力学守恒定律的相对性

力学相对性原理指出，力学定律在所有惯性系中都相同。也就是说，牛顿运动定律以及由牛顿运动定律导出的动量定理、功能定理和角动量定理在所有惯性系中具有相同的形式。本文讨论的是；如果力学守恒定律在某个惯性系中成立，是否意味着它们在所有惯性系中都成立。一、动量守恒定律如图所示，S’系相对于S系以速度V。作匀速直线运动。动量定理在这两个惯性系中的数学表达式分别为：t，若力学系统在S’系中动量守恒，即则由伽利略变换得：可见，如果动量守恒定律在某个惯性系中成立，那么它在所有所有惯性系中都成立二、机械能守恒定律‘B’…     

功能原理教学中应注意的两个问题

1 外力做功问题 由牛顿第二定律可推出质点的功能定理,用质点的功能原理又可以推出质点组的功能定理,在此基础上可得出质点系的功能原理 A外 + A内非 = E2 - E1 . 由上式可知,若外力不做功,且非保守内力也不做功,则系统的机械能守恒.这便是众所周知的机械能守恒定律.因为机械能守恒定律是在牛顿第二定律的基础上导出的,所以质点系的机械能守恒定律只适用于惯性系. 系统的机械能在惯性系甲中守恒时,在惯性系乙中是否一定守恒?我们用下面的实例来说明.如图1所示,一轻质弹簧,一端固定在墙上,另一端紧靠一质量为m的小球,用手向左推小球使弹簧…     

机械能守恒定律和动量守恒定律与参照系的关系

机械能守恒定律及动量守恒定律是机械运动的两大基本规律．下面讨论使用两个守恒定律与选择参照系的关系。一、使用两个守恒定律与惯性参照系选择的关系1．使用机械能守恒定律与惯性参照系选择的关系机械能守恒定律是以牛顿定律为出发点推导出来的，而牛顿定律适用于惯性参照系，因此，机械能守恒定律也只适用于惯性参照系。机械能守恒与否并没有“绝对”意义。所谓“绝对”是一物体系在某一特定惯性参照系中机械能是守恒的，在另一拨参照系中机械能也一定守恒．因为机械能守恒条件∑A外＋∑A非保内=0中，外力功∑A外一般来说是随参照系的…     

sum from i=1 to n x_i~2的性质及应用

函数的极值是数学中常见而且很重要的内,它在实际问题中也有不少的应用。本文借助于理论力学的点滴知识,论证几个结论,用这些定理来解决平方和的极值及其有关问题是十分有益而简洁的。假定有n个质点,它们的质量分别是m_1、m_2、…m_n,分别位于P_1、P_2、…P_n诸点,G点为这些点的重心(质心)。根据理论力学知识,下述两个引理明显是成立的。引理一:在直角坐标系中,重心(质心)的坐标为: X_G=sum from i=1 to n(m_i x_i)/sum from i=1 to n(m_i) y_G=sum from i=1 to n(m_i y_i)/sum from i=1 to n(m_i) Z_G=sum from i=1 to n(m_i z_i)     

sum from i=1 to n (m_i(△r_i-v_(i0)t))=0的建立及其应用

对质点系在某一时间间隔内所受外力的主矢为零的情况下,建立了关系式(sum from i=1 to n)m_i(△r_i-v_(io)t)=0用该关系式代替质心运动守恒定律可以更方便地解决有关力学问题.     

构造柯西不等式,用取等号条件解题

我们知道,柯西不等式:a_i,b_i∈R,则sum from i=1 to n a_i~2 sum from i=1 to n b_i~2≥(sum from i=1 to n a_ib_i)~2……(1)当且仅当a_i=kb_i(i=1,2,…,n)不等式等号成立。它可以作如下变形: 由(1)得(sum from i=1 to n a_i~2 sum from i=1 to n b_i~2)~(1/2)≥sum from i=1 to n a_ib_i,添项变为sum from i=1 to n a_i~2 2 (sum from i=1 to n a_i~2 sum from i=1 to n b_i~2)~(1/2) sum from i=1 to n b_i~2≥sum from i=1 to n a_i~2 2sum from i=1 to n a_ib_i sum from i=1 to n b_i~2,或sum from i=1 to n a_i~2-2 (sum from i=1 to n a_i~2 sum from i=1 to n b_i~2)~(1/2) sum from i=1 to n b_i~2≤sum from i=1 to n a_i~2-2 sum from i=1 to n a_i b_i sum from i=1 to n b_i~2,分别配方,并开方转     

