如何求解“是否存在”型题

存在性问题是指判断满足某种条件下的结论是否存在的数学问题。解决这类问题的方法有两种,一种是具体找出满足条件的数学对象;另一种是假定其存在,通过推理导致矛盾,从而判断所讨论的数学对象不存在,现举例如下,供同学们参考。例1　已知抛物线y=x2-5mx+4m2(m为常数)(1)求证:此抛物线与x轴一定有交点;(2)是否存在正数m,使已知抛物线与x轴两个交点的距离等于6m-1? 若存在,求出m的值,若不存在,说明理由。证明(1):∵△=b2-4ac=(-5m)2-4×1×4m2=25m2-16m2=9m2≥0 　　　　∴此抛物线与x轴一定有交点。(2)假设存在正数m,使已知抛物线与x轴两个交…     

二次函数、反比例函数错解例析

在学习二次函数、反比例函数时,有些同学常因概念不清、思维不周或理解不透而发生解题错误.现列举几例共同探究. 例1 已知抛物线y=(m-3)x2-2mx+m与x轴有两个交点,求m的取值范围. 错解:∵抛物线与轴有两个交点,∴△>0,即(-2m)2-4×(m-3)×m>0解得m>0.     

1988年中考数学试题选登(二次函数部分)

1、已知抛物线y=x~2-（m-3）x-m。（1）试证：不论m为何值，抛物线与x轴总有两个交点；（2）试求，当m为何值时，抛物线与x轴的两个交点的距离等于3；（3）用反证法证明；无论m为何值，抛物线与x轴的两个交点不可能都落在x轴的正半轴上。2、已知二次函数y=ax~2+bx+c（a＞0）的图象经过 M（1-2~(1/2)，0）、N（1+2~(1/2)，0）、p（0，K）三点。（1）如果△MNP是直角三角形，且∠P=90°，试确定 a、b、c的值；（2）如果△MNP是钝角三角形，且∠P是钝角，     

不应忽略的图形条件

题目　如图 1,已知抛物线y =2x2 -4x +m与x轴交于不同的两点A、B ,其顶点是C ,点D是抛物线的对称轴与x轴的交点 .( 1)求实数m的取值范围 ;( 2 )求顶点C的坐标和线段AB的长度(用含m的式子表示 ) ;( 3 )若直线y =2x +1分别交x轴、y轴于点E、F ,问△ABC与△EOF是否有可能全等 ?如有可能 ,请证明 ;如不可能 ,请说明理由 .( 2 0 0 1,上海市中考题 )错解 :( 1)因抛物线y =2x2 -4x +m与x轴交于不同的两个点A、B ,则关于x的方程 2x2 -4x +m =0有两个不相等的实数根 .所以Δ =( -4 ) 2 -4·2m =16-8m >0 .解得m <2 .( 2 )、( 3 )略 .分析 :由…     

关于抛物线弦长的两个简单性质及其妙用

抛物线y=ax2 bx c(a≠0),当Δ=b2-4ac>0时,它与x轴必有不同的两个交点,此两点间的距离叫做抛物线截x轴所得弦长.关于抛物线截x轴所得弦长与判别式的关系,我们给出如下性质:定理1　当Δ=b2-4ac>0时,抛物线y=ax2 bx c与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,记d=AB=|x1-x2|,则:Δ=b2-4ac=(ad)2.证明　显然x1、x2是一元二次方程ax2 bx c=0的两根,所以x1 x2=-ba,x1x2=ca.Δ=b2-4ac=a2[(-ba)2-4.ca]=a2[(x1 x2)2-4x1x2]=a2(x1-x2)2=a2(|x1-x2|)2=(ad)2.定理2　当Δ=-4ak>0时,抛物线y=a(x-h)2 k与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,记d=AB=|x1-x2|,则:Δ=-4…     

