一个有趣的平面几何题(Ⅰ)

当三角形为等腰时,其两底角之平分线为对边所截出之线段相等,这一点是初学平面几何的人都不难证明的。可是,其逆命题,即当三角形之二底角的平分线为对边所截出之线段相等时,此三角形为等腰,就没有那么容易证明了。这个命题是1840年由德国的C.L.Lehmus 教授向著名的几何学家J.Steiner 提出的。以后,一直引起世界上各国数学家,包括一些大数学家的注意,且对这个命题证明的探讨几乎持续了一个世纪。至今仍作为一个有趣的习题经常被提及,它的证明几乎包括了证明平面几何题的所有常用技巧。因此,本文将对这个命题及其各种形式的推广的具有代表性的证明详加陈     

平面几何证题术(3)

一般有关和量的証題,如a+b=c的类,这里a,b,c表同类的量,常利用“分解法”或“合并法’,即于c量中,取一部分等于a(或b),而証其剩余的部分等于b(或a),这是“分解法”,或把一量a(或b)扩大(线段是利用延長办法,角是取其隣角)增加一量b(或a)后成一新量a′(即造成a′=a+b),然后証明a′=c,这是“合并法”。     

平面几何证题术(2)

証明兩角相等常用下列諸定理:—— 2.1 利用全等形的对应角相等。 2.2 据等腰三角形的底角相等。 2.3 据对頂角相等。 2.4 据同角或等角的余角相等。 2.5 据同角或等角的补角相等。 2.6 据平行綫的性質,即內錯角相等,同位角相等。 2.7 据平行四边形的对角相等。     

一个平面几何题数据的探究

面积法在用于解平面几何问题时，有许多独到之处，然而稍不留意：还是会生出许多“是非”的，请看下例：     

一个有趣的数列题

题:在分数串1 1 2 1 1 2 3 2 11丁;万,一2一,百;万’了,了,了,了;了2 3 43万,万’百’护(1)中,①无是第儿个分数?②第‘。。个分数是几?我们进一步将问题,一般化: ;.求数夕}:}’‘勺i。,页公、心a。一f(n);2·乡)数爪(“川)是第几项?3.录前”项的和S‘4.你能构造出具有类似性质的数列吗?上述问题的解答刘提高学生分析解决问题的能力有积极意义. 解:1.观察数列中分母为。的项:洽,房,“一器”一洽、共有2。一‘项,因而分母不超过m一1的项共有1十3十5 … (2爪一3)=(。一1)2个.设。,是分母为协的分数,则(m一一)’<。(m,,(。一1)’(。一z<州,,.…     

谈一个平面几何题的多种证法

本文作为学生课外活动的题材,用以巩固学生基础知识和基本技能,发展学生思维,培养分析能力,期达消化知识活学活用的目的,是有其优点的,但应指导学生通过比较去选取基本的简捷的证法,课堂教学中则应集中精力于解决主要问题,防止搞繁琐哲学的偏向。     

一个有趣的几何光学题

<正>如图1所示,现有一个圆盘状发光体,半径为5cm,放置在一个焦距为10cm、半径R=10cm的凸透镜前,圆盘与凸透镜的距离为20cm,透镜后放置一半径大小可调的圆形光阑和一个接受圆盘像的光屏,图中所有光学元件相对于光轴对称放置,请在几何光学近轴范围内考虑下列问题,并忽略像差和衍射效应。(1)未放置圆形光阑时,给出圆盘像的位置、大小、形状。(2)若将圆形光阑放置于凸透镜后6cm     

初三平面几何质量检测题(结课)

一.、填伞题(每空3分,共30分)1.柱Rt。∑AB(i巾,tgA:丢,则cosB:一J_u___1__fn,_,r‘^}。‘,●_‘一● 2..个瑚肜的半径为30cm,圆心角为120。,用它做成·个圆锥的侧面,这个圆锥的底嘶半径为 一cnl. 3.;u【l斟I,梯形AB(|、f.)邙.越)?f l疑、。八t、、Ijl)交j:』)点,s,、,日,:s,,vⅪf:=I:6,则SNzI Il、』々^。=………--' 4j已‰:如图2,,1J;为④0的幽:杼,A(、为弦.(_)J)A D∥BC,交AC于D,A(::6cm.则胁::=…一 .‘ClII.’ 5.已知00的半径R,。弦AB垂直平分00的,一一条半径.则弦.AB所对的劣弦长为 .I剥2 6.如果两圆的圆心距等f互半径…     

