谈谈几种可积型微分方程

微分方程,是现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具,本文只讨论八种可积型微分方程,其所以称之为可积型,是因为解法最后都把求解的问题化成求积分,并将方程的通解用初等函数或它的积分表达出来,这些内容都是常微分方程求解的基本方法,且在实际中有着广泛的应用,历届研究生考试都考了这部分内容,既使国际数学竞赛也如此。下将分别举例说明。     

一阶非线性差分方程的解法

与微分方程一样，一阶线性差分方程可用初等方法求解[1]，但是一阶非线性差分方程的求解问题，远比一阶线性差分方程困难得多，且大部分一阶非线性方程都无法用初等方法求解，本文仪讨论特殊的几类非线性差分方程的解法。是一阶线性差分方程，可用初等解法。例1解差分方程这是关于Zn的一阶线性差分方程，可用初等方法求通解例4解差分方程许多一阶非线性差分方程可以通过适当的非线性变换化成以上可解的形式，寻找适当的非线性变换是解决问题的关键，又是问题的难点，因为寻找适当的线性变换没有固定的方法，只能通过细致地观察、分析，发现…     

解一阶微分方程的变换方法

我们运用变换的方法,给出几类可用初等解法的一阶微分方程类型及其求解的一般方法.     

一阶常系数线性微分方程组“对称型”的初等解法再讨论

利用代数方程的初等解法,给出＂对称型＂的一阶常系数线性微分方程组,化为一阶线性微分方程求解定理.     

一些一阶微分方程的解法

本文运用变换的方法，给出了几类能有初等解法的一阶微分方程类型及其求解的一般方法。     

变量分离方程的判定定理

一阶常微分方程的初等解法,最基本的方法就是变量分离方程的解法。变量分离方程,一般教科书定义如下:形如(dy)/(dx)=(?)(x)ψ(y) (1)的方程,称为变量分离方程,这里(?)(x),ψ(y)分别是x,y的连续函数。变量分离方程的求解方法是明显的,如果Ψ(y)≠0,则     

几类可积型的常微分方程

本文给出了几类可积型一阶非线性常微分方程,并得到其通解的积分表达式,其结果包含一般常微分方程著作中的一些可积型方程作为特例.     

浅析一阶常微分方程的解法问题

一阶常微分方程的解法多种多样,本文通过三个例子说明这些解法在具体方程求解中的运用.     

常微分方程的一个普遍可积类型及应用

本文得到了常微分方程的一个新的、普遍的可积类型．齐次方程、一阶线性方程、具努利方程都是这类型的特例，作为应用，文对讨论了Ｒｉｃｃａｔｉ方程和变系数二防线性齐次微分方程的可积性，得到它们有初等解的一个充分条件。     

求常微分方程解的方法

对已有的微分方程的解法进行了分类归纳,并总结出了分离变量法、常数变易法、参数法、降阶法和升阶法的一般规律.分离变量法包含了函数的思想,运用了整体代换,使解题过程清晰明了;常系数变易法结合高等代效的知识讨论常微分方程的解;参效法运用了换元的思想,把不熟悉的或不太容易求解的转化为所熟知的方程或函数;降阶法采用降低次数的方式求解把复杂的问题简单化;升阶法采用提高次数的方式,是打破常规的方法,可开阔思路.     

几类可积型的常微分方程

本文给出了几类可积型一阶非线性常微分方程,并得到其通解的积分表达式,其结果包含一般常微分方程著作中的一些可积型方程作为特例。     

变量变换在解一阶常微分方程中的应用

运用变量变换,给出一些可用初等积分法求解的一阶常微分方程类型及其求解的一般方法．     

齐次型方程及其求解

对一阶常微分方程中的齐次方程的推广形式——齐次型方程进行了研究,并将齐次方程的“变量变换”法求解过程推广应用到齐次型方程,从而证明了齐次型方程是可积方程,得到了一阶微分方程的几种新的可积类型,其中也包括部分黎卡提方程和贝努利方程。     

齐次方程及其求解

通过对一阶常微分方程中的齐次方程的推广形式——齐次型方程进行研究,并将齐次方程“变量变换”法求解过程推广应用到齐次型方程,从而证明了齐次型方程是可积方程,得到了一阶微分方程的几种新的可积类型,其中包括部分黎卡提方程和贝努利方程．     

简说常微分方程

随着微积分的创立，常微分方程问题也就出现了，实际上，牛顿（Newton，16421727，图见本刊2009年第6期）第二定律的数学模型就是一个二阶常微分方程式．到1740年左右，人们已经知道了几乎所有求解一阶方程式的初等解法．1728年，瑞士人欧拉（Euler，1707—1783，图1是1957年瑞士纪念欧拉诞生250周年发行的邮票）给出指数代换法，将二阶常微分方程化为一阶方程来求解．从而开始了对二阶常微分方程的系统研究．     

八四级《高等数学》教学要求

第十六章.常微分方程〔教学要求〕1.正确理解微分方程及其阶、解、通解、特解等概念,了解什么是初始条件,初值问题。2.熟练掌握一阶可分离变量方程的解法,掌握一阶线性微分方程的概念。3.熟练掌握一阶线性齐次、非齐次方程的解法。4.掌握二阶线性,常系数微分方程概念及二阶线性微分方程解的结构定理。5.熟练掌握二阶常系数线性齐次方程的通解解法——特征根法及带有特殊右端的二阶常系数线性非齐次方程的特解的解法——待定系数法。     

几类Euler型微分方程的求解

提出几类Euler(欧拉)型微分方程,借助变量替换法、线性化法、降阶法、交换变量位置法及复合函数求导法则,转化为可求解的Euler方程,论证它们的可积性,扩大微分方程的可积范围,给出求解的方法及通积分的表达式.     

交换变量位置解常微分方程举例

本文主要讨论某些一阶常微分方程的求解问题.当求解dy/dx的方程不方便时,可以考虑交换变量x,y的位置,变dy/dx的方程为dx/dy,x的线性方程,然后求得x=x(y)形式的解.能用这种方法求解的一阶方程通常可归结为以下四种形式:     

一类一阶线性泛函微分方程的一种解法

给出了一种求一阶泛函微分方程ｙ’（ｔ）＋ｐ（ｔ）ｙ（ｔ）＋ｇ（ｔ）ｙ（ｒ－ｔ）＝０的解法，同时给出该类方程中几种可积类方程及其初等解析解。     

析初等积分法各种解法在教学中的综合应用

初等积分法是常微分方程教学中重要的基础内容,掌握好此部分的知识对后继教学有重要的推动作用．本文试以一阶显式方程的积分法为例来说明在教学过程中类比各种解法之后把方程化为哪种类型,采用哪种解法最快捷有效．