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数学中充满了对称,对称美是数学美的重要特征之一.直线中的对称问题,是直线方程中最基本的问题,也是历年高考中考查的热点问题,常见的直线对称问题有以下3种类型:1点关于直线的对称问题例1求点P(-4,3)关于直线l:2x 3y-6=0的对称点P′的坐标.解设P′的坐标为(x,y),则线段PP′的中点坐标为x2-4,32 y.PP′的斜率为yx- 43,直线l的斜率为-32.因为PP′⊥l且PP′的中点在l上,所以y-3x 4·(-23)=-1,2·x2-4 3·y2 3-6=0x=-1332,y=1639·即P′的坐标为-1323,1639.2直线关于点的对称问题例2求直线l:3x-y 1=0关于点M(2,-4)对称的直线方程.解在所… 相似文献
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我们认为,高级中学《解析几何》课本(甲)第47页例2的解法有不妥之处,为了便于说明问题,现将题目及解法抄录如下。例2 已知两条直线: l_1:x+my+6=0 l_2:(m-2)x+3y+2m=0当m为何值时,l_1与l_2(i)相交;(ii)平行;(iii)重合。解:将两直线的方程组成方程组 x+my+6=0 (m-2)x+3g+3m=0这时,A_1/A~2=1/(m-2),B_1/B_2=m/3,C_1/C_2=6/2m.当 相似文献
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对称问题是高中数学中比较重要的内容,它的一般解题步骤是:一、在所求曲线上选一点M(x,y);二、求出这点关于中心或轴的对称点M′(x0,y0)与M(x,y)之间的关系;三、利用f(x0,y0)=0求出曲线g(x,y)=0.直线关于直线对称的问题是对称问题中较难的,但它的解法很多,现以一道典型习题为例给出几种常见解法,供同学们参考.[例题]:试求直线l1:x+y-1=0关于直线l2:3x-y-3=0对称的直线l的方程.解法1:(动点转移法)在l1上任取点P(x′,y′)(P!l2),设点P关于l2的对称点为Q(x,y),则3x′2+x-y′2+y-3=0y′-yx′-x=-13"$$$$#$$$$%&x′=-4x+53y+9y′=3x+54y-3"$$$… 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2017,(12)
<正>在圆锥曲线的考查中,我们经常会遇到这样的一类问题:圆锥曲线上存在两点关于某条直线对称,求参数的取值范围。这类问题的解法是:设P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)是圆锥曲线上关于直线y=kx+b(k≠0)对称的两点,PQ的中点为M(x_0,y_0),则PQ的方程为y=-1/kx+m,利用点差法、中点坐标公式求得中点坐标,再根据中点与圆锥曲线的位置关系求解。例1已知抛物线C:y2=x与直线l: 相似文献
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正文[1]给出了直线与圆锥曲线位置关系的一个统一性质,笔者进一步探究,由文[1]中的性质推导得到了圆锥曲线中的一个四点共圆性质.文[1]中性质1已知椭圆Mx~2+Ny~2=1(M0,N0,M≠N)与直线l_1交于A、B两点,与直线l_2交于C、D两点,且A、B、C、D四点横坐标均不相同,若l_1与l_2的斜率互为相反数,则直线AC与直 相似文献
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莫成立 《数理化学习(高中版)》2012,(11):6-7
圆锥曲线中的定点、定值问题是高考的热点.笔者最近遇到一些与斜率相关的定点、定值问题,并对一般情形进行研究,可以得到一般性结论,与各位共赏.定理1:已知点A(x0,y0)是抛物线y2=2px上的定点,直线l(不过A点)与抛物线交于M、N两点.(1)若kAM+kAN=c(常数),则直线l斜率为定值;(2)若kAM·kAN=c(常数),直线l恒过定点.证明:(1)直线l斜率显然不为0,故设为x=ty+m,M(x,y),N(x,y). 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2017,(3)
<正>求直线方程是解析几何中最常见的问题,我们知道,直线方程有五种不同的形式,在求直线方程时,选择恰当的形式会使解题更迅速。本文用一道例题来谈谈直线方程的不同求法及其各自的特点。例题已知直线l经过点P(3,1),且被两平行直线l_1:x+y+1=0和l_2:x+y+6=0截得的线段之长为5,求直线l的 相似文献
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《中学数学杂志》2018,(7)
<正>1考题呈现题1(2018年高考全国数学卷Ι理19题)设椭圆C:x2/2+y2/2+y2=1的右焦点为F,过点F的直线l与C相交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.题2(2018年高考全国数学卷Ι文20题)设抛物线C:y2=1的右焦点为F,过点F的直线l与C相交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.题2(2018年高考全国数学卷Ι文20题)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2017,(3)