巧用面积法解(证)平面几何题

有些平面几何 ,本身虽然与面积无关 .若从面积的角度来考虑 ,往往具有思路明快 ,过程简捷 ,现举例如下 .一、用面积证明线段相等例 1　如图 1,在△ A BC中 ,BE⊥ AC于 E,CF⊥AB于 F,且 BE =CF,求证 :AB =A C.证明 :在△ A BC中 ,由三角形面积公式 ,得S△ ABC=12 A B .CF =12 A C .BE∵ BE =CF,∴ AB =AC.图 1图 2二、用面积法证明线段不等例 2　如图 2 ,在△ A BC中 ,BC >A C,AD⊥ BC于D,BE⊥ AC于 E,求证 :BE >A D.证明 :∵ S△ ABC =12 BE .A C =12 AD .BC,∴ BEA O=BCA C,又∵ BC >AC,∴ BE >AD .…     

对教材中一个平面几何题的探讨

在数学解题教学中,若能把立足点放在教材上,有意识地引导学生去研究一些典型问题的实质,解法与规律,不但可以充分发挥教材的教育功能,减轻学生的作业负担,而且能够激发学生的学习兴趣,培养学生的创造性思维,下面以现行初级中学课本《几何》第二册第66页上复习参考题六的第9题为例,来说明这一问题。问题过△ABC的顶点C任作一直线与边AB及中线AD分别交于F及E。求证 AE:ED=2AF:FB。本题是证明线段的比例式问题。求证比例式,一般可从三个方面去解决:1)通过证明两三角形相似,得对应线段成比例;2)利用平行线截割定理证明比例式;3)利用角平分线定理证明比例式。根据本题的已知条件AD为BC边上的中线,即BD:DC=1,要证的结论AE:ED=2AF:FB《图形上考虑,既不存在相似三角形条件,也不存在角平     

一道有趣的平面几何小题

如图1,在四边形ABCD中,∠ABC=∠D=90°,AB=BC,BE⊥AD,垂足为点E,则结论1 BE=DE.证明:过点C作CG⊥BE于G,如图2,则有矩形CDEG,CG=DE.易证△BAE≌△CBG,所以BE=CG=DE.结论2(1)BE=AE+CD;(2)2BE=AD+CD.证明:(1)由矩形CDEG得GE=CD.由△BAE≌△CBG得AE=BG,所以BE=BG+GE=AE+CD.     

直角三角形的一个有趣性质--兼擂题(62)第1题的解答

<中学数学教学>2003年第4期擂题(62)第1题是: △ABC中,CD⊥AB于D,△ACD、△BCD、△ABC的内切圆分别切AC、BC、AB于E、F、G.证明或否定:∠EGF为直角的充要条件是∠ACB为直角.     

三角形垂心的一个有趣性质——兼擂题(121)的解答

<正>《中学数学教学》2019年第1期上的擂题(121)是赵忠华老师提供的一个有趣的几何问题:擂题(121)设H是△ABC的垂心,J为BC的中点,点M,N在边BC上,BM=CN,且B,M,N,C四点按此顺序排列.过H且垂直于HM的直线交AB于点E,过H且垂直于HN的直线交AC于点F,则JH⊥EF.下面我们用坐标法证明这个命题.     

一道赛题引出的一个有趣结论

<正>我们知道,过中心对称图形对称中心有无数条直线将其面积等分,如圆是一个中心对称图形,过圆心的每一条直线都将其面积等分.对于非中心对称图形,是否也存在过某个点也有无数条直线将其面积等分呢?本文以一道全国初中数学竞赛试题为例进行探究,并给出了肯定的回答.1 试题及参考解答题目 ("《数学周报》杯"2010全国初中数学竞赛^[1])如图1,在平面直角坐标系xOy中,多边形OABCDE的顶点坐标分别是O(0,0),A(0,6),B(4,6)     

略谈旋转法在平面几何证(解)题中的应用

平面几何的证(解)题过程．就是从已知条件入手,运用有关的公理、定理、定义及运算法则等,通过一定的数理逻辑关系,推导出欲证(解)问题的过程。     

平面几何易错题剖析

几何题容易出错的几种原因：对几何的概念理解不透,或理解错误;图形画的不准确或不完整;对开放型问题没有进行分类讨论,或分类出现遗漏、重复;在计算或证明过程中有跳步的问题;计算错误．下面通过几个例子进行剖析．     

平面几何(之30)

前面,我们比较详细地讲了勾股定理,勾股定理的逆定理及其应用.下面讲直角三角形的另外两个定理,它们的重要性虽然不及勾股定理,但是很有用.这两个定理中更有用的一个是