浅析用向量运算证明不等式

贵刊在2006年第23期P78刊登了“均值不等式求最值（或值域）问题错解例析”一文．读后。颇受启发．考虑到新教材中增加了向量内容．若对某些不等式的证明，根据题给条件和结论，可以将其转化为向量形式．利用向量有关知识，能使这类不等式的证明过程既直观又易为学生接受．为此．将向量有关知识和例题简述如下．期望同行不吝指教．     

关于证明几何不等式的不同方法

几何不等式的证明有各种不同的方法．某些问题用几何方法去解是方便的,另一些问题利用代数方法（利用代数不等式和三角函数）是方便的，有时应用向量不等式或利用导数能得到简单的解．证法的多样化甚至使能力强的学生也走头无路.如何着手解题，从何处开始，运用数学课程中的哪些基本知识呢？几何不等式的证明也和其它几何问题一样，应该从作图开始——将题目条件中所指出的元素画在图上，并试图看到它们之间的联系，但是并不总是能得到直接的几何证明．因此需要向学生介绍其它的证明方法．首先要教学生众所周知的公式和图形元素之间的各种关…     

转化——解（证）不等式的一把钥匙

不等式证明是中学数学中比较重要的内容，由于不等式证明的方法比较多，技巧性也比较强，一般学生很难掌握，是学习的一个难点．因此掌握一些转化的解题技巧可以帮助我们更好地学习不等式．下面通过举例来说明几种转化的技巧．     

不等式证明的另外几种方法

证明不等式是高中数学的一个难点，在掌握一些证明不等式的基本方法（比较法、综合法、分析法）的基础上，再让学生掌握其他一些方法，举一反三，进而增强证明不等式的能力。     

不等式证明技巧分析

中学阶段不等式的证明是教学的重点，也是教学的难点。不等式内容丰富，证法灵活多变，能很好地培养学生的思维能力和逻辑推理能力。本文就自己教学中的一点体会，谈谈不等式证明中较少见的一些技巧，供同行们指正。 一、向量法：向量引进中学数学后，不仅在宏观上有利于学生形成良好的认识结构，有利于思维能力的培养，而且在微观上有利于提高学生解决数学问题的能力。由于向量具有长度和方向特征，即可用几何直观形式表示，又可用代数关系描述，所以有些不等式问题，往往可用向量的适当形式表示，转化加以解决。 例如：求证（ａｘ＋ｂｙ）…     

运用多种方法巧证不等式

证明不等式是高中数学的一个难点,要让学生真正掌握领会,是一件比较难的事,这就需要教学工作者不断开拓创新,使学生在掌握一些基本的证明不等式方法（比较法、综合法、分析法）的基础上,再让学生掌握其他多种方法,举一反三,进而实现巧证不等式,达到事半功倍的效果．     

利用函数性质证明不等式

不等式是数学中不可缺少的工具之一．有许多不等式在数学研究中有着重要的作用．在中学数学中证明不等式的方法有许多种．但用初等数学知识证明不等式比较困难本文将不等式问题转化为函数问题．利用函数性质．如单调性．微积分中值定理．函数的极值和最值性来研究、解决不等式问题．利用函数性质来研究．解决不等式问题,使学生掌握不等式证明的函数思想方法,从而提高学生的分析问题与解决问题的能力．     

聚焦2005年高考数学平面向量的"交汇"

向量是新课程的新增内容，具有代数与几何形式的双重身份，有着极其中富的实际背景．用向量证明几何中有关平行、共线和垂直的命题，用向量计算角度和距离，用向量表示点的轨迹，以及用向量处理三角恒等变形、证明不等式、求解函数的最值，较之传统方法都更为简捷．     

一个不等式的多种证法

不等式的证明是不等式一章的重点和难点．不等式的类型极多，不可能建立统一的证明不等式方法．但是。教师在教学中如能对同一个例题或定理，举一反三，采取多种方法证明，则可起到开阔学生视野。提高解题能力的作用．本拟以新教材第二册第六章的一个定理为例来说明上述想法．     

“向量法”解不等式探析

不等式是数学中不可缺少的工具之一,有许多不等式在数学研究中有着极其重要的作用．不等式的证明方法也是多种多样的,如比较法、综合法、分析法、反证法等等．本文在以上方法的基础上,介绍一种新的证明不等式的方法,即“向量法”．     

