如何求解有理分函数Y=a_1x~3+b_1x+c_1/a_2x~3+b_2x+c_2的极值

我们知道,求形如梦-a,xZ+乙,x+e,a Zx’+石Zx+cZ(a,,a:不同时为零)且函数定义域为a:工’+西2。‘2年。的实数的函数的极值,是用判别式刁方等实根的充要条件是(朱)2十法,通过求函数的值域,然后求得函数的极值的。例1求函数夕 xZ一x+1一‘xZ十x+1的极值.召1 Cl夕2 cZ欢】·】翻>。· 解:丫又少x任R都有扩+x十1>o,:.函数定义域R.去分母变形为(,一1)护一卜(;+1)x十刀一1二0当夕一1子。即夕铸1时,由x任R得① 刁解之得=(方+1)’一4(夕一z)’》0.告《万(3。当穿=1代入方程①得x二O任R.二函数召的值域为一登(万簇3.故函数的极值为穿。i。=合,…     

数学单元测试题（一）

一、填空题1.若分式xZ一Zx一3尹一6了+9的值为零,则二 8‘xZ一4 2二。I,、,一丁,一不十1阴恨刀 沈—‘用换元法解方程x“一卜xZ一3J一3二一4.如设尹一一y,则原方程可化为关于y的整式方程是‘·若材一5x+萨器丙一5一0,则2xz一5一‘的值是—5·若关于二的方程碧一卜。有增根,则·的值是—·6.若尹一6刀+9少+}x月一Zy一5卜o,则x+3y-王老师在课堂上给出了一个二元方程x+y一卿,让同学们找出它的解.甲写出的解是y一O;乙写出的一_{x一2,、._..…___,__.一_解是}_请你找出与甲、乙小相同的一个解是 、y一乙.8.若方程组一m二+2,①yZ+4x十1_没有实…     

巧求轮换对称式的值

例l已知歹牵夏一“窗子诬一‘,,求i译石十击+r认的值· 解根据已知条件,由合比性质,得 忍x+y一‘,x十y十二并①②③ X劣+y+艺 yx+y十二 之 二+y+之①十②十③,得 召1十a’ b1+b’ C1十c. 己1+a b .c州卜万-节产一下.十二一气下一,一1。 1.,we夕1.冲一‘~_一一.,_,,_~了1‘1),!Z匕‘为1口一卜口一卜c~V,a口c7:U,习陀al几歹.州一一丁{一卜 、口‘,州告十引+c暗+翻+3的值· 解将3写成号十会十含,则原式一誉十令+含+粤+含十冬+生十口口至b十三 1,,.、.1,:,.、,1,.;.、八一一仁ad一D月一‘户七卜下万戈“一卜o--t esc夕一r气、“月一o州一c夕…     

错在哪里

四川蓬澳县教师进修学校周余孝题:、长函数夕=x+了Ib牙二乏5二无万的值 (封一x)三二10x一23一名望即Zx资一2(g+。)劣+(,,·厂23)二o⑤ ,.’劣是实数,又 .,.△==4(奋+5)2一心xZ(升子+23)势0解得3《肚‘7 将沙==3代入③得:=4满足②,,’.甘‘.,a’ 将,=7代入③得:=6满足②,稿。来.域解t‘.’夕=x+认10x一23一x,10x一23一劣2奋O5一斌万《丫《5+了万由①可得①②令得少。.二了。函数夕=x,亿1石无二乏丁而百的值域是〔3,7〕。 解答错了!错在哪里? 因为方程③是方程①的结果,即方程①的解都是方程③的解,但方程③的解不一定是方程①的解。事实上,…     

一个递推公式的妙用

一、斑推公式的介绍 设x:,xZ,x。为实系数一元三次方程 x3+pxZ+qx+丫=o的三个根,且SK=x荟+x’i+x誉,则存在下列递推公式: S。+PS。一:十qs。一2+YS。一5=0(A)由(A)可得SK与方程系数间的关系表:S。一3S:=一p52~pZ一ZqS玉=一p于+3pq一3丫s。二p‘一4pZq+4p丫+Zq’S。一一p’牛sp”q一6p’丫一spq’小5丫qS。=p6一6p‘q+6p,r+gp,q盆一12pqr 一2q3+3r:·························,·······……等等(证明〕设f(x)=x,+pxZ+qx+丫 二(x一x:)(x一x:)(x一x3)对f(x)求导数,有 f‘(x)二3x’+Zpx一卜q令n=3,4,5,…     

