两组三角恒等式的应用

在平面三角中有与代数中的平方差公式a~2-b~2=(a+b)(a-b)形似的恒等式: sin~2α-sin~2β=cos~2β-cos~2α=sin(α+β)·sin(α-β),(1)与 cos~2α-sin~2β=cos~2β-sin~2α=cos(α+β)·cos(α-β)。(2) 这两组恒等式不妨叫做三角中的“平方差”公式。熟记这两组恒等式对于解答某些三角问题、几何问题或综合题会有所帮助。恒等式(1)证明如下: ∵sin~2α-sin~2β=1/2(1-cos2α)-1/2(1-cos2β)=1/2(cos2β-cos2α)=sin(α+β)sin(α-β),     

三角恒等变形中角的变换常用的五种策略

一、“给值求值”时将“待求角”用“条件角”表示例1 已知cos(α-β)=-4/5,cos(α+β)=4/5,且α-β∈(π/2,π),α+β∈(3π/1,2π),求cos2α. 解:由已知求得sin(α-β)=3/5,sin(α+β)=-3/5.又2α=(α-β)+(α+β),所以cos2α=cos(α-β)cos(α+β)-sin(α-β)sin(α+β)·代入已知数据得cos2α=-7/25. 练一练已知sin(π/4-α)=5/13(0<α<π/4),求cos2α/(?)的值.     

一道习题的错解及反思

有这样一道习题:已知sin2a+sinβ+cos(α-β)=2,求sina+sinβ的取值范围. 错解:令u=sinα+sinβ,则u2=sin2α+sin2β+2sinαsinβ又sin2α+sin2β+cos(α-β)=2,所以U2-2=2sinαsinβ-cos(α-β)=-cos(α+β).u2=2-cos(α+β),从而1≤u2≤3,解得-3~(1/2)≤u≤一1或1≤u≤3~(1/2). 这个答案看起来似乎简洁明了,分析透彻,但细细分析便会产生这样的疑问,即cos(α+β)能取[一1,1]上的所有值吗?     

解开学生心中的疑团——一道三角题的解题分析

在一些参考资料上,经常可以看到这样一道三角题:题目:已知 sinα sinβ=2~(1/2)/2,求 cosα cosβ的取值范围.其解法为:设 cosα cosβ=x,则(sinα sinβ)~2 (cosα cosβ)~2=1/2 x~2,即2 2cos(α-β)=1/2 x~2,∴x~2=3/2 2cos(α-β).∵-1     

“韩信点兵”与枚举法

高中实验修订课本数学第一册(下)的 4.7部分有这样两个三角恒等式: sinα+sinβ=2sinα+β2cosα-β2; cosα+cosβ=2cosα+β2cosα-β2. 这两个三角恒等式通常叫做和差化积公 式,有了它们,我们可容易推出: 定理:(1)sinα+sinβ2≤sinα+β2 (当且仅当α=β时等号成立); (2)cosα+cosβ2≤cosα+β2 (当且仅当α=β时等号…     

联用sin~2θ+cos~2θ=1与二维柯西不等式解题

解数学题,学生是多么期盼掌握一些“战无不胜”的技法。本文联用sin~2θ+cos~2θ=1与二维柯西不等式解题,其构思别致,变换灵巧,可谓学生所盼的“阳春白雪”。二维柯西不等式是:ac+bd≤(a~2+b~2)~(1/2)·(c~2+d~2)~(1/2),a、b、c、d∈R当且仅当a/c=b/d时,等式成立。(现行高中《代数》课本下册P.14)。一求值(或证明条件不等式) 例1 若α、β∈(0,π),且cosα+cosβ-cos(α+β)=3/2,求α、β。解:已知即为(1-cosα)cosβ+sinα·sinβ+cosα=3/2,于是:(cos~2β+sin~2;xx2)[1-cosα)~2+sin~α]≥[(1-cosα)cosβ+sinα·sinβ]~2=(3/2-cosα)~2即(2cosα-1)~2≤0,cosα=1/2,α=π/3,同理知β=π/3。(α、β∈(0,π)) 例2 已知msinθ-ncosθ=(m~2+n~2)~(1/2) (1)sin~2θ/α~2+cos~2θ/b~2=1/(m~2+n~2) (2)     

