万变不离其宗——几何最值问题的变式探究

几何中最值问题的依据是:"两点之间,线段最短"、"垂线段最短".在解决最值问题时,通常利用轴对称、平移等变换作出最值位置,从而把已知问题转化为容易解决的问题.本文在课本(人教版八上数学课题学习最短路径问题)中"饮马问题"、"造桥选址问题"的基础上进行变式探究,与同行交流.几何模型一、基本图形1.条件:如图1,点A、B是直线l异侧的两定点.     

数学教师修炼“真功夫”三法

1.善于发现,绝不浪费的"常规功".课堂教学是数学教师"常规工作"的主阵地,在日复一日的教学过程中,只要留心总会发现很多有意义素材.【案例1】蚂蚁爬行的最短路径问题所谓蚂蚁爬行的最短路径问题是讨论在规则立体图形表面上蚂蚁从一点爬到另外一点如何选择路径所走路程最短的问题.此问题背景简单、生动、活泼,而解决此问题中需要运用几何学中两点之间线段最短等基础知识,并     

"一类图形的最值问题"教学实录与反思

最值问题是近几年中考命题中的热点问题,也是压轴题常见的问题.本文从"将军饮马"问题出发,结合"垂线段最短""两点之间,线段最短",根据图形自身性质解决"最值问题".     

求线段最小值的常用策略

<正>线段最小值问题是各地中考的热点,这类问题主要利用"两点之间线段最短","垂线段最短"和"点与圆之间,点到点心线与圆的近交点的距离最短"三种原理来解决.虽然这类题计算量小,但构思巧妙,且涉及的知识面广,所以有些考生在遇到这类问题时容易陷入困境.下面举例说明如何利用对称、轨迹和转化策略来巧妙地解决线段最小值问题.一、对称策略对称策略是指通过作出一些关键点的对称点,把折线问题转化为直线问题,再根据"垂线段最短"等原理确定线段的最小值.     

再谈几何最值之阿氏圆问题

<正>在平面几何问题中,当某几何元素在给定条件变化时,求某几何量(如线段的长度、图形的面积、角的度数)的最大值或最小值问题,称为最值问题.这类问题通常可以运用几何性质和代数解法两种方法解决.几何性质中常用的定理(或公理)有"两点之间线段最短"和"垂线段最短";代数解法通常是利用二次函数的最值或判别式法.近年来出现了一类将阿氏圆和"两点之间线段最短"结合求最值问题,下面我们一起来领略阿氏圆在解决     

浅析初中数学中的最值问题

正一、几何最值问题———最短路线问题几何最值问题通常为最短路线问题的引申,这类问题是考试中的一个热点问题,这类问题本身的特点为解答过程简单,但是思考过程却相对复杂,属于一种能力考查类的题目.这类题解答的关键在于"平面内连结两点的线中,线段最短"这一原则.通过对称的方式,有效构建不同点的共线,从而找出最短线路.     

由“将军饮马”再探路径问题

<正>路径最短问题是初中数学教学中的重要题型,又是与生活实际有密切联系的应用问题.引导学生运用所学知识解决路径最短问题,体现了学生的学习与社会生活的密切联系,强调了数学来源于生活,服务于生活的新课程理念.本文通过再次研究"将军饮马"问题,把两条路径之和最短问题拓展到三条路径之和最短问题,以此激发学生学习数学的兴趣,培养学生探究科学的热情.一、情境导入问题1(将军饮马)牧马人从A地出发,     

“将军饮马”问题的应用及拓展

<正>我们知道,典型的"将军饮马"问题属"一动两定"型问题,其本质是将同侧两折线段之和通过轴对称化为异侧两折线段之和.而其拓展、延伸与变式问题,往往需要通过辅助线转化为"将军饮马"问题,最后,利用"两点之间线段最短"或"点到直线垂线段最短"基本原理解决.本文主要探究"一定两动"型和"两定两动"型最值问题的解题策略,供参考.     

利用几何画板探究距离最短问题

<正>随着时代的发展,计算机已经进入日常生活和教学实践中.如何更好地使用计算机,实现信息技术与教学课程的整合,成为我们教师需要思考的问题.下面谈谈笔者在教学"探究距离最短问题"中的一点尝试.一、设计意图利用轴对称的性质,可以解决生活中很多"距离最短"问题,比如我们熟悉的"将军饮马"问题,"造桥"问题,Fagnano问题等.我们平时讲解时需要很多复杂的画图、解释,操作起来耗时耗力,结果学生听得一知半解,每次     

"距离最短"问题分类解析

新课程标准实验教材更加注重知识的应用与拓展.本文将极具热点的"距离最短"问题分类解析如下,供读者学习鉴赏. 一、两个定点(在定直线的同侧)到一条定直线上某点的距离和最短问题     

两个几何公理引起的思考

<正>初中数学教材里有两个重要的公理:一个是"两点间线段最短",另一个是"垂线段最短".它们对于解决动点问题中的路线最短问题是非常重要的工具.教者应多思考、多归纳,引起足够重视.1.计算一个动点问题中的路线最短教材中提出的问题:在一条河l的同侧有张庄A、李庄B,问在河边的什么位置建水泵站,使安装水管的长度和最短?具体做法:如图,作A关于直线l的对称点A′,连接A′B交l于点P,点P为建水泵站的位置.     