三角最值讲解

类型1夕一asin:+占eos、r型这类函数求最值时，先将函数转化为，一了了丁歹·‘n(J+*)，其中t一*一夸，再用三角函数的有界性来处理.如夕=asinZx+bsinjeos了+(，eos之J这样类型的题目，可以先降幂、然后变形为上面的形式求最值.例1函数少=(a。05二+bsin二)。05二有录大值2，最小值一1，则实数a一_，b二(第11届00年“希望杯”高一第l试)解原式可转化为夕二aeosZ了+bsinxeos‘r由} sinx’镇‘，”}会}、1，、一合或，、1·故函数y- l Zsin，r一1的值域是(-co，-例3函数y 1〕二。，矛}U Li，十co，. QJ一书塑弄下的值域为5 InJ州卜l—(第9…     

1991年北京市中学生数学竞赛高中一年级复试试题及解答

一、城空且1.若a二1990eo,全二2 孔一4“In丁 ._,。3兀。二,一,—+7 tg昌井,则10901+召幻了a+10 ’“4’一““’“‘’一’二甘 2.满足x‘+夕‘《1991的正整数对(x,夕)共有____对. 3.若〔x〕表示不超过x的最大核数,则能使厂军)为质数的所有自然数,的倒数之,,“~从5夕‘子’当~““‘”’卜‘···1一,·‘·-·一-一和为。 4。一个自然数若与它的“仪汗数冲柑等,这个自然数就称为一个“魔幻数”。如数“3”、“1991,,都是“魔幻数”。在M二{xlx〔z,1东x〔2000}的元素中,去掉所有的“魔幻数”后,形成一个木含“魔幻数”的子集N,则N中的元…     

关于对数求导法的一点附注

对类似夕一sin峨二eos“x或夕一这样的函数求导函数时,我们常常先二边取自然对数,然后利用复合函数求导法则进行计算,这就是所谓“对数求导法”.但这里有一个问题:函数夕一sin峪xcos“x的值是可正可负的,能二边取对数吗?函数 {(x一1)‘x一2)二一、、,,_卜一、平,__J、,___、,_.。、厂__‘、**y一、})土二会畏于共三共书的定义域并不要求(x一1)、(x一2)、(沉一3少、〔x一4)每一个 丫(x一3夕(x一4少’一‘一-一~“一切·-·,、-··-·.一,一因式“}玉大于零,但女口果二边取对数、按对数运算法则展开:‘理;一告〔,”(二一‘)十‘:(二一2)一z,…     

巧用方差性质解题

设夕为一组数二,,x:,…牙一工(xl+x:+…十x,),,x二的方差,则。。1二,。“一万L又工, +(x。一牙)2+(x,一牙),+…一王)’〕工〔(x,青〔(x工+x:十x:十…十x尸)一,尹] 1工十’“十毛一夕一万气xl+xZ十…+x”)“」.n 11易知夕一0<二争x,一x:~···一‘一x.巧用这一性质,可以简解一些非方差问题.(关)例1已知:a十b十c+d~8,矿+夕十产+毋一16,求abc+。‘d十bcd+abd的值.解52=设夕为数组a、b、‘、d的方差,则粤仁(aZ+,,+。,+、2)一李(‘+,+‘+J):」任一任1416一粤x 52 4 一0. 由(,)式知。一b一c一d一2,故ab‘+。‘d+bcd+二bd一2 X 2 X 2 X4一32. …     

一些非线性递归方程的解

二次代数方程的隶解公式不仅对于求解线性递归方程 t,‘、=2介,、一夕l卜,有用处,而且对于求解某些非线性递归方程也有用处.我们知道,非线性递归方程的求解通常是颇为困难的,没有一般的方法。 本文将以三个例子说明这~点。其中一个例子详细讲解,另外两个例子只给出答案留给读者作为练习。由此解得t‘=卜且(x:左里二红二考:立二劣:含二x:‘(x:一t。)一x:含(x,一t‘万‘·’一‘’ (9)因此,我们对于PZ>口的情形,求得非线性递归方程(1.)的解为,。二(立兰匕夕三万吐‘一伙七一‘协少’二吐 (P+了PZ一a)‘(右一t。+训夕沼一叹) 例求由t。,:设户…     