三角教学中应重视反证法的作用

反证法在代数、几何证题中的地位与作用,已广为人知。但作为数学的一个分支——三角,由于它有公式繁多、恒等变形十分灵活等特点,因此在三角证题中,学生往往只知道套用公式寻求直接证法,而易于忽视反证法在三角证题中的应用。一、证明等式或证明不等式问题。例1 设α、β为锐角,且sin~2α+sin~2β=sin(α+β),求证:α+β=π/2(1983年全俄中学生数学奥林匹克试题)。证明要证α+β=π/2,只须证α+β>π/2要α+β<π/2都不能成立。为此,将已知等式变形成: sinα(sinα-cosβ)=sinβ(cosα-sinβ) (*) 假若α+β>π/2,则α>π/2-β,于是sinα>cosβ,cosα相似文献   

对一道三角函数题的思考

一、问题的提出 看这样一个数学问题:若sinαcosβ=1/2,求cosαsinβ的取值范围. 一个典型的错误解法是: 解:因为sin(α+β)=(sinαcosβ+cosαsinβ)∈[-1,1],sinαcosβ=1/2,所以-3/2≤cosαsinβ≤1/2. 它的错误原因在于找到的约束条件不全面,仅考虑了-1≤sin(α+β)≤1.许多参考书上给出的正确的解法是: 解:因为sin(α+β)=(sinαcosβ+cosαsinβ)∈[-1,1],sinαcosβ=1/2,所以-3/2≤cosαsinβ≤1/2, 因为sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=(1-cosαsinβ) ∈[-1,1].     

三角复习综合测验题

1.化简 (1+cos2α)/(ctg α/2-tg α/2).2.求值 log_2sin22.5°+log_2cos22.5°3.已知α、β是锐角,且 cosα=1/7,cos(α+β)=-11/14求β.4.设90°0.5.设α、β是锐角三角形二锐角,求证     

错在哪里?

一、广西东兰中学宋全宁来稿题:设方程x~2-2mx+m+2=0有两个实根,且分别为某直角三角形两锐角正弦的四倍,求m的值。解设直角三角形两锐角分别认α、β,则方程之二根为4sinα和4sinβ=4sin(90°-α)=4cosα,分别代入方程,得 16sin~2α-8msinα+m+2=0和16cosα~2-8mcosα+m+2=0 ∴m=(16sin~2α+2)/(8sinα-1)和m=(16cos~2α+2)/(8cosα-1) 即(16sin~2α+2)/(8sinα-1)=(16cos~2α+2)/(8cosα-1)解得锐角α=45°     

一道三角题的讨论

三角公式中有的涉及根式前双重符号的取舍,如何取舍正负号,学生往往感到困难。下面举一个例题来说明正负号取舍的方法。例题:用sinα来表示sinα/2和cosα/2 解:∵ sin~2α/2+cos~2α/2=1 (1) 2sinα/2cosα/2=sinα (2) 由(1)+(2)得 (sinα/2+cosα/2)~2=1+sinα sinα/2+cosα/2=±(1+sinα)~(1/2) (3)(1)-(2)得     

一道三角竞赛题的简证（高一）

前苏联有一道三角竞赛题: 设锐角α、β满足sin2α+sin2β=sin(α+β). 求证:α+β=π/2. 一般学生容易从求sin(α+β)=1去入手,但经过一番苦思冥想之后,由条件无法求解出sin(α+β)=1这个结果.遇到这种情况,不妨改变一下解题方向,观察条件等式sin2α+sin2β=sin(α+β),即可从sin(α+β)≤1入手,可顺利地证明此题. 证明由sin(α+β)≤1得 sin2α+sin2β≤sin2α+cos2α① sin2α+sin2β≤cos2β+sin2β②     

三角解几 融为一体

解析几何的本质是用代数方法研究几何问题,而三角可以实现几何特征与代数运算的有效转化,因此解析几何中的三角问题俯拾即是:一、以三角为工具,用三角的一整套变换公式,求解圆锥曲线的特征变量【例1】设P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点,F1、F2是椭圆的焦点,∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,求椭圆的离心率e.解:由正弦定理得|PF1|sinβ=|PF2|sinα=|F1F2|sin(π-α-β),∴|PF1|+|PF2|sinα+sinβ=|F1F2|sin(α+β),即2asinα+sinβ=2csin(α+β),而e=ca,∴e=sin(α+β)sinα+sinβ=2sinα+β2cosα+β22sinα+β2cosα-β2=cosα+β2cos…     