一个关于余切和余割的不等式

定理 P是凸n边形A_1A_2…A_n内一点,记∠PA_iA_(i 1)=α_i,i=1,…,n(A_(n-1)≡A_1),则 sum from i=1 to n(ctgα_i)≥sum from i=1 to n(ctgA_i ncsc(2π/n))。 (1) 证明 由正弦定理,得     

应用守恒思想解决力学高考问题

力学中的机械能守恒、动量守恒和能量转化和守恒定律是高考命题的热点和重点·守恒思想就是依据这三种守恒来解决问题的方法·下文用守恒思想例说4例力学高考问题·一、用单一的守恒定律解决的力学问题1·机械能守恒的应用例1(2005年高考理综北京卷)AB是竖直平面内的四分之一圆     

质点系内各质点加速度不同时的整体隔离

一些读物在谈隔离法时,往往指出加速度不同的物体不能作整体隔离。这一说法,笔者认为没有根据。请看下面的推导:设质点系有n个质点。对任一质点州m_i可写出它的动力学方程F_i+f_i=m_ia_i。F_i表示它所受系统外力的合力;f_i表示它所受系统内力的合力。对系统内每一个质点均可写出相同形式的方程。我们将方程两边分别求和,便可得sum from i=1 to n F_i+sum from i f_i=1 to n=sum from i=1 to n m_ia_i。注意,这里sum from i=1 to n F_i和sum from i=1 to n f_i均是矢量和而不是合力,因为这些力并不作用在同一质点上。对于内力,容易得知它们的矢量和必为零,即     

求条件和sum from i=1 to n(a_i/X_i)最小值的一个公式

命题设χ_i,a_i∈R~ (i=,2,3……,n),且sum from i=1 to n(χ_i)=(定值),则当χ_i=m(a_i)~(1/2)/sum from i=1 to n(i=1,2,……,n)时,和sum from i=1 to n(a_i/χ_i)取最小值,其最小值为1/m((sum from i=1 to n(a_i~(1/2)))~2     

切比雪夫不等式的推广及其应用

本文将切比雷夫不等式:“a_1≥a_2≥…≥a_n,b_1≥b_2≥…≥b_n(?)(sum from i=1 to n a~i)(sum from j=1 to n b_j)≤n sum from i,j to n a_ib_j”作如下的推广:如果{a_i}_(i=1)~n与{b_j}_(i=1)~n同时为单调增加或单调减少实数列,那么对于任何实数列{c_i}_(i=1)~n有(sum from i=1 to n a_ib_ic_i)(sum from i=1 to n c_i)(?)(sum from i=1 to n a_ic_i)(sum from j=1 to n b_jc_j) ……(Ⅰ) 如果{a_i}_(i=1)~n与{b_j}_(j=1)~n中有一个单调增加而另一个单调减少,那么对于任何非负实实数列{c_i}_(i=1)~n有(sum from i=1 to n a_ib_(ii))(sum from i=1 to n c_i)≤(sum from i=1 to n a_ic_i)(sum from j=1 to n b_jc_j)……(Ⅱ) 如果{c_i}_(i=1)~n为正的实数列,那么不等式(Ⅰ)、(Ⅱ)中的等号成立当且仅当{a_i}_(i=1)~n或{b_j}_(j=1)~n 中有一个是常数列。如果取c_i=1(i=1,2,…,n,那么就得原来的不等式。推广后的切比雷夫不等式的证明:在第一种情形下,sum from i=1 to n sum from j=1 to n (a~i-a_j)(b_i-b_j)c_ic_j     

Lagrange恒等式和Буняковский不等式的行列式证法及其推广

由初等代数学,我们知道下面恒等式是成立的:(sum from n to i=1 a_i~2)(sum from n to i=1 b_i~2)-(sum from n to i=1 a_ib_i)=sum from to (i,f)(a_ib_f-a_fb_i)~Z……(1)此恒等式,通常称为拉格朗日(Lagrange)恒等式。由初等代数学也容易证明下面不等式是成立的:     

