由递推公式求通项公式常见问题分析

数列中一个很重要的问题是由递推公式求通项公式,这类问题的一般方法是把递推公式变形,然后将它看成新数列（通常是等差或等比数列）的通项公式或递推公式,最后用新数列的性质解决问题.一、基本方法1.求和法:采用累加或累乘,有时需要用到a_n=S_n-S_n-1.例1已知正数数列{a_n}的前n项和S_n=1/2（a_n+1/a_n）,求{a_n}的通项公式.     

破“项和关系”困局 立推理素养之基——以2022年新高考卷Ⅰ的数列题解法为例

近年来,高考数列题的题型不断创新,数列的通项a_n和前n项和S_n关系交织,给考生求解带来诸多困难.本文以2022年新高考卷I的数列题解法为例,通过分析归纳猜想、“项”“和”转化等三种求通项公式的思路,探索了如何在夯实知识基础的同时,培养学生的数学思维,落实发展学生数学推理素养.     

刨根问底找题源

一、以教材例题为题源高考真题1（2014年高考湖南文科卷第16题）已知数列{a_n}的前n项和S_n=（n²+n）/2,n∈N*.（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式.（Ⅱ）设b_n=2^a_n+（-1）ⁿa_n,求数列{b_n}的前2n项和.教材原型（人教A版高中数学教材必修5第44页例3）已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+（1/2）n,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如     

一道高三模考数列题的解法探究

试题(2020年11月衢州、丽水、湖州三地市教学质量检测第20题)已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n,且a₁=1,S_n+1+S_n=a²_n+1(n∈N^*).(Ⅰ)求a₂,a₃的值,并写出数列{a_n}的通项公式.     

错解数列题的原园分析

易错点1:忽视数列求和的项数而导致错误例1设数列{a_n}的前n项和为S_n,且b_n=2-2S_n,数列{a_n}为等差数列,且a₂=14,a₇=20.（1）求数列{b_n}的通项公式.（2）设c_n=a_nb_n,T_n为数列{c_n}的前n项和,若2a²-5a>2T_n恒成立,求实数a的取值范围.难度系数0.60     

一道高考数列题的解法赏析

题目设数列{a_n}的前n项和为S_n,满足2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1,n∈N^*,且a₁,a₂+5,a₃成等差数列。（1）求a₁的值。（2）求数列{a_n}的通项公式。这是2012年普通高等学校招生全国统一考试广东卷（理科）的一道数列题（第19题）,它蕴含着多种解题方法。现给出第二问的7种解法,供参考。解法1:由（1）得a₁=1。     

2014年高考数学必做解答题——数列

第1点等差、等比数列的综合,数列求和（）必做1已知等差数列{a_n}的首项a₁=2,a₇=4a₃,前n项和为S_n.（1）求a_n及S_n.（2）设b_n=（S_n-4a_n-4）/n,n∈N*,求b_n的最大值.牛刀小试破解思路对于第（1）问,等差数列问题通常以首项a₁和公差d为基本量,由于已知a₁的值,故只需把条件a₇=4a₃翻译成关于d的方程,从而得到d的值;再利用等差数列的基本公式（通项公式及前n项和公式）求解即     

浅谈“辅助数列法”求数列的通项公式

本文介绍了用“辅助数列法”术数列的通项公式。求数列的通项公式是高考中常见题型,通过给出一道题的变式训练,归纳总结求通项公式的“辅助数列法”．     

浅谈高三复习中注意强化函数思想方法

数学思想方法是对数学知识和方法的本质认识,是解决数学问题的根本策略和程序,是数学思想的具体化反映.一、数列中的函数思想方法.数列可以看作一个定义域为正整数集N^*（或它的有限子集{1,2,3,…,n}）上的函数,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值（高中代数下册36页）这列函数值的通项a_n,前n项和S_n都可以看作a_n和S_n与n的函数关系式,这提供了解决这类问题的函数思想方法.例1等差数列{a_n},S_n=m,S_m=n,求S_m+n（m≠n）分析考虑到S_n是二次函数,S_n/n是一次函数,本题可转化为求S_m+n/（m+n）=?即由已知条件知,A（n,m/n）,     

一类数列公共项问题的求解策略

<正>对两个数列{a_n}和{b_n}，特别是两个等差(比)型数列，经常会遇到求它们的公共项组成的新数列{c_n}的相关问题．本文借助几个典型例题，分析此类问题的几种求解策略，期望对大家的解题有所帮助．一、观察通项，寻找最小公倍数例1已知数列{a_n}和{b_n}的通项公式分别为a_n=3n+6,b_n=2n+7(n∈N^*)，它们的公共项由小到大排成的数列是{c_n}．(1)求c₁,c₂,c₃,c₄的值;(2)求数列{c_n}的通项公式．     

