第22届全苏中学生数学奥林匹克试题及解答

第一天 I、年级 i。一本书由30篇小说组成,各篇分别有1,2,…,30页.小说从第一页开始刊载,每一篇小说都从新的一页开始.问:以奇数页开头的小说最多可以有多少篇? 答:23。 2。设ABcD是凸四边形.考虑两个凸四边形F:和FZ,其中每个四边形的两个对角顶点为ABcD对角线的中点,而另两个顶点分别为ABCD一组对边的中点.已知四边形F:与FZ的面积相等。试证:四边形ABCD的一条对角线平分其面积. 3.设x,;,‘为三个不同的自然数,而且它们中的任意两数的乘积能被第三个数整除.试证:方程x一百 z=1有无穷多组解。 证将所求的解表示为x=。,,;=:k,‘=mk的…     

1987年全俄奥林匹克数学竞赛试题及解答(部分)

今年的全俄奥林匹克数学竞赛同往年有所不同,新增加了应用部分内容。竞赛分为两个阶段:一是进行实际操作训练的应用部分,一是和往年一样的理论部分。获奖名次主要根据理论部分的成绩来决定。理论部分八、九、十年级分别进行,而应用部分只为九、     

第20届全苏中学生物理奥林匹克竞赛题(理论部分)解答

八年级 1、对两只滑轮进行受力分析(如图1所示),可得T_2′R-T′_1r-T_A′R=0,及T_1′=T_2′=Mg/2。得:T_A′=1/2Mg(1-r/R)。说明:大滑轮与绳子间必有摩擦,故使得绳子的水平部分与竖直部分的张力不相等。若整个装置均无摩擦,则T_A′=T_2′,平衡时的情况应如图2所示。     

第23届全苏中学生数学奥林匹克试题及简解

八年级 1.星期天7个男孩去售货亭买冰淇淋,每个人都去过3次.已知其中每两个人都在售货亭附近相遇过,证明:在某一时刻有3个男孩在那里同时相遇过. 7.有77个3×3×1的长方块.问:能否把这些长方块码到一个7×9×11的、带盖的长方体的盒子中?     

第19届(1993)全俄数学奥林匹克试题与解答

9年级(最后一轮第一天) 对第二种操作,有 1.设自然数二使2,+1及3n+l都是平方数,间5二+3是否能为质数. 解设Zn+1=几2.3,+1=,:(泛,,〔N),则sn+3=4(加+1)一(3n+1)二4泛.一.盆~(幼+琳)(2汤一邢)是合数,选是由于2泛一,笋1,事实上,若2盛一,=1,即2盛二。+1,从而5,+3=2。+1,于是(,一1).=.一(2爪+1)+2二(3月+1)一(5月十3)十2=一2”<0,这就导致矛盾. 2.设两条单位长的线段AB和C刀相文于点O,且匕月OC二60’.求证:AC+BD》1. .,、。,,l‘二一二少,J’于二万, 证如图l作CBI//月B,且CB,=AB,则四边形ABBIC是平行四边形.从而月C二BB、,由△BB,D,…     

第19届(1993)全俄数学奥林匹克试题与解答

（最后一轮第一天）见我刊1993年第5期。     

第十一届全俄数学奥林匹克试题及解答(第三轮)

在苏联,各联邦共和国都要各自举行一年一度的中学生数理化奥林匹克竞赛。1984—1985学年的第十一届全俄奥林匹克竞赛分学校、市(区)、省(边区)、共和国四轮举行。最初参加者有二百万人之多,经过淘汰,仍有近八千人参加了第三轮比赛。     

第十四届全俄中学生数学奥林匹克试题及解答

八年级1.在正八边形的顶点上,是否可以记上数1,2,…,8,使得任意三个相邻的顶点上的数之和为:(1)大于11,(2)大于13?解(1)可以的.图1就是满足条件的一个例子。     

第15届全俄中学生数学奥林匹克试题及解答

第15届全俄中学生数学竞赛第三轮比赛于1989年2月举行.分八、九、十三个年级命题,每年级八个问题,其中标有*号的题目可以使用计算器.     

第十八届全苏联中学生物理奥林匹克竞赛试题(实验部分)

八年级: 1.测定两个容器的质量比。 实验设备:二个由同种材料制作的透明容器,另一个装有液体的大容器,为了确定液面位置的绝缘胶布,可吸取液体的橡皮球吸管。 2。测定三个电阻的阻值。 实验设备:电池组,二个已知阻值的电阻R;一IkQ,R:一1.3kQ,三个未知阻值的待测电阻,毫安表,供连接用的导线若干。 九年级: 1.测定电容器的电容。 实验设备:待测电容的电容器(其电容设为C:),已知电容为C。的电容器,且C。《C二,电池组,阻值超过10“欧姆的二个电阻,二个电键,1个毫安表和一些洪连接用的导线。 2.如图所示,在角度印一定的情况下,通过实验研究图…     

1991年中国数学奥林匹克(第六届冬令营)试题及解答

一、平面上有一个凸四边形 ABCD.(1)如果平面上存在一点 P,使得△ABP,△BCP,△CDP,△DAP 面积都相等,问四边形 ABCD 应满足什么条件?(2)满足(1)的点 P,平面上最多有几个?证明你的结论.     

