例谈等腰三角形中的分类讨论问题及其教学启示

在初中几何学习中,关于等腰三角形的分类大概有以下几种:等腰三角形边的分类、等腰三角形角的分类、等腰三角形形状的分类、等腰三角形存在性的分类、作等腰三角形的分类.下面将结合具体的例子谈谈每种分类的解决思路和对教学的启示.     

构造等腰三角形解题的五种途径

等腰三角形是一类特殊的三角形,它的性质和判定在几何证明和计算中有着广泛的应用.有些几何图形中不存在等腰三角形,可根据已知条件和图形特征,通过添加适当的辅助线,巧妙构造等腰三角形,然后利用等腰三角形的性质使问题获解.一、利用角平分线+平行线,构造等腰三角形当一个三角形中出现角平分线,我们可以通过作平行线构造等腰三角形.如图1,AD是△ABC的角平分线.     

获取和构造等腰三角形中的两个基本形

<正>在一个较为复杂的图形中,若能结合已知条件获取等腰三角形或构造出一个等腰三角形则能开启思维的闸门,使问题迎刃而解.1角平分线+平行线等腰三角形过角平分线上任一点作该角一边的平行线,则这条直线和另一边相交构成的三角形为等腰三角形.如图1,若CB平分∠MCN且AB∥NC,则AB=AC.这一图形为在复杂图形中获取等腰三角形提供了一个基本模型.     

巧构等腰三角形解题

等腰三角形是一种特殊的三角形,它具有普通三角形的一切性质,同时还有自己的特性。所以在某些图形中,若能构造出合适的等腰三角形,利用等腰三角形的性质及其判定,往往能使问题迎刃而解。一、作腰构造等腰三角形1.如果题目中出现直角三角形斜边上的中点,常作出斜边上的中线,构成等腰三角形。例1:如图1,四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,点E、F分别是对角线AC、BD的中点,求证:EF⊥BD。证明:连结BE、DE∵∠ABC=90°,E为AC中点,∴BE=12AC同理ED=12AC∴BE=ED又∵F为BD中点∴EF⊥BD2.如果题目中出现某线段垂直平分线,不妨作腰构…     

三角形内角平分线与等腰三角形

三角形内角平分线与等腰三角形有着密不可分的联系.在许多几何问题中,遇到等腰三角形就会想到顶角的平分线,遇到角平分线又会想到构造等腰三角形.请看下面两句常用的口诀:角分线,遇平行,必出等腰三角形.角分线,加垂直,等腰三角必出现.下面举例加以说明一、角平分线 平行线$等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和平行线时,我们就可以寻找到等腰三角形.如图1①中,若AD平分∠BAC,AD∥EC,则△ACE是等腰三角形;如图1②中,AD平分∠BAC,DE∥AC,则△ADE是等腰三角形;如图1③中,AD平分∠BAC,CE∥AB,则△ACE是等腰三角形;如图1④中,A…     

探索动态构成等腰三角形的解题

有两边相等的三角形是等腰三角形,是在运动过程中能够构成等腰三角形的重要判定依据.由于有两个角相等的三角形也是等腰三角形,即等边对等角也是一种判定依据;等腰三角形三线合一这个性质的逆定理也可以用来判定一个三角形是等腰三角形。因此.动态构成等腰三角形值得探讨研究．     

等腰三角形“多解”聚焦

与等腰三角形有关的多解题在各类考试中常考不衰,但同学们对这类题反思不够,常因思考不周,出现漏解而不得分.下面对等腰三角形中需要分类讨论的试题作一归纳,供同学们参考.一、由“边”引起的多解例1等腰三角形的周长为14cm,且一边长为4cm,那么这个等腰三角形其余两边长分别为!     

二倍角图形中辅助线的作法

<正>一些几何问题中往往含有一个角是另一个角的二倍的条件,处理这类问题常用如下方法添加辅助线.1.作二倍角的平分线,构成等腰三角形如图1,在△ABC中,∠ABC=2∠C,作∠ABC的角平分线交AC于点D,则∠DBC=∠C,△DBC是等腰三角形.2.延长二倍角的一边,使其等于二倍角的另一边,构成两个等腰三角形,利用等腰三角形的性质证题如图2,在△ABC中,∠B=2∠C,延长CB到D,使BD=AB,连结AD,则△ABD,     

例谈等腰三角形中的分类讨论问题及其教学启示

<正>在初中几何学习中,关于等腰三角形的分类大概有以下几种:等腰三角形边的分类、等腰三角形角的分类、等腰三角形形状的分类、等腰三角形存在性的分类、作等腰三角形的分类.下面将结合具体的例子谈谈每种分类的解决思路和对教学的启示.1关于等腰三角形边的分类例1已知等腰三角形的底和腰分别是方程x²-6x+8=0的两个根,求这个三角形的周长.分析解方程x2-6x+8=0的两个根,求这个三角形的周长.分析解方程x²-6x+8=0,得x_1=2,x_2=4,而2和4是等腰三角形的腰长还是底长,题中并没有明确给     