等比数列求和公式推导方法赏析

在数学公式的教学中,公式的推导过程既是明确公式的条件和结论的过程,又是培养学生推理能力的过程,同时也是加强公式记忆的过程,因而具有极其重要的地位.本文以等比数列求和公式为例向读者介绍八种推导方法.这些方法思路迥异,殊途同归,各有巧妙,无不彰显数学科学独特的美丽.设数列{a_n}是公比q的等比数列,推导数列{a_n}的前n项和公式.方法1错位相减法对于等比数列{a_n},它的前n项和是S_n=a₁+a₂     

巧用不动点法求数列的通项公式

在学习了数列之后,大家会经常遇到已知a₁及递推公式a_n+1=f（a_n）,求数列{a_n}的通项公式的问题,很多题目令人感到非常棘手.本文将就此问题给出一个"公式"性的方法——不动点法,应用此法可巧妙地处理此类问     

如何用构造法求数列的通项

例1已知数列|a_n|的前n项和为S_n满足:a_n=2S_nS_n-1=0（n∈N^*,n≥2）,a₁=1/2.（1）求证:{1/S_n}是等差数列;（2）求a_n的表达式.解因为a_n+2S_nS_n-1=0（n∈N^*,n≥2）,所以S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0,在等式的两边同除以     

求杂数列通项公式的若干方法

数列的通项公式是研究数列的重要工具,因而是教学中的重点.但求杂数列的通项公式又是难点。本文归纳了一些求通项公式的规律。一、观察比较法熟练掌握一些常见数列的通项公式,通过观察比较求得待求的通项公式。例1.求数列0,9,26,65,124,…的一个通项公式。     

一堂数列习题课的案例分析

1背景介绍 本文是对本校C老师的一堂习题课录像进行的案例分析．这是一堂由递推关系求数列的通项公式的探究课，通过引导学生对“汉诺塔游戏”的分析，引出“已知{an=2an-1＋1, a1=1,求数列的通项公式”的、一问题．整堂课充满着浓浓的探究氛围，教师的“介入”也是恰到好处．对学生和听课老师来说是一次艺术的享受．     

求数列通项公式的几种简便方法

求数列通项公式的几种简便方法姬鸿广求数列通项公式，是“数列”一章研究的主要问题之一。在求数列的通项公式时，必须明确：不是每一个数列都可以写出它的通项公式；通项公式可以是几个解析式子；除等差数列或等比数列外，没有统一的求通项公式的方法。由于这些原因，求...     

等差数列中的“等差数列”

首项为a₁,公差为d的等差数歹的通项公式是a_n=a₁+（n-1）d,前n项的和是S_n=na₁+（n（n-1））/2d.由此得（S_n）/n=a₁+（（n-1））/2d=a₁+（n-1）1/2d,若令1/2d=d’,则得（S_n）/n=（S₁）/1+（n-1）d’,这表明数列{（S_n）/n}是以（S₁/1）为首项,公差为d’=1/2d的等差数列,于是我们可以从等差数列的     

浅谈数列通项公式的求法

数列是高中数学教学的重点,数列的通项公式直接表述了数列的本质,如同函数中的解析式一样,而求数列通项公式又是数列问题的难点,只有掌握了求数列通项公式的常用方法,才能随心所欲地处理数列通项公式问题。为此,本文系统总结了高中数学中求数列通项公式的方法。     

巧用常数列求通项

求通项公式是数列的基本问题,是解决数列其他问题的基础和前提,但是求数列通项时灵活性较强,往往直接求解有困难,通常需要转化,这就给我们的学习带来一定的困难,但在求通项时,如果能巧妙应用常数列去解题会达到事半功倍的效果,下面举例来说明.例1设数列{a_n}是首项为1正项数列,且（n+1）a_n+1²-na_n²+a_n+1a_n=0（n=1,2,3,…）,求它的通项公式.解法1因为（n+1）a_n+1²-na_n²+a_n+1a_n=0,     

2021年全国新高考数学Ⅰ卷第17题的解法探究和教学启示

1问题提出(2021年新高考Ⅰ卷第17题)已知数列{a_n}满足a1=1,a_n+1={a_n+1,n为奇数,a_n+2,n为偶数。(1)记b_n=a_2n,写出b₁、b₂,并求数列{b_n}的通项公式;(2)求{a_n}的前20项和.本题以“奇偶项交织”的递推关系考查数列的基本知识,注重基础,但形式新颖,解题方法较为丰富.