第三届(1988年)数学奥林匹克国家集训队选拔试题解答

1.设实数A,B,C使得下面的不等式(*)对任何实数x,y,z都成立。问A,B,C应满足怎样的条件?(要求写出充分必要条件,并限定用只涉及A,B,C的等式或不等式来表示这条件) A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)≥0.(*)     

第20届美国数学奥林匹克试题及解答

1.对于满足匕A=2艺B,匕C是钝角,三边长a,b,。是整数的△月BC,求周长的最小值并给出证明. 2.对任何非空数集S,令a(S)和二(S)分别表示S中所有元素的和与乘积.求证: ~口(S)_/_,,,_、2.,1,1 、,二粤笔李=l称2+2件l一tl+今+李 ‘曰兀(S)、一/、一23a_b+e乙a+…十令)(·+,),其中“兄”表示对{1,2,…,,}的所有非空子集求和. 5.对于任意固定的整数n)1,求证数列 2 2,22,22,…(modn)自某项后是常数.4.设a==mm+1+”n+1爪m+n其中二,”是正整数.求证: am+a”)mm+n”. 5.设D是已给△ABC的边AB上的动点,E点在该三角形的内部且是△ACD和△BCD内切…     

第12届全俄数学奥林匹克第三阶段试题及解答

八年级 1.三角形的边长不等且构成等差数列.证明:这个三角形有两个角小于600. 2.如图2,图形」BCDEF由四段圆弧组成。AB是以D为中心、半径为2,的圆弧,.洲户.、、~BCD是以DB二2,为直径的半圆,DE是以B 尸声.、为中心、半径为2二的圆弧,EFA是以K为中心的圆弧,其中K是线段AD和EB的交点,乙ADB=乙EBD二45”.求以ABCDEF为界的图形的面积. 3.求以数。=令万+粼丁为根的整系数多项式. 4.无穷方格纸片的每个方格都染上。种颜色之一(:)2)。证明能找出同样颜色的四个方格,其中心分别是某矩形的顶点,此矩形的边平行于方格纸的格线.>鲁,而刀…     

第18届美国数学奥林匹克试题及解答

1.对每个正整数n,令试求整数0相似文献   

第24届全苏数学奥林匹克试题及解答

九年级 1.设t为任意实数,求证不等式t~4-t 1/2>0. 2.已知在凸四边形中,过一组对边的两个中点的直线与四边形的两条对角线成等角,求证两条对角线相等.     

第25届全苏数学奥林匹克试题及解答

九年级1.求方程组{x之一Zyt=3,xt+y之=1的整数解. 2.黑板上写有:个实数.允许从中擦去任何两个数,例如a和b,而代以另写的一个数宁(。十“).这科r手续共进行”一‘次,最后黑板上只剩下一个数.证明:如果一开始黑板上写有:个1,那么,在所有手续进行完毕后,黑板上所乘。的那个数不“、于专. 3.在平面上有4条直线,其中任何两条均相交,但任何3条均不共点.于是在每条直线上都交得3个交点,它们从直线上截出两条线段,这样共得到8条线段.试问,这8条线段的长度能否分别等于: (a)1,2,3,4,5,石,7,8? (b)互不相同均自然数? 4.彩票上有依次排列着的50个空格,…     

第26届国际数学奥林匹克试题及解答

第26届国际数学奥林匹克比赛于1985年7月3日至5日,在芬兰首都赫尔辛基市举行.我国中学生代表吴思皓(上海向明中学高二学生)和王锋(北京大学附中高三学生)由中国科协王寿仁、中国数学会裘宗沪两同志率领下,首次远征参加国际中学生数学竞赛.这次竞赛的笔试分二场完成,满分为42分.我国选手吴思皓以17分成绩获得三等奖.《科学画报》1985年第12期和1986年第1期分别刊登了这两场笔试的试题,并请吴思皓同学作了解答,现转载如下.     

第28届国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题解答

(试题见上期)必1.十一XZ卜·’+‘x。{毛侧几.1.解乙p。(无)=nl,a IXI十aZXZ十‘”十a”劣朴惫=O劣2}十…+.x:’)P。(论)=C井·P,_*(o) 儿l无!(n一k)!P。_、(0), 石(无一1川:,}+ 镇(无一l)了”. 把区间〔o,(忍一1)份,每一小区间之长为杯介〕等分成沦’‘一1等 (无一1)了几 无”一1仙兄无尸。(无)。=0习k.丽而二丽了尸一,(o)刀!自=1 由于a‘二0,1,…,无一1“=1,所以一共有犷一l个数 口1劣1+口2劣么+二’+口。x.。根据抽屉原则,总有两个数 ”一1 云 七一1=----兰-----一,下一~(。一卫灭而一1)!(。一k)!Uaf:,一卜a茵二:十…+a二劣。一P(…     

第19届美国数学奥林匹克试题解答

1.至多可以发行10~5个.我们可以造出10~5个互不相同的五位数证号 a_1a_2a_3a_4a_5.第6位数字 a_6规定为和a_1 a_2十a_3 a_4 a_5的个位数字.这时,如果两个号码的前5位数字 a_1a_2a_3a_4a_5与a_1~′a_2~′a_3~′a_4~′a_5~′中仅有一处不同,那么第6位