数学竞赛问题（10）

353.设 a ∈ R, y = fa (x) = x2 (a 2)x ? a . (1) 求证:所有的二次曲线 y = fa (x) 都经过一个定点; (2) 求证:所有的二次曲线 y = fa (x) 的顶点都落在一条固定的二次曲线上; (3) 设 y = fa (x) 与 x 轴相交或相切,求出其小根的取值范围. 注 本题于2004年7月提出,被作为2004年《中学生数理化》主办的“数学夏令营(高中)(郑州) ”竞赛试题. 354.试求出所有的整数对 (a,b) ,使得 (a ?b 1)(a b 2) 整除ab 1. 355.试求出所有的整数对 (x, y) ,使得 x整除 y2 ? 4y 1,并且 y 整除 x2 2x ?7 . …     

数学竞赛问题（7）

176.设*{1,2,3,4}N=L,问:是否存在函数**:fNN,使得对于任何的*nN,都有()(())(1)fnffnnn=??请说明理由. 177.试求出所有的正整数n,使得22n 33n 能整除331nn . 178.试求出所有的实数a,使得关于x的一元二次方程227(2749)axaax - - 14a 490-=的两个根皆为整数. 179.试求出所有的实数a,使得关于x的一元二次方程2430xaxa- =的两根皆为整数. 注 本题是于2002年10月20日为“2002年(第四届)广州市中学生创新精神和实践能力测评(竞赛)”所命制的数学试题(初赛). 180.在平面直角坐标系xoy,点P的坐标为(3,4),而点Q和R分别在x轴和y轴上,使得△PQR…     

数学竞赛中的数列问题

高中数学竞赛的试题,有的重在考察数学的基础知识与基本技能,有的重在考察学生运用数学知识方法解决实际问题的能力,数列在实际生活中应用范围很广,题目也具有灵活多变的特点,所以其在数学竞赛活动中也是一个必考的基础知识,解决数列问题的思想方法有多种,笔者进行了如下归纳.     

数列通项公式的求法

数列是高中数学中的一项重要内容，在实际生活中有着广泛的应用。学好数列的关键就是要懂得写出数列的通项公式．因为有了数列的通项公式，就可以熟练地写出该数列的任一项或求出前几项的和。写出数列的通项公式，就是要找出数列的第n项an与n之间的关系式。由已知数列的前几项且假定     

数学问答

96:若使不等式|x2-4x p| |x-3|≤5成立的x的最大值是3,求p的值.(浙江绍兴县鲁迅中学高一(15)班吴名)答:设f(x)=|x2-4x p| |x-3|.依题意得即解得40(因其判别式△=16-4p<0).     

由数列的递推公式求通项公式的一类特殊解法

由数列的递推公式求通项公式，往往是通过变形转化为等差或等比数列来解决．变形是关键，有着较强的技巧．这里介绍一种利用不动点来求通项的方法，对解决以下几种类型的题目简单、易行。     

已知递推式求数列通项再探

文[1]给出了已知递推式求数列通项的三种类型: 类型1 Aann+1=Ban+C(其中A,B,C∈R且A·B≠0).     

一道数列应用题研究

题目:某地现有居民住房的总面积为am2,其中需要拆除的旧住房面积占了一半.当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下,仍以10％的住房增长率建设新住房. (1)如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番,那么每年应拆除的旧住房总面积x是多少?(提示:计算时可取1.110为2.6)     

一类分式递归数列的通项公式

本文给出一类由分式递推公式所确定数列的通项公式的求解方法 .问题 1　已知数列 { an}中 ,a1 =α,an+ 1 =λan+β,α>0 ,λ>0 ,β>0 ,求数列 { an}的一个通项公式 .解　由题设条件知 an>0 (n∈ N*) ,根据递推公式 an+ 1 =λan+β,得 an(an+ 1 -β) -λ=0 .令 bn=an+-β+β2 +4λ2 ,代入上式得 (bn+β-β2 +4λ2 ) (bn+ 1 - β+β2 +4λ2 ) -λ=0 ,即 (β-β2 +4λ) bn+ 1 - (β+β2 +4λ) bn+2 bnbn+ 1 =0 .令γ=β2 +4λ,由 an>0 (n∈ N*) ,-β+β2 +4λ>0知 bn>0 (n∈ N*) ,将上面等式两边同时除以bnbn+ 1 ,得 β-γbn- β+γbn+ 1+2 =…     

差等比数列的通项公式与前n项和公式

本文对差等比数列的通项与前n项和进行探究,给出差等比数列的通项公式与前n项和公式。定义若数列{a_n}中,从第二项起,每一项与前一项的差成等比数列,则称该数列{a_n}为差等比数列。     

例说数列通项与项的解题功能

数列的项与通项在数列中扮演着重要的角色.项是组成数列的元素,项是通项的具体化,项又是发现通项的第一手材料.通项反映了数列中项的共性特征,这种共性特征又常常是解数列题的根本.项是数列的个性特征,常常是解数列题的思维起点.通项与项的这种关系,在解数列题中有着重要的功能.     

小学数学竞赛中几何题的常用解法（一）

一、借助定值法例1.如图1,ABCD是长方形,图中的数字表示各部分的面积,求图中阴影部分的面积。(单位:平方厘米)     

二阶线性递推数列的研究

近十几年,数学竞赛中常有涉及二阶线性递推数列的问题.国内刊物介绍二阶线性递推数列(aun bun-1 cun-2=0,ac≠0,n≥3)的文章虽然较多,但这类文章(如[1],[2])均直接引入"特征方程"的概念,读者常有是怎样想到引入"特征方程"来研究{un}的通项的疑问.本文的研究,将回答这一问题.