以向量为载体的解析几何问题

以向量为载体的解几问题，是近几年各省市新课程高考中出现的一种新题型．这种问题往往融向量、解几、方程、不等式等知识于一体，能有效考查学生的思维水平和综合能力．利用平面向量的坐标表示法，能迅速将这种问题中的向量关系转化为代数关系．运用这种思想方法，常常能迅速寻得解这类问题的正确思路．下面以近几年高考题为例，予以说明．     

例谈构造数列证明不等式

构造法证明不等式,是一个热门课题．常可构造方程,函数,数列,几何图形或向量及曲线等,并利用这些方面的性质证明不等式,它可以培养学生思维的独创性和灵活性,对培养创造性人才具有重要意义．现就构造数列证明不等式略举几例．     

不等式证明的种种策略

教材中只给出几种证明方法如比较法、分析法、综合法来证明不等式,而实际上证明不等式的方法是很多的,所使用的方法可以涉及函数、数列、导数、三角函数、向量等许多方面的知识点,同时掌握好证明不等式的方法对于加深理解这些知识点又起着深化的作用.下面我们抛开比较法、分析法、综合法,来阐述证明不等式的其他方法.     

基于问题链的柯西不等式教学实践和反思

1 教材分析 柯西不等式是学生继基本不等式后学习的又一个经典不等式,本节课以不等式的二维形式的推导、证明以及简单应用为主要内容,不仅要关注学生对不等式结构的掌握,更要关注学生在探索研究过程中认识事物的方法. 2 教学目标 知识目标:引导学生发现并证明柯西不等式,掌握其两种形式的结构和意义,能初步应用不等式的二维形式解决简单的问题.     

再谈一个不等式的简单初等证明及比较分析

从一个不等式的简单初等证明出发,并对几种不同的初等证明方法加以比较分析,通过若干实例及一些类似不等式,指出这些相似不等式的证明方法上的相似性,便于高中学生特别是参加竞赛的学生学习与掌握．     

用向量证明代数不等式的新探索

任何知识体系都不是孤立的,它们相互联系相互渗透,而不同体系的“知识交汇”更能有效地培养学生的综合思维能力.向量是中学阶段的重要内容,目前大家主要重视向量与三角函数、平面几何、解析几何的“交汇”,对用向量证明代数不等式重视不够,缺少系统的研究.一般认为用向量证明不等式就是用向量模的性质:a-b≤a±b≤a+b;a1+a2+…+an≤a1+a2+…+an来思考问题,事实并非如此.本文对用向量证明代数不等式的其它方法,进行一些肤浅的探索.1利用向量的几何特征构建不等关系利用向量加法、减法所构成平行四边形的几何特征来思考问题,可使证明过程更直…     

用凸函数证明一类三角不等式

在中学数学课本中，凸函数这一概念虽未曾出现，但观察历年中学奥林匹克数学竞赛及近几年全国各地高考试题，涉及凸函数知识的题目已频繁出现．事实上，让中学生掌握一些凸函数的简单应用，能起到承上启下，启迪学生思维，增强学生数形结合能力的作用．特别是一些三角不等式，往往看起来很复杂，甚至无从下手，但如果利用凸函数的性质给予证明，则会起到简捷明了、事半功倍的效果．本文通过例题分析，说明凸函数在不等式证明中的巧妙作用．     

高中数学中不等式的向量证明

用向量方法给出了高中数学中有关不等式的证明．不但解释了数学知识间的纵横联系，拓宽了研究和解决问题的思堆空间，而且也为培养学生探索精神，创新意识提供了一个可考虑的途径．     

统一形式凸显本质——对一个重要不等式的思考

柯西不等式结构整齐，是证明不等式和求函数最值的有力工具；柯西不等式形式多变，其代数、几何、向量、概率等各种表现形式体现了数学各分支间的紧密联系和内在沟通．高中新教材新增了向量、概率等高等数学内容，这使得柯西不等式焕发了新的生机和与活力，利用其向量和概率形式解题的研究论文如雨后春笋般涌现．本文试归纳总结这些表现形式，并由此思考在解题教学中如何有效利用柯西不等式这个解题工具和教学素材．     

例谈放缩法证明数列型不等式的策略

有关数列型不等式的证明既是高考的重点,也是难点．其思维跨度大、构造性强,能较好地考查学生思维的严谨性．放缩法是证明数列型不等式的常用方法,它能迅速化繁为简,达到事半功倍的效果．下面通过例题的形式,介绍此类不等式证明的几种策略．