因为f'(x)=2-cosx>0,所以f(x)在R上递增.而当x=0时,f(x)=0,由单调函数自变量与函数值一一对应知原方程有唯一根x=0.     

赏析一道平民化的压轴题——对2007年江苏卷21题的评析

题(2007年高考江苏第21题)已知a,b,c,d是不全为0的实数,函数f(x)=bx2 cx d,g(x)=ax3 bx2 cx d,方程f(x)=0有实根,且f(x)=0的实数根都是g(f(x))=0的根;相反,g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根.(1)求d的值;(2)若a=0,求c的取值范围.(3)若a=1,f(1)=0,求c的取值范围.本题主要考查函数     

三次方程根的个数初探

三次方程的根的个数,该如何求呢?利用导数,便可以解决.下面讨论:方程ax3 bx2 cx d=0(a>0)的根.分析:函数y=ax3 bx2 cx d的图象与x轴有几个交点,方程便有几个根.解:由题意得:f′(x)=3ax2 2bx c∵a>0∴y=f′(x)图象开口向上,且Δ=4b2-12ac(1)当Δ>0时,即4b2-12ac>0,b2>3ac时∴方程f′(x)=0有两个不同的实根,x1,x2不妨设x1x2时f′(x)>0,x1相似文献   

两个方程根之间的关系及其推论

设函数y=f(x),y=g(x)的反函数分别为:y=f~(-1)(x),y=g~(-1)(x).记方程f(x)=g(x)及f~(-1)(x)=g~(-1)(x)的根分别为α、β.若F(x)=f(x)-g(x)是单调函数,则有β=f(α)=g(α).     

聚焦函数零点的应用问题

<正>如果函数y=f(x)在x=a处的函数值等于零,即f(a)=0,则称a为函数y=f(x)的零点,因此函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根。函数的零点把函数和方程紧密地联系在一起。函数的零点是函数的一个重要性质,在分析解题思路、探究解题方法中发挥着重要作用。一、利用函数零点研究方程的根由于函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根,所以在研究方程的有关问题(比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等)时,都可以将方程问题转化     

函数与方程思想在解题中的运用举隅

通常函数与方程思想在解题中的应用主要表现在两个方面:许多有关方程的问题可以用函数的方法解决;反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决.一、解函数、方程问题解方程f(x)=0就是求函数f(x)当函数值为零时自变量x的值;求方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数y=f(x)与y=g(x)的图象的交点横坐标或交点个数.     

用函数观点研究方程

我们知道,每一解析函数式,当把其中的变量看成未知数时,它就是方程;反之,每一方程,当把其中的未知数看成变量时,它就是函数或函数的特殊情形.方程 f(x)=0就可说是函数y=f(x)在 y=0时的情形.对于方程 f(x)=g(x)的解,可看成是函数 y_1=f(x)和函数 y_2=g(x)在 y_1=y_2时的 x 值.用研究函数的观点去研究方程,可使一些难题的解答具有直观性,方法别致、巧妙.     

一个函数图像对称问题的探索

文[1]至文[4]都对如下两类常见的对称问题进行了辨析:例1设函数y=f(x)定义在实数集上,且满足f(1 x)=f(1-x),则f(x)的图像关于对称.例2若函数y=f(x)的定义域为R,则函数y=f(1 x)与y=f(1-x)的图像关于对称.作为其补充,本文再给出一组容易混淆的对称问题:例3若函数f(x)(x∈R)满足:f(x-3) f(1-x)=0,且方程f(x)=0恰有三个相异实根,求这三根之和.例4已知函数f(x)(x∈R),若方程f(x-3) f(1-x)=0恰有三个相异实根,求这三根之和.分析对于例3,由条件知:f(x)的图像关于点(-1,0)成中心对称,又已知方程f(x)=0恰有三个相异实根,所以这三个根中必有一根为-1…     

多次求导——破解导数零点问题

<正>例设函数f(x)=ex-1-x-ax2.(1)若a=0,求f(x)的单调区间;(2)若当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.参考答案如下:(1)a=0时,f(x)=ex-1-x,f′(x)=ex-1.当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.故f(x)在(-∞,0)上单调减少,在(0,+∞)上单调增加.     

对一道高考试题的商榷和另解

2007年江苏卷最后一道(第21)题:已知a、b、c、d是不全为零的实数,函数f(x)=bx~2 cx d,g(x)=ax~3 bx~2 cx d,方程f(x)=0的实根都是g[f(x)]=0的根;反之,g[f(x)]=0的实根都是f(x)=0的根.(1)求d的值;(2)若a=0,求c的取值范围;(3)若a=1,f(1)=0,求c的取值范围.     