Holder不等式的两个推论

Holder不等式在不等式理论与应用中有其特殊的效用.本文将着重介绍Holder不不等式的两个推论及它们的应用. Holder不等式的完整形式应是以下定理:若α_i>0,b_i>0(i=1,2,…,n),p,q满足1/p 1/q=1,则(1)若1相似文献   

线性方程组有解判别定理充分性的一个证法

线性方程组,sum from j=1 to n(a_1,x_1=b_1(i=1,2,…m))有解判别定理(即克朗南格定理)是线性方程理论中的一个基本定理。本文主要给出了此定理充分性的一个证法。设,线性方程组:sum from j=1 to n(a_1,x_1=b_1)(i=1,2,…m)…(1)记定理,(Kronecker)线性方程组(1)有解的充要条件是其系数矩阵A的秩r_A     

不等式multiply from i=1 to n (xi+1/x_i)≥(n+1/n)~n的推广

关于不等式multiply from i=1 to n(x_i+(1/x_i))≥(n+(1/n))~n(x_i为正数,sum from i=1 to n x_i=1)的正确性,《数学通讯》已有多篇文章给出了证明,本文将这个不等式推广到较一般的情形。从sum from i=1 to n x_i的值上推广有: 定理1 (1)如果x_i∈R+(i=1,2,…,n),     

浅谈动量守恒与机械能守恒的综合运用

动量守恒定律和机械能守恒定律是两个重要的守恒规律 .它们研究相互作用的物体系 ,而且只研究系统的始末状态 ,不必过多地考虑中间细节过程 (并不是不要分析物体运动的全过程 ) .但两守恒定律的适用条件有所不同 :动量守恒定律强调系统不受外力作用 ,或所受合外力为零 .动量守恒方程是矢量方程 ;机械能守恒定律强调系统只有重力、弹力作功 ,其它外力不作功或作功代数和为零 .机械能守恒方程是标量方程 .因为物体间发生相互作用时 ,一般都伴随着动量、动能、势能的传递 ,所以 ,对于同一个系统 ,动量守恒与机械能守恒现象往往渗透交织在一起 .…     

第2类Stirling数Bernoulli数与Euler数的解析表示式

本文给出第2类Stirling数,Bernoulli数与Euler数的解析表示式: s_2(m+1,n)=(-1)~n/n1 sum form j=1 to n(-1)~j(?)_j~(-m+1) B_n=sum form k=1 to n 1/(k+1) sum form j=1 to k (-1)~j(?)_j~(-n) E_(2n) =1/(2n+1)[sum from p=0 to n-1 sum from k=1 to 2(n-p) sum from j=1 to k (-1)~(j-1)/(k+1)·(?)(?)(4j)~2(n-p)+4n+1]因此解决了它们的计算问题。     

柯西不等式的一个变式及应用

在柯西不等式:(sum from i=1 to n a_i~2)·(sum from i=1 to n b_i~2)≥(sum from i=1 to n a_ib_i)~2(其中a_i,b_i∈R,i=1,2,…,n)     

用含参数的柯西不等式证一类竞赛题

含参数的柯西不等式: (sum from i=1 to n(a_ib_i))~2=[(sum from i=1 to n(λ_ia_i)·(b_i/λ_i)]~2≤(sum from i=1 to n(λ_i~2a_i~2)(sum from i=1 to n(b_i~2/λ_i~2),其中λ_i>0 (i=1、2、…、n)。     

关于一个不等式的隔离及应用

当a_1,a_2,…,a_n为正实数时,有 1/n sum from i=1 to n(a_i~n)≥multiply from i=1 to n(a_i)当且仅当a_1=a_2=…=a_n时取等号。事实上,该不等式可用(sum from i=1 to n(1/n)a_i)~n分隔,即(1/n)sum from i=1 to n(a_i~n)≥((1/n)sum from i=1 to n(a_i))~n≥multiply from i=1 to n(a_i)当且仅当a_1=a_2=…=a_n时取等号。