几何自测试题(二)参考答案

曲线和方程(一)l。一4,4。2。(1,0),(一5,.3了2。6。了65,‘·‘一‘,“,。5·晋,一异与2 户O0)。3 10 7“7一生 2(二)(三)直线(一)1。C。2。B。3。D。夕2+6x+9“0。1。135”,一5。2。y一(二+5),了了二一y+(6十5犷百)=。。3.=护3三+ 6 y一2 1=1,—o 34.二=一丝 45。30“。6。劣+3y一6==0。7。3劣一sy+7=0。8。m ,~.,33_、‘。护0且从护二,兰,0。9。一19。 22 (二)1。D。2。C。3.A。4。刀。5。B。 (三)1.大2.叼3.厂4。厂5.厂6。Xo (四)y=o与y=5或sx一12y一5=o与5二一12夕+60=0。(五)3x一y十10=0或,一卜3夕二O。 (七)AB:sx一2夕十n=0;B…     

高考导数的六大热点问题

一、与导数概念有关的问题 例1已知函数f(x)=理+Cx十 limf少2咨丫)了(2:今)_ 山咔)公— 嘛2+…十)咐十…十’卿,。。N·,则 解…执了‘2+弩‘2一Ax,二2上丫尽十瓷子(2)十执f〔2‘(立,〕抓2) 二Zf’(2)+f‘(2)=3 .f‘(2). 又…f‘卜)=C二+Cx+.二+C支尹一,+.二十C扛“. …f,(2)=一;一(Ze:·22c··…,*己··…,·c, ;〔(卜2卜1〕=告(,一,)· :一im_f四如卜自2二鱼)=3r,(2)=3(3、l). 山、念“2 评析导数定义中的增量酝有多种形式,可以为正也可以为负,如 _执 f(x 0--m公)一(x0) 一m山 本题是导数的定义与二项式定理有关知识的综合题. 二、…     

1983年广西高考预考数学试题(理工类)

一、填空(每小格3分,共15分)。极限卿(,十劲冬的值~;②函数,=x一1n(l+幻在_是减函数.在 ③从eos,是增函数;.lgx,}劣】+2,2劣及2x2中选择满足(甲)、(乙)条件的函数.填在小格里.‘甲,”“二,一‘。”,{1(乙)f(一二)二j恤)且j(0)二0 }.} 二、(8分) 方程妒十2邸+19(2砂一a)=0的两个实数根一正一负,且正根的值大于负根的绝对值,求a的取值范围。 三、(8分)已知:’‘a一3“”(。‘““烤), 求夕,“一刀的最大值. 四、(8分) 求证:函数,=3劣是方程梦『‘一奋俨二0的解. 五、(8分) 求由2、4、6、8、四个数字组成的所有没有重复数字的四位数之和. 六、(…     

初三代数复习测验题

测验(I)的两个根,不解方程求下列各式的值: (8分)圣.x:+x:·邓;、片了、、矛产一‘上,曰护r、了‘、一填空(8分)(工)___统称有理数。(2)_数与数轴上的点一一对应。(3)分式的基本性质是____(4)浦畏式的基本性质是二计算下列各题(20分)(X王+之)(x:+六, 八求函数y一3x十12的图象与x轴、夕轴的交点A、B的坐标,并求出AB的中点到原点的距离.(10分)(1)(一1)sx、〔4鲁 .1、于交一4夕一又一工万一j 络九在直角坐标系内画出函数y~1,,,二~X一Zx(一。.4)〕二(一合,一2,,(2x一y)a(xZ一x+5)“;十3二十备的图象,并求出它的极值·(‘0分, 十某工厂计划生…     

关于sum1/i(i+1) from i=1 to n 的两次推广

求 1i兀厄+乏11,,,_~万十云兀飞+’‘·田徽限。先求其前n项和: 1习,=不厄+乏云+’‘’.’.s,二合(〔洽一寿〕+〔寿一捻〕+〔捻一寿〕 1+一气二一一,-弋下二. 称戈犯+1)-,.’通项。‘蔽汁石=专-:.。。二(于一分‘(合-+〔而标一而潇而〕)=抓寿一‘而气石面).jl+、、,产:i一3+(合一宁)+… limn.弓卜00。1O”=,~二.. 4 1 11\+.—一.甲甲一丁) 、介乃十_L/ 1_11民IJ不甲下一下,+万下子二厂+只尸下不二于+ 1.‘.0‘.0.任0.4.0”’的极限为奋 1称+1 1 imn.勺卜C心泞,二1。我们考虑下列的极限问题: 11丁闰犷七丁一二+二-二~:一:一+.’.1.乙.J.任…     