一类特殊方程的无解性的判别法

中学代数中,有些较为特殊的方程,在实数范围内无解,若依照一般解法,不但演算过程复杂,而且很难判定它们在实数范围内是否无解。本文试图给出这类无解方程的两个判定定理,可以简化解题过程,省时省力。定理1:若方程f(x)=0可表示成f_1[g(x)]=0,且f_1(y)=0无实数根,则方程f(x)=0无实数根。(其中f(x),g(x),f_1(y)均为代数函数,下面定理2假设相同。)。证明:设f(x)=0有实数根x_0,则有: f_1[g(x_0)]=0。令 y_0=g(x_0),则f_1(y_0)=0 即y_0是方程f_1(y)=0的实数根,与题设相矛盾。从而方程f(x)=0无实数根。定理2:若f(x)=0可表示成f_1[g(x)]=0,且f_1(y)=0有实数根y_1,y_2,…,y_n,但对于每一个y_i(1≤i≤n),方程g(x)=y_i都无实数根,则方程f(x)=0无实根。     

浅谈三角方程增减根与根的通值式的等效性的检验

众所周知,解较复杂的三角方程,往往要对原方程施以变形,使它变成一个或几个最简方程再解。然而,由于方程经过变形,方程的同解性有时被破坏,从而产生增减根。因此,解较复杂的三角方程都必须验根。这是保证三角方程解的正确性的必要步骤。那么,应如何检验呢?这里介绍一种较简便的方法——利用方程的周期来检验。一方程的周期定义当方程f_1(x)=f_2(x)化为形如F(x)=0的方程时,函数F(x)的周期叫做方程F(x)=0的周期,亦即方程f_1(x)=f_2(x)     

例谈三次函数性质的应用

由于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)的导数是二次函数,二次函数是高中数学中的重要内容,所以三次函数的问题已成为高考命题的一个新的热点和亮点.1三次函数的性质1.1三次函数的单调性因为f′(x)=3ax2+2bx+c,所以方程f′(x)=0中,Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac),于是:(1)当b2-3ac>0时,方程f′(x)=0有两个不同的实数根x1,x2(不妨设x1相似文献   

利用对称性求解根之和

有关方程所有根之和,我们有下列结论: 结论1 若函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称,且方程f(x)=0有n个根,则这n个根之和为na(n∈N*).     

导数的十大综合应用

一、导数与函数单调性相关问题例1已知a!R,求函数f(x)=x2eax的单调区间.解析函数f(x)的导函数f′(x)=2xeax ax2eax=(2x ax2)eax.(1)当a=0时,若x<0,则f′(x)<0;若x>0,则f′(x)>0.故当a=0时,函数f(x)在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0, ∞)内为增函数.(2)当a>0时,由2x ax2>0,解得     

求递推数列通项公式的若干方法

1不动点法把方程f(x)=x的根叫做函数f(x)的不动点,方程f(x)=x叫特征方程.(1)对一般的递推数列{an},若f(x)=ax bcx d,an 1=f(an)1当函数f(x)有两个不同的不动点α,β时,令bn=aann--βα,则bn 1=aa--ccβαbn,问题转化为等比数列.2当函数f(x)有一个不动点α,可令bn=1an-α,则bn 1-bn=a-ccα,问题转化为等差数列.(2)设函数f(x)=2xx2 AB有两个不同的不动点x1,x2,且an 1=f(an),则aann 11--xx12=(aann--xx21)2证明:aann 11--xx12=an2 A2an B-x1an2 A2an B-x2=an2-2x1an A-Bx1an2-2x2an A-Bx2因为x1,x2是方程2xx2 AB=x的两根,所以2xx211 …     

聚焦以拐点处切线为背景的高考压轴题

<正>1考情新动向题1(2018年高考全国3卷理科)已知函数f(x)=2(+x+ax²)ln(1+x)-2x.(1)若a=0,证明:当-10时,f(x)>0;⑵略.命题组给出的标准答案如下:(1)当a=0时,f(x)=2(+x)ln(1+x)-2x,f′(x)=ln(1+x)-x/1+x.设函数g(x)=f′(x)=ln(1     

不动点的性质及应用

近年来,在一些省市高考试题中开始重视不动点的考察,通常以不动点为载体,与函数、数列、不等式、解析几何等知识进行综合,这类问题情境新颖,独到,而教材上又未过多涉及.本文试图探索不动点问题的解题途径、规律和策略.权当对教材的补充.1函数不动点的定义定义:对于函数f(x),若存在实数x0,满足f(x0)=x0,则称x0为f(x)的不动点.对此定义有两方面的理解:(1)代数意义:若方程f(x)=x有实数根x0,则y=f(x)有不动点x0;(2)几何意义:若函数y=f(x)与y=x有交点(x0,y0),则x0为y=f(x)的不动点.在实际问题中经常根据f(x)=x根情况进行讨论,同时结合图形来求解…     

三次函数的图象、性质及应用

一、三次函数的图象及其性质对于三次函数 y=f(x)=ax~3+bx~2+cx+d(a≠0),我们有 y′=f′(x)=3ax~2+2bx+c.设导函数 y′=f′(x)的判别式为△=4b~2-12ac=4(b~2-3ac).(1)当 a>0时,(i)若△>0,则方程 f′(x)=0有两个不等的实根。设两实根为 x_1,x_2(x_10、f(x_2)<0)时,图象与 x 轴有三个不同的     

巧用根轴判断2圆的位置关系

把圆C1:x2 y2 D1x E1y F1=0(其中D12 E12-4F1>0)和圆C2:x2 y2 D2x E2y F2=0(其中D22 E22-4F2>0)的方程相减,便得到2圆的根轴l的方程为(D1-D2)x (E1-E2)y (F1-F2)=0·①人们已经证明:(1)到圆C1和圆C2的切线长相等的动点都在其根轴l上;(2)当2圆C1和C2相交时,根轴l就是2圆C1和C2的