一道赛题简解

题目 如图设D、E分别在△ABc的边AC和4B上,BD与CE交于F,AE—EB,AD/DC     

一道赛题的两种简解

1995年全国高中数学竞赛填空题的第3题是: 题 用[x]表示不大于实数x的最大整数,方程lg~2x-[lgx]-2=0的实根的个数是____。 文[1]用解无理不等式组给出了较繁的解法,其实利用整数的性质及图象解法可得两种简解如下:     

一道前全苏赛题的简解

第24届前全苏数学奥林匹克有一道赛题: 现有1990堆石头,块数分别为1.2,…,1990。进行如下操作:每次可选择任意多堆,从其中每堆都拿走同样多石块,问要把所有     

赛题简解

类似“已知函数f（x）的最值求参数值”这类题都可以转化为恒成立问题,但切记等号可取．     

一道赛题的简解及其对偶式的值

20 0 2年全国高中数学联赛加试试题一是 :如图 1 ,在△ABC中 ,∠A= 6 0°,AB>AC,点O是外心 ,两条高BE,CF交于点 H,点 M,N分别在线段 BH ,H F上 .满足 BM=CN,求 MH + NHOH 的值 .现先给出本题的两个别解 ,另再给出它的两个对偶式的值 .解法 1　连接 OB,OC,OM,ON,由 O是△ ABC的外心 ,得∠ BOC=2∠ A=1 2 0°,H是△ ABC的垂心 ,得∠ BH C=1 80°-∠ A=1 2 0°.∴∠ BOC=∠BH C,则 B,C,H ,O四点共圆 ,∴∠ OBH=∠OCH,即∠OBM=∠ OCN.又 OB=OC,BM=CN,∴△ BOM≌△CON.∴ OM=ON,∠ BOM=∠CON.于是 ,有∠…     

一道集训题的简解

文 [1 ]简解了 2 0 0 1年中国数学奥林匹克国家集训队选拔考试第 6题 :记F =max1≤x≤ 3|x3-ax2 -bx -c| ,当a、b、c取遍所有实数时 ,求F的最小值 .下面给出另一个简解 :令f(x) =x3-ax2 -bx -c,在区间 [1 ,3]内对称地取 4个点x =1 ,32 ,52 ,3,易验证- 23f(1) +43f 32 - 43f 52 +23f(3) =1①成立 .因F≥| -f( 1 ) | ,F≥ f 32 ,F≥ -f 52 ,F≥|f( 3) | ,则4F =23F + 43F + 43F + 23F≥ - 23f( 1 ) + 43f 32 +- 43f 52 + 23f( 3)≥ - 23f( 1 ) + 43f 32 -43f 52 + 23f( 3)=1 .故F≥14 .等号成立当且仅当| -f( 1 ) | =f 32 =-f 52=|f( 3) …     

简解一道高考导数题

题（2011浙江理22）设函数f（x）=（x-a）^2Inx,a∈R.（1）若x=e为y=f（x）的极值点,求实数a．（2）求实数a的取值范围,使得对任意的x∈（0,3e],恒有f（x）≤4e^2成立．注：e为自然对数的底数     

简解一道高中联赛题

设函数f(x)=ax~2 8x 3(a<0),对于给定的负数a,有一个最大的正数l(a),使得整个区间[0,l(a)]上,不等式|f(x)|≤5都成立。     

一道IMO预选题的简解

题目　已知x≥y≥z>0 .求证 :x2 yz +y2 zx +z2 xy ≥x2 +y2 +z2 .这是第 3 1届IMO的一道预选题 ,原解答较繁 ,且技巧性强 ,这里给出一个相对简洁的证法 .证明 :由Cauchy不等式 ,有x2 yz +y2 zx +z2 xyx2 zy +y2 xz +z2 yx≥(x2 +y2 +z2 ) 2 .观察上式知 ,如有x2 yz +y2 zx +z2 xy ≥x2 zy +y2 xz +z2 yx ,则问题得证 .通分移项 ,有x3 y2 -x2 y3 +y3 z2 -y2 z3 +x2 z3 -x3 z2 ≥0 .①故只须证式①成立 .x3 y2 -x2 y3 +y3 z2 -y2 z3 +x2 z3 -x3 z2=x2 y2 (x-y) +y2 z2 (y-z) +x2 z2 (z-x)=x2 y2 (x -y) +y2 z2 (y -z) +x2 z2 ·(z-y +y -x)…     

一道祖杯赛题的简解

第九届初中《祖冲之杯）数学邀请赛第三题是: 解方程:(13x-x~2)/(x 1)(x (13-x)/(x 1))=42. 原参考解答是通过换元,构造辅助方程求解的,运算较繁.现给出一个简捷解法. 解 原方程即为(13x-x~2)/(x 1)×(x~2 13)/(x 1)=42.     

一道IMO预选题的简解

第二十九届国际数学奥林匹克竞赛有一道非常难的预选题: 命题 设a_i>0,β_i>0(1≤n,n>1),且sum from i=1 to n a_i=sum from i=1 to n β_i=π. 证明:sum from i=1 to n cosβ_i/sina_i≤sum from i=1 to n ctga_i　(1) （蒙古提供)     

一道祖杯赛题的简解

第八届初中《祖冲之杯》数学邀请赛有这样一道题: 如图,O是四边形ABCD对角线的交点,已知∠BAD ∠BCA=180°,AB=5,AC=4,AD=3,BO/OD=7/6,求BC.”     

一道全国联赛题的简解

分析：从∠NMB和∠MBC所处的特定位置，可以构造出以它们为底角的等腰三角形或等腰梯形来，可得以下解法。     

一道高考数列题的简解

2008年全国高考江西卷数学(文科)第19题: 等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前n项和为Sn;{bn}为等比数列,b1=1,且b2S2=64,b3S3=960.     

一道课本复习参考题的简解

普通高中课程标准实验教科书《数学5·必修·A版》(人民教育出版社2007年第3版)(下简称《必修5》)《第一章解三角形》复习参考题的最后一题是B组的第3题:题目研究一下,是否存在一个三角形同时具有下面两条性质:(1)三边是三个连续的自然数;(2)最大角是最小角的2倍.     

一道赛题的推广

题 如图,ABCD为正方形,∠EAF=45°。求证S_(△AEF)=2S_(△APQ)。(1990,四川赛题) 推广1 如图,ABCD为正方形。如设∠EAF=α,∠DAF=θ,则     

用向量法简解一道联赛题

2003年全国高中数学联赛第15题：一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA=α．折叠纸片，使圆周上某一点川刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当A’取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．     

一道赛题的推广

1978年安徽中学数学竞赛第二试的第3题是:过三角形的重心任作一直线,把三角形分成两部分,证明这两部分面积之差不大于整个三角形面积的1/9.本文先给出更有一般性的结论,然后再将其推广到四面体中.     

一道赛题的推广

引理 已知A0是平面α的斜线,A为斜足,OBα⊥,B为垂足,AC是平面α内的任一直线,∠0AB=θ,∠OAC=θ1,∠BAC=θ2,则cosθ1=cosθcosθ2． 根据角的放置形式,可形象地称引理为“斜（斜角）立（立角）平（平角）余弦定理”．