速解抛物线内接三角形的问题

抛物线内接三角形这类数形结合题,既是初中数学的难点,又是初、高中数学知识的衔接点,它涉及知识点多,综合性强,难度大,近几年中考压轴题出现的频率比较高。 例 1(1998年南京市)已知抛物线y=x2-(m2 5)x 2m2 6.(1)求证:不论m取何值时,抛物线必与x轴有两个交点,且有一定点A(2,0);(2)抛物线与x轴另一个交点为B,AB=d,求d与m的关系式。(3)设d=10,P(a,b)为抛物线上一     

二次函数问题错解例析

二次函数问题一直都是中考的重点.这类问题包含的知识量大,综合性强,题型灵活多样.很多同学在解题时容易因概念模糊、知识掌握不够牢固、粗心大意忽视隐含条件等原因出错.因此,解题时一定要认真审题、仔细分析、周密思考、充分挖掘隐含条件,避免出现错解.现略举几例分析如下.例1已知抛物线y=(m 3)x2-m x 1与x轴有交点,试求m的取值范围.错解:因为抛物线y=(m 3)x2-m x 1与x轴有交点,所以Δ=(-m)2-4(m 3)≥0,即m2-4m-12≥0,解得m≤-2或m≥6.故m的取值范围为m≤-2或m≥6.分析:m的取值范围应满足两个条件:①抛物线与x轴有交点,即一元二次方程(m 3…     

关于抛物线弦长的两个简单性质及其妙用

抛物线y=ax2 bx c(a≠0),当△=b2-4ac＞0时,它与x轴必有不同的两个交点,此两点间的距离叫做抛物线截x轴所得弦长.关于抛物线截x轴所得弦长与判别式的关系,我们给出如下性质:     

用一个公式求二次函数的解析式

用设二次函数y=ax2 bx c的图象与x轴的两个交点为A和B,则两交点的横坐标分别是方程ax2 bx c=0的两个根x1、x2,易求得线段A B=∣x1-x2∣=(x1 x2)姨2-4x1x2=(-ba)2-4ca姨=姨b2-4ac∣a∣.若已知或易求得二次函数的图象与x轴的两个交点之间的距离,则可以用这个公式来求二次函数的解析式.请看下面几道例题.例1以(1,2)为顶点的抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点M.已知A B=4,求这条抛物线的解析式.解:因为抛物线的顶点为(1,2),故设这条抛物线的解析式为y=a(x-1)2 2=ax2-2ax a 2.设A、B两点的坐标分别为(x1,0)、(x2,0),则A B=4a2-4a(a 2)姨…     

当抛物线遭遇“交点”

我们知道,抛物线y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）必与x轴交于（x1,0）和（x2,0）两点.反之,若抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为（x1,0）和（x2,0）,则可设所求抛物线的解析式为y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）,然后将图象上其它任意一点的坐标代入即可确定其解析式.一、＂交点＂为抛物线与x轴的交点例1已知抛物线经过原点及点（-1/2,-1/4）,且抛物线与x轴的另一交点到原点的距离为1,     

重庆市第三届中学生数学竞赛试题参考解答

一、在同一坐标系里有两条抛物线y=ax~2 c和x=ay~2 c,其中,a、c为实数且-(3/4)相似文献   

抛物线的一个性质及其应用

性质:过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和抛物线相交,两个交点的纵坐标分别为y1、y2,则y1y2=-p2．证明:由题意知,直线若为x轴时,与题意不符．(1)当过焦点的直线不垂直于x轴时,设方程为y=k(x-p/2)(k≠0),即x=     

抛物线内接三角形的若干性质

文[1]给出了抛物线内接等腰三角形的一个性质,本文给出抛物线内接三角形的若干性质.定理1抛物线y=ax2 bx c如果与x轴有两个交点A、B,与y轴的交点为C,则kACkBC=k的充要条件是ac=k.(k0,所以抛物线与x轴有两个不同交点,设为A、B,坐标分别为(x1,0),(x2,0),则kAC=-cx1,kBC=-cx2,kAC.kBC=c2x1x2=c2ca=…     

抛物线的内接三角形

如图1,抛物线y=ax2 bx c(a≠0),当△=b2-4ac>0时,它与x轴必有两个交点.设两交点为A(x1,0)、B(x2,0),抛物线顶点为P,我们把△PAB叫做抛物线的内接三角形.由抛物线的对称性可知它是等腰三角形.它的形状、大小由P、A、B三点坐标确定.那么该三角形形状与抛物线系数a、6、c有怎样的内在联系呢?     