一类反三角函数题的解法

关于用一个反三角函数表示两个反三角函数的和的问题,如果两个反三角函数的和的取值范围在所求的反三角函数的值域内时,学生计算起来比较顺利,不易出错。如: 把arc cos3/7+arc cos9/11化为反余弦函数的形式解:设arc cos(3/7)=α,arc cos(9/11)=β,则0<α<π/2,0<β<π/2,于是0<α+β<π。 cos(α+β)=cosα cosβ-sinα·sinβ=3/7×9/11     

2002高考（天津）试题别解

题目已知cos(α+π/4)=3/5,2/π≤α＜3/2π求cod(2α+π/4) 解法1由cos(α+π/4)=3/5,可得cosα-sinα=3√2/5…(1)再由sin2α+cos2α-1,得:2cos2α-6√2/5cosα-7/25-0,解得cosα=-√2/10或7√2/10,又π/2≤α＜3/2π,所以cosα=-√2/10,sinα=-7√2/10,所以cos2α=cos2α-sin2α=-24/25,sin2α=7/25所以cos(2α+π/4)=√2/2(cos2α-sin2α)=-31√2/50.     

奇妙的三角平方差公式

<正>三角中有两个结论:(1)sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β;(2)cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β.这两个结论的结构与平方差公式(x+y)(x-y)=x²-y2-y²的结构相似,体现了数学的形式美,所以不妨称之为"三角平方差公式".公式的证明是很容易的,通过角的和差公式直接展开来推导即可.此公式不仅形式     

韦达定理解三角题例说

一些三角问题转化为代数问题,运用韦达定理逆定理构造方程来解有时是很简便的。兹举例说明之。 [例1] 已知sinα·cosα=-(3~(1/2))/4,且(π/2)<α<3π/4,求sinα和cosα的值。解:∵(sinα+cosα)~2=sin~2α+cos~2α+2sinα cosα=1-(3~(1/2))/2,(又(π/2)<α<(3π/4)), ∴sinα+cosα>0。     

一道试题变式教学的“课堂意外”

这是一堂关于“两角和与差的正余弦”习题课.学生的《课时作业》中有这样一道选择题:已知α∈(0,π/2),β∈(0,π/2),且sinα=5/13,cos(α+β)=-4/5,则sinβ的值为().A.33/65B.16/65C.56/65D.63/65应当说这是一道在角的变换背景下,考查两角和与差的正余弦公式的常规试题,而且两个角都是锐角,通过cos(α+β)=-4/5得到sin(α+β)=3/5,通过sinα=5/13得到cosα=12/13都是很容易理解的,因此由sinβ=sin(α+β-α)=sin(α+5β)cosα-cos(α+β)sinα就可以计算出sinβ的值为56/65,故选C.     

对一道西班牙赛题的再研究

第 31届西班牙数学奥林匹克第 2题是 :证明 :如果 ( x+ x2 + 1 ) ( y+ y2 + 1 )= 1 ,那么 x+ y=0 .文 [1 ]给出了此题的一种证法 ,本文再给出此题的两种换元证法 ,然后给出一个新命题 .证法 1　设 x=tanα,y=tanβ,其中 α,β∈ ( - π2 ,π2 ) ,则由条件知 ,( tanα+ secα) ( tanβ+ secβ) =1 ( sinα+ 1 ) ( sinβ+ 1 ) =cosαcosβ sinα+sinβ+ 1 =cos(α+β) 2 sinα+β2 cosα-β2 +1 =1 - 2 sin2 α+β2 sin α+β2 ( sin α+β2 +sinπ-α+β2 ) =0 sin α+β2 sin 2β+π4 ·cos2α-π4 =0 .又由 α,β∈ ( - π2 ,π2 ) ,知…     

一个三角恒等式在几何解题中的应用

<正> 形如ab=cd+ef的几何问题,其思路不易展开,用“三角法”也有一串冗长的演算。今介绍一个三角恒等式用来证明这类几何问题,它可以省去添加辅助线和冗长计算的麻烦。 三角恒等式。 若α+β+γδ=π, 则sin(α+β)·sin(β+γ)=sinα·sinγ+sinβ·sinγ……(1) 证明:α+λ=π-(β+δ)、∴cos(α+γ)=-cos(β+δ)