对偶与配极

对偶原则是高等几何里的一个重要原理和方法。利用对偶的方法研究射影几何问题贯穿在教材的始终。 点与直线是射影平面上的基本元素。点在直线上或直线通过点,称为点与直线接合,一个平面几何问题,如果只涉及到接合关系便称为是射影的。射影平面上只用点线接合表达的全部命题构成平面射影几何学。由于射影平面与欧氏平面的结构不同,因此它具有一些特殊的属性,对偶原则就是其中一个重要的特性。     

三角形与三面角的匹证初探

类似于射影几何中的对偶性质,不少人在综合几何中对平面和立体引进了不尽相应的概念,因而使所发展的内容难以一一保持对应,故无定论。笔者仅限于三角形与三面角作了初探,发现二者间有一定规律的匹证关系。请对比以下两个定理及其证明:     

局部对偶平坦且局部射影平坦的Finsler度量

研究了局部对偶平坦的Finsler度量,综合局部射影平坦,局部对偶平坦的性质,得到一个Finsler度量是局部对偶平坦且局部射影平坦的三个充要条件,并将其应用到(α,β)-度量,从而得到(α,β)-度量是局部对偶平坦且局部射影平坦的充要条件.     

高等几何知识在初等几何解题中的应用

高等几何对初等几何有着指导作用。Klein的群论原则把各种几何统一在变换群的观点之下,指出欧氏几何是射影几何的子几何,使我们认清了各种几何的内在联系。初等几何中有射影性质的问题,例如变化、调和比以及共点、共线等问题,都可以用高等几何的方法去解决。初等几何中有些问题实际上是射影几何问题的特例。用初等几何方法去解很麻烦的特例。用初等几何方法去解很麻烦的问题,用射影几何方法去解却很简单。下面通过一些例题     

走出欧氏几何——论射影几何中理想元素、复元素和对偶元素作用

本文论述了射影几何中理想元素、复元素和对偶元素的引入对几何学从欧氏几何发展到射影几何的重要作用，分析了由此导出的两种特殊的证明方法和作图方法     

走出欧氏几何

本文论述了射影几何中理想元素、复元素和对偶元素的引入对几何学从欧氏几何发展到射影几何的重要作用，分析了由此导出的两种特殊的证明方法和作图方法。     

完全四点形与完全四线形的性质

本文对完全四点形与完全四线形的性质作了进一步的研讨,从而得出一些结论。 完全四点形与完全四线形作为高等几何里的一对对偶图形,它们上面有着丰富的射影性质,除了各教课书上讨论过的,下面的命题也是成立的。     

Euclid空间几何中“直线和平面”的对偶命题

发现Euclid空间几何中的一个关系：直线与平面可以互换而形成对偶命题,而这又不同于空间射影几何中点与平面互换这一对仍原理。并且找出14对对仍命题,共28个定理。     

中心射影及其在初等几何的应用

射影几何应以中心射影为基础,因为几何图形的射影性质可以视为在任意中心射影下保持不变的性质。 中心射影可按下法定义:取空间任意点S作为射影中心,空间的任意平面兀’作为射影平面。空间中某个点A的中心射影,就是连结点A与射影中心S的直线与平面兀’的交点A1。     

“射影法”在竞赛中的应用

射影几何是研究图形的射影性质,即它们经过射影变换后,依然保持不变的图形性质的几何学分支学科.一度也叫做投影几何学,在经典几何学中,射影几何处于一种特殊的地位,通过它可以把其他一些几何学联系起来.本文从几个例题来解说射影     

初等数学中的“对偶化方法”

一、什么叫“对偶化方法”? 对偶原则是射影几何中特有的重要方法,而“对偶化方法”是一种对称类比联想。它的思想方法在中学数学中已有强烈的渗透。何谓“对偶”?对偶两字在文学中是一个修辞,其含义是:“用数字相等,结构相同或相似的一对语言表示相反、相近或相关的意思。这个修辞在数学中用于表述结构对称的数学问题也屡见不鲜。如:对偶点、对偶式、对偶图、对偶空间、对偶运算、对偶命题等等.这些对偶的数学问题虽然其内涵各有不同,但却具有以下共同点: 1.数量上是成对的(如,3~(1/2) 1与3~(1/2)-1); 2.外观结构上是对称的(指元素和运算功能、语言表述等对称);     

射影几何在中学几何中的两点应用

按照克菜因群论的观点,一个变换群对应着一种几何学,每种几何学所研究的对象是在相应变换群下,图形的不变性、不变量以及那些不变图形。由变换群的包含关系知,射影几何包含了仿射几何,仿射几何包含了欧氏几何,所以射影几何和仿射几何巾图形的性质在欧氏几何中必然成立。平行的概念只需理解为相交于无穷远点。这样我们可以利用射影几何、仿射几何的知识去解决初等几何问题,居高临下,问题就显得简单易解。     

Desavgues定理及其对偶定理的几何证明

对于射影空间内的代沙格定理,高等几何教材中给出了初等几何的证明,如〔1〕;而对于射影平面内的代沙格定理及其对偶定理,教材中普遍采用代数法的证明如〔2〕;本文用透视法给出这两个定理的几何证明,供老师们教学时参考。     

射影几何中的共点线(共线点)定理的关系

对射影几何中的共点线(共线点)定理之间的关系进行探讨,给出它们有关的对偶关系和等价关系.     

一个初等几何命题在射影几何中的推广

利用一个初等几何命题的结果,运用射影几何的方法得到若干射影几何命题,在通过将这些射影几何命题特殊化得到相关的初等几何命题。     

初等几何命题的射影证法与初等证法

本讨论了射影几何中部分概念、命题在初等几何中的解释，探求射影证法向初等证法转化的一般规律．     

浅谈应用高等几何方法解决初等几何中共线点及共点线问题

初等几何中共线点及共点线的问题,本来是个简单的几何问题,然而这个问题运用初等几何方法去解决,有时会觉得非常复杂和困难。在高等几何中,它的一个重要内容是研究图形在射影变换下的不变性和不变量,而同素性和结合性又是它的主要不变性质。所以初等几何中关于共线点、共点线的问题能运用高等几何方法去解决。     

调和共轭及其应用

射影几何对未来的中学教师而言,在几何基础的培养、眼界的开阔及观点的提高、思维的灵活及方法的多样等方面都具有重要的作用．“交比和调和共轭”是射影几何的重要基础,和射影几何的各部分内容密切相关,运用其概念和有关性质,可以比较简单地解决初等几何、复变函数和偏微分方程中的问题窗体底部。     

蝴蝶定理的衍变推广

蝴蝶定理是欧氏几何中与圆有关的一个重要定理 ,而欧氏几何又是射影几何的子几何 ,本文将利用射影变换将圆映射为常态的二次曲线 ,从而将蝴蝶定理衍变推广为射影几何的命题 ,以丰富的射影几何的内容     

蝴蝶定理的衍变推广

蝴蝶定理是欧氏几何中与圆有关的一个重要定理，而欧氏几何又是射影几何的子几何，本文将利用射影变换将圆映射为常态的二次曲线，从而将蝴蝶定理衍变推广为射影几何的命题，以丰富的射影几何的内容。