等腰三角形中“分类”关

在"等腰三角形"中求解有关边、角、高等不确定的问题时,要进行分类讨论,否则就会"漏解",导致答案不全.下面作以说明,希望能给读者朋友以启迪.一、边不确定时需分类例1已知一个等腰三角形的一边长为5,另一边长为7,则这个等腰三角形的周长     

构造相似等腰三角形证明线段相等

证明线段相等有许多种常用的方法 ,但人们往往忽略利用构造相似等腰三角形的证明方法 .实际上 ,利用构造相似等腰三角形的方法证明线段相等是一种常常奏效的方法 .采用这种方法证明线段相等 ,构造适宜的等腰三角形是解题的关键 .下面举例说明这种证明方法 .例　如图 1 ,已知点E是正方形ABCD中一点 ,∠EBC =∠ECB =1 5°.求证 :△AED是正三角形 .图 1图 2分析 :欲证△AED是正三角形 ,只须证明DE =DC .参考图 1作出与△DEC相似的等腰三角形 ,问题即可得到解决 .证法 1 :如图 2 ,作∠CEH =∠ECB ,作EG⊥BC ,交BC于M且EM =MG .…     

构造等腰三角形证几何题初探

等腰三角形是平面几何中简单、特殊又常见的图形。在解证几何题时,充分利用等腰三角形的性质、巧妙地构造等腰三角形,往往能够收到事半功倍,出奇制胜的效果。本文对构造等腰三角形的技巧作如下归纳。     

聚焦等腰三角形中的辅助线

等腰三角形是平面几何中的一种重要图形.等腰三角形中的中考题尤其是竞赛题,若不会添加适当的辅助线,则只能望题兴叹.下面谈谈等腰三角形中的几种常用的辅助线.一、作底边上的中线或高或顶角的平分线     

丰盈活动体验 促进思维成长——“用尺规作等腰三角形”教学思考与实践

<正>课前思考“用尺规作等腰三角形”是尺规作图单元教学第三课时的内容,是对前面所学的画弧、作等长线段、等腰三角形等知识与技能的综合运用。本节课通过尺规作等腰三角形,进一步巩固尺规作图技能,并使学生对等腰三角形特征的理解从边、角拓展到顶点(与等腰三角形底边相对的顶点,是以底边两端点为圆心、以腰为半径的两弧的交点),同时促进几何直观、空间观念与推理意识的发展。     

例析巧用数学拼图法证题

题目：把一张长方形的纸按图中虚线对折,并剪去阴影部分,再把它展开,得到的△ABC显然是等腰三角形.把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折,找出其中重合的线段和角.由这些重合的线段和角,我们可以发现等腰三角形的重要性质：性质1等腰三角形的两个底角相等;性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称＂三线合一＂）上面在得出等腰三角形的性质的过程中,将等腰三角形ABC沿折痕AD对折,我们得到两个共边的三角形：△ABD和△ACD.反过来,如果将△ABD和△ACD沿它们的公共边拼在一起,也可以得到等腰三角形ABC.     

构造等腰三角形证题

等腰三角形是初中几何中的重要内容之一．借助等腰三角形的判定和性质．我们可以很方便地解决不少问题．当题目中没有明确给出等腰三角形时．我们可以通过作辅助线构造等腰三角形来解决问题．下面举例说明如何作辅助线构造等腰三角形．     

求解二倍角存在性问题的归一策略

<正>一、二倍角模型及基本思路对于任何类型题目的研究,我们要养成总结基本结构和基本性质的习惯.二倍角模型就是一例.二倍角问题核心条件就是题目中两个角有二倍关系,可以对二倍角进行平分和另一角相等,构成等腰三角形.如图1,在△ABC中,∠B=2∠C,如果作BD平分∠ABC,则△BDC为等腰三角形,易知△ABD∽△ACB.如图2,延长CB到点D,使AB=BD,则∠D=∠C,△ACD为等腰三角形,且△ABD∽△CAD.     

圆中常用的辅助线

在解决与圆有关的问题时，常常需要添加辅助线，下面加以归纳，供同学们学习参考． 一、作半径，构造等腰三角形 在圆中涉及角的计算或证明角相等时，常常作半径，利用两条半径相等构造等腰三角形，从而利用等腰三角形的性质来寻找解题途径．     

一题多证，思路尽现

等腰三角形是轴对称图形．等腰三角形中“等角对等边”,“等边对等角”,“三线合一”这些性质需要我们熟练掌握并能灵活运用．还有,作等腰三角形一边的平行线构成的三角形还是等腰三角形．于是．形成了如下的基本图形．     

何时宜作辅助等边三角形

解什么样的几何问题时,比较适合作辅助等边三角形呢?通过在解题实践中摸索,我认为:至少在以下四个方面是可以尝试作辅助等边三角形的.1在等腰三角形的基础上尝试作等边三角形在已知的等腰三角形的基础上适时地作出辅助等边三角形,让图形的一般性与特殊性有机地结合起来,