金匙一把助君行──《三角形》一章的几何证题

“会证题”是学几何的基本要求．因为无论是知识、能力和思想观点，都可以从“证题”中体现出来．由于“三角形”是平面几何中最基本、最重要的图形．这就决定了“三角形”一章承上启下的重耍地位：在知识上．第一册的两章．都是“做准备”；在方法上．先是用“直观方法”．逐渐给出一些证明．主要是为了让我们学习证明的基本步骤和推理的格式，最后给出了“命题”、“定理”、“证明”的基本概念．从“三角形”一章起，开始“正式”学习证明．这里应该告诉大家两点：第一，由于“先入为主”这一认知心理的基本规律，我们一开始就应当掌握“…     

反证法例谈

反证法是一种重要的间接证明方法。为熟练掌握,现就有关反证法的应用归纳如下: “通过证明论题的否定为假,从而断定论题为真,这种证法叫做反证法”。用反证法证明命题,在分清命题“若A则B”的条件和结论后,可按如下步骤进行:1.作出与命题结论B相矛盾的假定     

抓“n=k”与“n=k+1”的联系

大家知道,利用数学归纳法来证明某些与自然数n有关的数学命题,关键是证明归纳步骤,即利用n=k命题成立这个假设条件来证明n=k+1时命题也成立。笔者现提出如何证明归纳步骤的一些技巧,供参考。一、要从n=k后条件出发“进”到n=k+1结论。例1.实数列{R_n}中,设R_1=1,R_(n+1)=1+n/R~2。求证:n~(1/2)≤R_n≤n~(1/2)+1。根据归纳法假设,当n=k时,命题成立,即 K~(1/2)≤R_k≤k~(1/2)+1 (1)要证明n=k+1时,命题也成立,即     

试论反例在数学教学中的作用

众所周知,数学中要证明一个命题是正确的,必须经过严格的论证,而要证明一个命题是错误的,只需举出一个满足命题条件而结论不成立的例子即可。比如要否定“两个质数的和是偶数”,只要举出“2+3=5”就可以了。这种与命题相矛盾的特例在数学上就叫做反例。反例因其简明、直观、说服力强等突出特点,决定了它在数学中起着不可替代的作用。因此,在数学教学中适当运用反例,可以收到事半功倍的效果。本文拟就反例在数学教学中的作用略谈己见。     

数学归纳法的证题技巧

用数学归纳法证题的两个步骤中,第二步骤是假设当n=k时命题成立,然后利用这“归纳假设”去论证当n=k 1时命题也成立。这第二步证明的实质是解决命题成立的延续性问题。本文通过一些典型例题,给出一套证明方     

再谈自然数平方和公式的直观证明

本刊1956年第4期中有毛冠勋同志“自然数的平方和公式的一种直观证明法”一文,这是在证明了下面的公式的基礎上,用直观图形来证明下面的自然数平方和公式的:文中对于公式(1)的证明,是用的数学归纳法,可惜没有能够也用直观图形来证明。现在我想到下面的一种直观图形,可以用来证明公式(1):     

一张量词表的应用

高一新生学习了逻辑知识 ,利用反证法证明一个数学命题时 ,要涉及到对一些量词的否定 .如“都是”、“不都是”、“都不是”、“至多”、“至少”、“唯一”等等 ,学生往往感到困难 .有的书上总结为 :“都是”的否定是“不都是” ,而不是“都不是” ;“都不是”的否定既不是“都是” ,也不是“不都是” ,而“至少有一个是” .这样的口诀 ,绕口、不易记忆和理解 .笔者在教学实践中 ,总结出了一张直观简便的量词表 ,现介绍如下 :0 0 0… 0 010 0… 0 0110… 0 0………………111… 10111… 11表 1　　将“是”记为 1,“否”记为 0 ,如表 1,以横…     

事物的分分合合可用对立统一概括——答坚毅同志

坚毅同志在他的《“一分为三”与“合三为一”的命题可以成立——与李延祥同志商榷》(《西北师院学报》1986年第3期)一文中,说我“否认‘一分为三’与‘合三为一’是唯物辩证法的命题”(35页,以下凡出自该文的引文只注明页码),并因此对整个学术界进行指责。现就坚毅同志提出的问题作一答辩。坚毅同志一再声称:他的“‘一分为三’与‘合三为一’的命题也是从客观实际中抽出来的,又在实际中得到了证明,因此可以称之为真正的理论”。“哲学就应该去吸取”(37页)。他说:“‘一分为二’和‘一分为三’是普遍的。对于前者,人们称之为对立统一     

一分为三与彩色哲学观

《天津师大学报》1988年第1期发表刘仲林同志的《对立统一“彩色”分析》(以下简称刘文,凡出自该文的引文只注明页码),我读后非常高兴,因为:一是批评了把“一分为二”绝对化的严重错误;二是肯定了提出“一分为三”命题的重要意义;三是从规律的高度论述了“一与多”的辩证关系。尽管如此,但我还是要提出几个问题与刘仲林同志共商。     

谈“不等式的证明”一节的教学

本文仅就“不等式的证明”一节涉及的三种基本证明方法,谈一点教学意见。一、比较法比较法是一种最基本、最重要的证明不等式的方法。通过教学,应使学生掌握: 定义:要证明不等式A>B只要证明A-B>O,这种方法称为比较法。依据:不等式的意义和实数运算的符号法则。证明的一般步骤:作差—变形—判断(大于或小于0) 变形的常用方法:因式分解、配方、通分等。     

反证法一例

反证法一例许智应用反证法证明数学命题时一般分下面几个步骤：第一步：分清命题“若Ａ则Ｂ”的条件与结论。第二步：作出与命题结论Ｂ相矛盾的假定Ｂ。第三步：由Ａ和Ｂ出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果。第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定Ｂ不...     

