等比数列的一个充要条件及其应用

对常规的等比数列求和公式略加变形即得一个整洁简练的公式Sn=kq^n-k，以此引探，得到了等比数列的一个优美的充要命题。这一命题对解涉及等比数列求和的题十分快捷。此外，还对复合式^k∑i=1 xi q^ni＋m是否是等比数列的前n项和求和式作了探讨。     

正三角形中的一个不等式及其推广

本文将给出正三角形中的一个新的不等式,并对它作一些推广. 定理 设D、E、F分别是正△ABC的边BC、CA、AB上的内点,△ABC、△AEF、△BDF、△CED的面积分别记为S、S_1、S_2、S_3.则 1/s_1 1/s_2 1/s_3≥12/S     

一个涉及中点的充要条件及其应用

1 命题及其简证 命题如图1,在△ABC中,中线AN与DE交于M,则DM=ME的充要条件是DE∥BC.     

一个充要条件的应用

点P(x0,y0)在椭圆x2/α2 y2/b2=1内(外)部的充要条件是x0/α2 y0/b2(>1).利用这一结论解决有关椭圆的范围问题,往往简捷迅速. 例1 设直线l的方程为y=mx b,椭圆E的参数方程为{x=1 αcosθ,y=sinθ (α≠0.θ为参数)问α、b满足什么条件时,使得对任意m值来     

一个充要条件的应用

齐次线性方程组a_1x+b_1y+c_1z=0a_2x+b_2y+c_2z=0(*)a_3x+b_3y+c_3z=0的系数行列式是D=a_1 b_1 c_1a_2 b_2 c_2a_3 b_3 c_3显然,当 D0时,方程组(*)有唯一解,即x=y=z=0,或叫做零解.但当 D=0时,方程组(*)除零解外还有无穷多个非零解.关于方程组(*)有非零解的充要条件有下述定理:定理:齐次线性方程组(*)有非零解的     

一个充要条件的应用

一个充要条件的应用韩天禧（甘肃省高台一中７３４３００）定理数列｛ａｎ｝为等差数列的充要条件为：它的前ｎ项和Ｓｎ＝Ａｎ２＋Ｂｎ，或通项ａｎ＝２Ａｎ－Ａ＋Ｂ（Ａ、Ｂ为常数）．证明必要性设等差数列｛ａｎ｝首项为ａ１，公差为ｄ，则Ｓｎ＝ｎａ１＋ｎ（ｎ－１）ｄ...     

一个充要条件的应用

齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式D等于零,这一定理在中学数学解题中有较多的应用,本文就这方面的应用进行了初探。     

一个不等式取等号的充要条件及其应用

高中数学课本证明了不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,用它可以证明不等式、求极值等。但由于课本没有指出其“=”号成立的充要条件,在应用时可能导致解题的错误。请看下面的例子。     

两直线垂直的一个充要条件及其应用

命题:A、B为直线m上的点,C、D为直线n上的点,则m⊥n的充要条件是:AC2-AD2=BC2-BD2.     

正三角形的一个性质

定理 正三角形各顶点到其外接圆上任一点的切线的距离之和为定值。 证明 如图,过正△ABC各顶点作其外接圆切线构成正△A′B′C′。设P为外     

正三角形中的一个不等式

定理 设D、E、F分别是正要△ABC的边BC、CA、AB上的内点,△DEF、△AEF、△BDF、△CED的周长分别记为m_0,m_1,m_2,m_3。则: 1/m_1 1/m_2 1/m_3≥3/m_0 证明 在△AEF中,∠A=60°.由余弦定理有: EF~2=AE~2 AF~2-2AE·AF·cosA=AE~2 AF~2-AE·     

一个充要条件的某些应用

当ａ、ｂ是不同时为零的实数时 ,形如ａｓｉｎｘ ｂｃｏｓｘ =ｃ ( )的三角方程有解的充要条件是ａ2 ｂ2 ≥ｃ2 (高中《代数》上册 ) .即当ａ2 ｂ2 >ｃ2 时 ,方程 ( )在 [0 ,2π)内有不同二实解 ;当ａ2 ｂ2 =ｃ2 时 ,方程 ( )在[0 ,2π)内有唯一实解 .这个条件虽简单、但它却潜藏着不凡的应用功能 .现简要介绍如下1　直接根据题目所给出的条件 ,逐步对所求问题进行加工、调节 ,使其转化为方程 ( )的形式 ,可使问题化难为易 ,简洁求解 .例 1　 (1990年上海高考题 )复平面上点Ａ、Ｂ对应的复数分别为ｚ1=2 ,ｚ2 =- 3,点Ｐ对应的复数为ｚ ,…     

两个平面垂直的一个充要条件及其应用

两个平面垂直的一个充要条件及其应用陕西省南郑县江南压铸总厂子校郝世富定理由一点Ｓ引不共面的三条射线ＳＡ、ＳＢ、ＳＣ，设∠ＡＳＢ＝θ１，∠ＢＳＣ＝θ２，∠ＡＳＣ＝θ，其中θ１、θ２、θ均为锐角，则平面ＡＳＢ⊥平面ＢＳＣ的充要条件是ｃｏｓθ１·ｃｏｓθ２...     

动圆过定点的一个充要条件及其应用

命题 设点B、C分别在由点A引出的两条射线上．则△ABC的外接圆恒过么A（0°〈∠A〈180°）内不依赖于点B、C的定点D的充要条件是,存在正实数λ1、λ2,使λ1AB＋λ2AC为定值．     

直线和椭圆相切的一个充要条件及其应用

众所周知,在研究平面几何中有关直线和圆相切的问题时,有一条重要的定理:如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么直线l和⊙O相切的充要条件是d=r。试问:对直线和椭圆相切是否也有类似的结论呢?几经联想、类比,探求得如下结论:     

直线与双曲线相切的一个充要条件及其应用

在研究平面几何中有关直线和圆相切的问题时,有一条重要的定理:如果圆O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么直线l和圆O相切的充要条件是d=r.本文通过直线与圆相切的充要条件展开联想、类比和探求,得出了直线与双曲线相切的一个充要条件.并举例说明了此充要条件在处理有关直线与双曲线相切问题中的具体应用.     

有关正三角形的一个性质

问题 P为正三角形ABC内的一点,且PA=4,PB=2(1/3),PC=2,求正三角形ABC的边长。 由上述问题,本人想到将其推广到更一般情形:     

一个充要条件的推广及应用

《中学数学月刊》1997年第8期《线段垂直的一个充要条件及应用》一文中,介绍了一个平面几何定理:“线段AB与CD垂直的充要条件是AC~2-AD~2=BC~2-BD~2.”这个定理在空间也成立。     

正三角形外接圆周上点的一个性质的应用

正三角形外接圆上任一点到三顶点的距离，其最长必等于较短二之和.(图1)(证明略)