例谈一类中考热点几何最值的求解策略

正"垂线段最短"是平面几何中的一个重要的性质定理.它的应用十分广泛,尤其对于一类中考热点几何最值问题,若能在转化思想的引领下,通过细致的观察、合理的联想、缜密的推理,注重利用"垂线段最短"这一性质来解题,常会收到出奇制胜的效果.本文试举例说明,以供参考.     

利用数学模型 探求“线段最值”

<正>教学中发现学生在解决"线段最值"问题时,困难主要有两个方面:一是对解决这类问题常用的几种数学模型认识不充分,掌握不到位;二是这类问题一般是以动态形式呈现的,学生难以掌握运动中的数量关系而导致无法入手.本文主要谈谈如何利用数学模型求线段最值的问题.笔者归纳出最常用的三种数学模型:从"形"的角度构造"两点之间线段最短"和"垂线段最短"这两种几何模型;从"数"的角度建立函数模型来进行分析.现举例加以分析.     

貌似相同 解法各异——例析与抛物线有关的最短距离问题

<正>以抛物线为载体,求抛物线上(或对称轴)的一动点到两定点距离之和的最小值问题,是近年中考常见的题型.解决此类问题的关键是:将相关线段进行转换,最终利用"两点之间线段最短"或"垂线段最短"来解决问题.现举例说明如下.     

怎样走最近

数学来源于实践,数学问题生活化、实际化是新课程的特点之一.数学新教育中有几处对"最短路径"的探究,既有现实性又充满趣味性以及对数学思维的挑战性. 应用的基本原理很简单:"两点之间线段最短",但具体问题中将实际问题转化为"两点之间的线段"这一数学模型的途径丰富又巧妙. 下面分平面和空间两种情况进行分析.     

探究以圆为背景的最值问题

<正>动态几何问题中,最值问题是最具挑战性的,而以圆为载体的最值问题,其背景新颖、构思巧妙、创意独特、内涵丰富,深受命题者的青睐.下面我们撷取几例中考试题,探究其解法.一、利用"两点之间,线段最短"求最小值     

例谈平行线上两动点之间距离的最短问题

<正>初中几何中有一类关于距离最短的问题,这些问题最终都会转化为"垂线段最短"或"两点之间线段最短".本文就一类平行线上两动点之间距离最短问题,谈谈笔者对此的分析和见解,以供读者参考.一、基本问题如图1,直线m∥n,且两直线之间的距离为d,若点A和点B分别是直线m,n上的动点,则点A和点B之间的距离最小值为d.解析根据运动的相对性,不妨固定点A,则问题就变成了直线n外有一定点A到直     

探究“a+kb型”线段和最小值问题

<正>将军饮马问题是典型的两条线段和最短问题,记为"a+b型",常利用对称进行等量变换,将最短问题转化为"两点之间,线段最短"原理的简单应用问题.但其一些变式问题,譬如"a+kb(常数k>0)型"线段和最小值问题,对学生具有很大挑战性,如何突破学生思维障碍呢?通常需要进行一种新的变换,通过构造的方法转化、化归为简单情形,从而有效地寻找解题突破口,使     

最短路线模型在平行四边形中的应用

<正>近年各地中考试卷中常常出现求最短路线类型的问题.这类问题绝大部分可以运用"两点之间线段最短"这一公理加以解决.现就最短路线模型在平行四边形方面的应用,做些初步的探索,供大家参考.一、最短路线问题应用模型的建立问题如图1,将军每天从山峰A出发,先到河边处饮马,然后再去河岸同侧营地B地开会,应该怎样走才能使路程最短?     

四法解决图形类最值问题

几何最值与函数最值是初中数学最值问题的两大类,近年以几何图形为载体的最值问题不断涌现,已成为各地中考命题的热点,解决此类问题有以下常用的四种基本方法,现举例说明.一、"两点之间、线段最短"型在直线的同侧有两点,要在直线上找一点到这两点的距离之和最短,其方法是作出其中一点关于直线的对称点,对称点