反证法在初中代数中的应用

反证法是数学中的一种很重要的证题方法,它是“数学家的最精良的武器之一”.反证法不仅可以用来证明几何命题,还可以用来证明代数命题.有些代数命题用直接证法无从下手,但是用反证法就会得心应手、轻松愉快. 反证法分三个步骤:1.反设:就是否定结论,即把结论的全部相反情况假设出来,做到既不遗漏,也不重复.2.推导出矛盾的     

反证法的逻辑根据及其应用

反证法作为一种重要的数学方法,一般的教材都会把这个方法的步骤叙述清楚．例如,苏教版教材选修2—2…“间接证明”一节中指出：反证法的证明过程可以概括为“否定一推理一否定”,即从否定结论开始,经过正确的推理,导致逻辑矛盾,从而达到新的否定（即肯定原命题）的过程．教材接着给出了用反证法证明“若P则q”形式的命题为真的过程的框图和三个步骤．文[2]中给出了反证法的几种常见推理格式：     

用共性与个性关系的哲学原理正确认识建设有中国特色的社会主义

邓小平同志在党的十二大提出:建设有中国特色的社会主义。在这个科学命题中,“社会主义”是共性,“中国特色”是个性。建设有中国特色的社会主义是共性与个性的统一。这个科学命题包含两层含义:一是什么是社会主义;二是怎样建设社会主义。要正确理解和把握这个命题,必须从共性与个性的辩证关     

数学归纳法教学初探

数学归纳法是一种证明与自然数n有关的数学命题的重要方法。是通过有限次的验证、假设和论证，来代替无限次的事例的验证，达到严格证明命题的目的。也就是把从某些特殊情况下归纳出来的规律，利用递推的方法，从理论上证明这一规律的一般性。在教学中，发现有一部分学生不知道在什么情况下用数学归纳法；不会用数学归纳法证明命题；或者在证明过程中不能“自始至终”（即证明步骤不完全）；或者没有用到归纳假设，有的虽然按照数学归纳法的方法和步骤对命题进行了证明，也是照葫芦画瓢，没有真正理解了归纳法原理，对用数学归纳法所证明的…     

教育叙事：剖析一个流行的几何错觉（续）

接着上面的分析我们继续思考：到底是“直观依赖”导致了“忽视逻辑证明”，还是“忽视逻辑证明”导致了“直观依赖”？应该说两者是互相支持的，我们有理由相信，文[1]在写作过程中不是没有进行过认真的逻辑思考，而是思考时分类欠完备，未穷尽所有的可能，部分有利于命题2、命题1的情况，作了整体成立的旁证（以偏概全）．比如（可能的不完备分类）     

帮你梳理《证明(一)》

一、知识梳理1．命题对事情进行判断的句子叫做命题,如:“人是高等动物”,“对应角相等的两个三角形一定全等”;反之,如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题,如“你爱好什么运动?”等．要说明一个命题是假命题,可以通过举反例;要说明一个命题是真命题,则需要依据公理等推理证实．     

观察·探索·归纳——浅谈对数学归纳法和二项式定理的教学体会

过去在讲授数学归纳法及二项式定理时,只认为让学生初步了解数学归纳法的原理和证明步骤,并能使用归纳法证明有关的数学命题就行了。但在教学过程中却常有学生提出:“这些等式的证明是会了,可是这些恒等式是如何想出来的?”也就是对前人怎样发现这些恒等式提出了“追究”。他们已不满足一般地“会用数学归纳法来证明恒。等式”,这问题引起了我的深思。让学生论证现成的命题固然必要,而且也总是大量的。但仅仅如此,就有可能把数     

教学数学归纳法的一堂课

数学归纳法是一种重要的证明方法，我们普通中学的学生在学习这部分内容时往往不理解它的实质，不理解数学归纳法两个步骤的作用，而是死套它的步骤解题．为了使学生对数学归纳法的两个步骤的作用有充分的认识，对这种重要的证明方法有比较深刻的理解，我在“第一课时”中介绍了归纳法，为什么要学习数学归纳法及什么是数学归纳法．在学生对数学归纳法有一个初步认识的基础上，“第二课时”加强了对学生发现思维能力的培养，收到了比较好的效果．现着重谈谈第二课时的教学情况．一、复习：什么是归纳法？什么是数学归纳法？由学生回答。二、…     

数学归纳法四注意

正在高中数学的学习中,数学归纳法常用来证明与正整数有关的命题,这个证明过程我们可以归纳为以下的几个步骤:(1)先证明当n取第一个值n0时,命题成立.这个步骤很简单,学生们都能写出来.(2)假设当n=k(k∈N*,k≥n0)时,命题成立,再证明当n=k+1时命题也成立.这是整个证明过程的核心步骤,涉及到一些变形,相对比较难.最后根据一、二步骤中的内容进行概括归纳,当n≥n0,n∈N*时,命题也成立.