一个优美的不等式及其妙用

定理若x、y、a、b均为实数,且a>0,b>0,那么(x2)/(a)+(y2)/(b)≥((x+y)2)/(a+b)(※)等号成立当且仅当(x)/(a)=(y)/(b).证明不等式(bx-ay)2≥0显然成立,当且仅当(x)/(a)=(y)/(b)时取等号.     

一个新的代数不等式的发现

已知x，y任R十，且x y=1，求证:二，爪二、7。乙丫乙一1砂沪)一了斗由此启示，进一步我们能1、/.1、、25、x十万’叹y十丁)并不(1)将上述这道广泛流传的不等式名题推广笔者获得下面这道优雅小题[l]:已知x，y任R十，且x十y=1，求证:否找到(x十与(工一v)的最佳下界，为此引入Xy正     

错在哪里

题目若关于z的不等式a≤3/4x2＋5≤b的解集恰好是[a,b],则a＋b=____．     

一个不等式的下界估计

《数学通报》2 0 0 2年 8月号问题 1 388为 :已知 x>0 ,y>0 ,且 x+ y=1 ,求证 :( x + y ) ( 11 + x+ 11 + y)≤ 4 33.( 1 )本文旨在给出不等式 ( 1 )左式的下界估计 .定理　若 x>0 ,y>0 ,且 x + y=1 ,则( x + y ) ( 11 + x+ 11 + y) >1 +22 . ( 2 )证明　令 u=xy,则 0 ( 1 + 22 ) 2 ( 1 + 2 u) ( 32 + u2 + 22 + u2 ) >32 + 2 ( 1 + 2 u) ( 3+ 2 2 + u2 ) >( 32 +2 ) ( 2 + u2 ) 6 u+ 2 ( 1 + 2 u) 2 + u2 >( 32+ 2 ) u2 + 2 2 .( * )∵ ( 32 + 2 ) u≤ ( 32 + 2 )×…     

柯西不等式的一个推论及其应用

本由柯西不等式导出一个推论，然后用该推论解证一些国内外中学数学竞赛题。     

一个不等式错证引起的思考

笔者在翻阅近期出版的一个杂志时 ,发现一篇题为《一个不等式的简证》的短文 ,全文如下 :已知 :ａ3 ｂ3=2 .求证 :ａ ｂ≤ 2 .证明 :由ａ3 1 1≥ 3 3 ａ3·1·1 =3ａ ,知ｂ3 1 1≥ 3ｂ ,两式相加得ａ3 ｂ3 4≥ 3 (ａ ｂ) .由ａ3 ｂ3=2 ,得ａ ｂ≤ 13 (ａ3 ｂ3 4) =13 × 6     

错在哪里

题　已知ｘ ｙ =1 ,ｘｙ <0 ,(ｘ ｙ) 9按ｘ的降幂排列的展开式中 ,第二项不大于第三项 ,求ｘ的范围。解　由Ｔ2 ≤Ｔ3 得Ｃ19ｘ8ｙ≤Ｃ29ｘ7ｙ2 ,即ｘ8ｙ≤ 4ｘ7ｙ2 ①∵ｘｙ <0 ,∴ｘ7ｙ<0 ,①式两边同除以ｘ7ｙ ,得ｘ≥ 4ｙ。又ｘ ｙ =1 ,∴ｘ≥ 4(1 -ｘ) ,解得ｘ≥ 4/5     

时间、角度为什么用六十进制

同学们知道时间、角度为什么用六十进制吗？请看下文。     

究竟错在何处

笔者听过一堂三年级两步连除应用题的练习课,其中的一个教学片段对我触动很大,感受颇深,详实记录如下:     

一个加强不等式的另一个简单初等证明

许多刊物出现这样一个不等式:若a b=1,a>0,b>0则3/2<1/(1 a~n) 1/(1 b~n)≤(2~n 1)/(2~n 1).曹学锋,汪飞老师在《数学通讯》2004(21)上给出了上式的高维形式:若x_1 x_2 …x_m=1,x_1,x_2…,x_m>0,则(m 1)/m<1/(1 x_1~n) 1/(1 x_2~n)… 1/(1 x_m~n)≤(m~(n 1))/(?)(其中m≥2,n≥2且m∈N,n∈R).     

一个新的代数不等式

本文建立一个涉及三个正数的新的条件不等式.     

几个新的不等式

1.几个新的不等式的来源--1963年莫斯科数学竞赛题 题目:设a,b,c都是正实数,证明:a/b c b/c a c/a b≥3/2. 笔者对该竞赛题进行了研究和推广,得到下列一系列新的不等式.     

也谈一个猜想--纠正猜想错证

1.文[1]猜想 文[1]提出如下不等式: 已知x、y、x∈R ,且x y x=1,则 (1/x-x)(1/y-y)(1/z-x)≥(8/3)3.(1)并在文末提出漂亮猜想:     

一堂由“错”纠“正”的不等式证明课

案例 那天上一堂“不等式证明”的课．我在黑板上出了这样一道题：“若0〈x〈1/y,求证y-y^2〈1/x＋1.”我让学生自己先做,等一下想听听他们的想法．我发现杜煊同学采用分析法,很快证完了,便请他把过程书写在黑板上．     

对正弦定理的思考

三角形中的正弦定理有其结构对称、形式优美的特点.这种外在的美,使人深思.记△ABC的三边分别为a,b,c,外接圆半径为R,内切圆半径为r,面积为S.     

关于三角形中线的一个不等式

经过探讨,笔者得到了三角形中线长的一个有趣的不等式. 定理若ma,mb,mc分别是△ABC的三条中线长,R,r为△ABC的外接圆和内切圆半径,则有(m2a)/(bc) (m2b)/(ca) (m2c)/(ab)≥2 (r)/(2R).     

对不满足极值定理条件的最值问题的求解策略

辩证唯物主义世界观认为:世界是普遍联系的和变化发展的.因此我们要具体问题具体分析,不能墨守成规、千篇一律.