看过去不难作,作起来容易错 一套代数填空易错题

(一)题目 1、若z,、之2都是复数,且对+班二o则z:二之:,对吗?答___. 2、{1一i!’=(1一i)’刘·吗?答___。 8、复数一3‘c05号+/5:,‘毛一,的枝卜:二.、幅角的主值口二_. 4、若x:一}川=2一2i,则x=__‘ 5、若:和:。都是复数,且}川二1,12、若{引、1,则实数·取值范围是13、若1。:、二’>o,则实数x的取值范围是_______ 14、若xlog。3<109。9,则,,的取值范11下!是__。15、函数夕= 1(x+1)〔x十2)的定义域是·十Z。、。,贝。}1+:02之+20 6、若。、b、e、d为实数.歹毋关于二的方程扩+(0十bi)x月一仕+d日=0有实数根的充要条件是_____ 7、若a、石都是,…     

助你熟记英语单词

看图速记英语单词:、:冬左十乞十 州卜冲叼十州卜“神”咔一卜一十加冲~卜一十一十一刊卜”十”十.“十崎一十一十十时叫卜一神冲”~卜时叫卜一十~十~叫卜“十”一十①1十1一2②2一1~1③2火3一6④6分3一2⑤lal⑥二犷.打犷一~。1,(习O一兀不又a~f--口少n 一乙⑧aZ⑨a3⑩Zx+3一x一5⑩20%~1{这旦一下,一U. 乙4,卞丰+人了‘·十几+:吝去留甚甲忿十一5,‘二并V@⑩)二}一一势(仁‘颐@匆⑩颐O1,2,3,…一1,一2,一3,…@⑩⑩⑩音,O·‘,5,”‘厂·++·十。+名+‘++召+十十十:十干:十气·十二十+十一十一十一+一十一十二十二十一十十t.十一十一十~十…     

不等式a~2+b~2≥2ab的又一推广

(理若a,b任六’,。、k任N,且正<刀,则a”十b”乡a丙b“一‘+a”一‘b“当且仅当a=b时等式成立. 例1.若p、q任R气p3十q“=2求证P+q气2. 证:由定理, (,+叮)3二刀“+口3+3(尹’,+尹叮’) 百尹3+夕3+3(,3+夕3)=8, .’.p+q毛2. 枉·{2 .a,b,c任R十, 则a“+乙“+。“升3ab。. 泣:事实上,a3+b3+。一(a‘+b3+b“+c吕十c,+a吕)1,(a’乙‘一“/)“卜今哭。卜b(+e Za十。a“)=音一〔。‘“2+·”+“·’十·”干·(。:+“·,〕、3。“二(竹者单位:江苏建湖一县芦沟中学)不等式a~2+b~2≥2ab的又一推广@肖秉林$江苏建湖县芦沟中学 @沈文兆$江苏建湖县…     

“1992”趣题

国求证 证明:愉扮是合数告茹带g卫竺誓卫至2卫宜擎卫(10996十l)(10996一l) 9=(1 0996+l)(10995+10994……十10+1)由此可知箭带是合数曰:几,,、COSx』CosZx Cos3x.}乙l仁又I、X少~只-州卜下-甲丁-一卜丁丁,下尸.-卜‘~J七OSX七05一X七05一X+Cos.(2 X 1 992x)CosZ又1992x试求f(二、、4解:f(x)+1= SinZxCOSXSinX+COSZxCosZx+COS3XCos3x+·””’.Cos(2X1992x)十一一-下尸,丁:节品兮二-,一 七05’·一人Sin3XCosZx Slnx Sin+C璐3XCos3x+·”.’.华竺簇黑黔丛(2X1992十1)xCoxZx19OZX Sinx“专,-sin(2 x 1 992+l)x弃—一1eo…     

高考数学模拟试卷(四)

参考公式 三角函数和差化积公式:‘n·+sin口一,sin宁·。宁;“·+”“二2此宁·邸宁;‘na一s、,=2哪甲·sin二。一、一2sin甲·沟 ;︸一,‘二Zn正棱台、圆台的侧面积公式:。1,,S台侧二言(“‘+“)l,其中。‘,‘分别表示上、下底面周长,l表示斜高或母线长.台体的体积公式: 1,,,厂二石7共.,、,V台“一言(S‘+了S’s+S)h, 其中S’、S分别表示上、下底面积,h表示高.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的4个选项中,只有一项符合题目要求.1.已知函数夕=f(x),集合M={(x,夕)l)二f(x)},N={(x,夕)}x‘1,少〔RI,则集合M门…