抛物线族y=a(m)x~2+b(m)x+c(m)过定点的充要条件

在初中数学总复习阶段,我们曾让学生解答下面的题目:二次函数y=x~2-(m~2+4)x-(2m~2+12),证明它的图象与x轴总有两个交点,并证明不论m取何值时图象必过定点。此题前一半容易证明,因为Δ=(m~2+8)~2>     

Δ~(1/Δ)/|a|在二次函数问题中的应用

如果抛物线y=ax~2 bx c与x轴有两个交点,那么方程ax~2 bx c=0有不相等的两实根,反之亦然,此时 ∵方程的两根为: ∴抛物线y=ax~2 bx c与x轴的两个交点A、B之间的距离为: 如果把作为一个公式来应用,那么对解决某些有关二次函数的问题就显得简便多了。 一、求二次函数的解析式 例1,已知对称轴与y轴平行的抛物线和y轴交点到原点的距离等于6,与x轴两交点的距离等于2,并且顶点在直线x y=0上,求二次函数的解析式。 解:设y=ax~2 bx c, 则顶点为 根据题意得: 解得: ∴所求解析式为: y=2x~2-8x 6或y=-2x~2-8x-6。 例2,二次函数y=ax~2 bx c在x=2时,它的最大值是16,且图象与x轴的两个交点间的距离是8,术该二     

抛物线与三角形的面积

抛物线与三角形面积的知识相综合的问题涉及代数、几何的许多定理公式,有一定的难度.本文举例谈谈这类题的解法.顶点都在抛物线y=ax2 bx c上的三角形,其面积的求法,常见的有以下几种类型:1.以抛物线与x轴的两个交点和抛物线顶点为顶点的三角形,其底边的长是抛物线与x轴的两交点间的距离,高的长是抛物线顶点的纵坐标的绝对值,其面积为S△=12·b2-4ac√a·4ac-b24a.2.以抛物线与x轴、y轴的三个交点为顶点的三角形,其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离,高的长是抛物线与y轴的交点的纵坐标的绝对值,其面积为S△=12·b2-4ac√a·｜c｜.3.以抛…     

抛物线中的“四点”“五距”

一、抛物线中的"四点"抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的"四点"是指抛物线与x轴的两个A交点,与y的交点及抛物线的顶点(如图).抛物线与x轴的两个交点是A(x1,0),B(x2,0).其中x1、x2是当y=0时,方程ax2+bx+c=0的两根;     

1993年江苏各市中考数学试题综合题选解

1 抛物线y=ax~2+bx+c(a≠0)过A(0,3)、B(5,-7)两点. (1)如果抛物线开口向下,且它的对称轴在y轴的右侧,求a的取值范围; (2)当a为何值时,抛物线与x轴的两个交点之间的距离最小?此时抛物线顶点与这两个交点构成的三角形面积是多少?(镇江市)     

函数及其图象测试题

(时间:90分钟满分:100分)一、填空题(每小题3分,共30分)1.若点P(x,y)的坐标满足(x+1)2+y-3√=0,则点P关于原点的对称点P'的坐标是.2.函数y=x-1√2-x√中的x的取值范围是.3.若y-3与x成正比例,当x=2时,y=7,则y与x之间的函数关系式是.4.若y=(m2+m)xm-2m-1是二次函数,则m=.5.抛物线y=-2x2+8x-6的开口方向是,顶点的坐标是.6.若直线y=-x+a和直线y=x+b的交点坐标为(m,8),则a+b=.7.若抛物线y=x2+ax-3的对称轴是y轴,则a=.8.设反比例函数y=-3x中x的取值范围是1≤x≤3,则变量y的最大值是.9.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示,22则一次函数y=-acx+b的…