<正>在平面内,已知点P(x_0,y_0),直线l:Ax+By+C=0,则点P到直线l的距离公式d=|Ax-By+C|/(A2+B2+B2)2)(1/2)。解析几何中的轨迹问题、最值问题、曲线与直线的位置关系等都与点到直线的距离有关。因此,应用点到直线的距离公式能够解决许多重要问题。一、求轨迹方程例1求两条直线l_1:3x+4y+1=0,l_2:5x+12y-1=0的交角平分线方程。 相似文献
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经文[1]~[4]的不断研究,文[4]得到了圆锥曲线定点弦与定直线相关性的如下两个性质:性质1椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的过定点F(m,0)(m≠0,且m0,b>0)的过定点F(m,0)(m>a)的两条动弦AC、BD的两端点的连线AB、CD相交于点M,AD、BC相交于点N,则点M、N的轨迹都是定直线l:x=a2/m.性质2抛物线y2=2px(p>0)的过定点F(m,0)(m>0)的两条动弦AC、BD的两端点的连线AB、CD相交于点M,AD、BC相交于点N,则点M、N的轨迹都是定直线l:x=?m.本文将这两个性质推广到一般的情形,以更深刻揭示圆锥曲线的几何特征.定理过定点F(x0,y0)的两条动直线AC、BD分别与圆锥曲线相交于点A、B、C、D.设直线AB、CD相交于点M,AD、BC相交于点N,则(1)当圆锥曲线为椭圆22ax2+by2=1(a>b>0),且F(x0,y0)不为坐标原点时,点M、N的轨迹都是定直线l:xa02x+yb02y=1;(2)当圆锥曲线为双曲线22ax2?by2=1(a>0,b>0),且点F(x0,y0)不为坐标原点时,点M... 相似文献
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问题设直线l的方程为Ax+By+C=0,求已知点M(x_1、y_1)关于l的对称点N的坐标(x,y)。《中学数学教学》1992·3期刊出了赵士森、宫宋家二位老师的一种解法,很受启发。这里再提出一种解法,较简捷些,解法如下。 相似文献
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左小宁 《中学数学研究(江西师大)》2021,(3)
(2019年全国高中数学联赛广西赛区预赛第12题)如图1,已知,k>0且k≠1,直线l:y=kx+1与直线l 1:y=k 1x+1关于直线y=x+1对称,直线l和l 1分别与椭圆E:x 24+y 2=1交于点A,M和A,N.(1)求kk 1的值;(2)证明:对任意的k,直线MN恒过定点.对问题(1),参考答案主要依据轴对称图形的性质,利用中点坐标求解.笔者在此主要依据轴对称图形的定义探求问题(1)的别解.问题(2)略. 相似文献
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解析几何参考书中有一类“求一直线关于另一直线对称的直线方程”的题目。解这类题有好几种解法,这里介绍一种解法,下面先引入一个“关于定直线对称的直线”之间的性质。性质如果已知定直线l,直线l_1关于l对称的直线为l_2,且l_1∩l_2=A,垂直l于点A的直线l_3到l_1、l_2的角分别为α、β,那么,α+β=π。 相似文献
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高中数学第二册(上)第117页例2“:点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.”这道题,看上去很简单,如果孤立静止地解答它,那么再好也不过是解决了一个问题.但是如果对其细心探究,可以发现这道题蕴涵着丰富的探究性学习的内容.1探究一题多解,串点成线解法一直接法求轨.由已知,点M属于集合P={M MF=x+5?1}.设点M的坐标为(x,y),则有(x?4)2+y2=x+5?1.若M在l左边,则M到F的距离必大于M到l的距离,即MF>x+5>x+5?1,不合题意.所以M只能在l右边,∴x>?5,故有(x?4)2+y2=(x+5)?1.化简得所求方程为:y2=16x.解法二定义法求轨.… 相似文献
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定理 圆心不共线的三圆两两相交,则三条公共弦共点。 为方便起见,我们给出统一的解析证明, 设⊙O_i(i=1,2,3)的方程为:x~2 y~2 D_ix E_iy F_i=0. 将它们两两相减得公共弦方程: l_1:(D_-D_2)x (E_1-E_2)y F_1-F_2=0, l_2:(D_2-D_3)x (E_2-E_3)y F_2-F_3=0, l_3:(D_3-D_1)x (E_3-E_1)y F_3-F_1=0. 由于圆心不共线,故设l_1与l_2的交点P的坐标为(x_0,y_0),易验证:P∈l_3,即l_1,l_2,l_3,交于点P. 本文巧用定理证明两道IMO试题. 例1 (1MO36-1)设A,B,C,D是一条直线上依次排列的四个不同点,分别以AC,BD为直径的圆相交于X,Y,直线XY交BC于Z,若P为直线XY上异于Z的一点,直线CP与以AC为直径的圆相交于C及M,直线BP与以BD为直径的圆相交于B及N,试证AM,DN,XY三线共点. 相似文献