浅谈数学思想在不等式中的应用

一、转化与化归思想在解题中的应用不等与相等是相对的,在一定条件下可以互相转化,解题过程就是一个由已知条件向待定结论等价转化的过程.无论哪种类型的不等式,其求解思路都是通过等价转化,把它们最终转化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)求解.例1解不等式(x~2-9x+11)/(x~2-2x+1)≥7分析:因为分母x~2-2x+1=(x-1)~2≥0,且分母不能为零,所以当x≠1时即可去分母转化为整式不等式.     

“平方法”的妙用(高一、高二、高三)

有一类数学问题,通过两边平方可以将问题解决,我们不妨将这种解题方法称之为“平方法”,下面给出平方法的几种解题模式.1.解不等式例1解不等式|x 2|>|x-1|.解原不等式等价于(x 2)2>(x-1)2,解得x>-1/2,     

解含参数不等式的几个策略

含参数不等式是高考考查的重点内容之一,但由于其对学生的综合能力要求较高,导致许多学生在解题思维活动中都存在障碍.下面介绍解参数不等式的几种策略.1 分清不等式中的主次,找出使其成立的充要条件,对不等式进行合理转化 例1 已知实数a>0,a＃1,解关于x的不等式|loga(x 1)|<|loga(x 1)2 1|. 分析:这是一道既含有绝对值又含有指、对数的不等式.首先,应该是绝对值不等式,其次才是指、对数不等式.因此可以先采用解绝对值不等式的方法,先求出loga(x 1)然后再对a进行分类讨论求解x.     

高中数学不等式的易错题型及解题方法探讨

<正>一、解绝对值相关易错题及解题方法无论何种类型的绝对值不等式,解题的核心在于将其转化为不含有绝对值的不等式来进行求解。例1解不等式|x+1|+|3-x|>2+x。分析:将原不等式变形为|x+1|+|x-3|>2+x,若|x+1|=0,x=-1;若     

不等式 F(x)·(Φ(x))~(1/2)≥0的解法探讨

1 引例解不等式(x-4)(x~2-3x-4)~(1/2)≥0.在一次练习中,几乎所有同学均采用如下解法:原不等式等价于不等式组(?)解之得 x≥4,故原不等式解集为{x|x≥4}.显然,当 x=-1时,原不等式也能成立,因此,以上解答错了.2 探讨一     

正确答案掩盖下的--忽视充要条件导致解题失误

数学解题过程实际上是一个不断转化的过程,在转化的过程中,一般都要求作等价转化,这样才能使所求得的解不至于扩大或缩小.所谓等价转化,就是寻求原问题的充要条件.但笔者在教学中发现:不少学生在解题过程中,由于有时寻求原问题的充要条件比较困难,或所寻求的充要条件很繁,不便于求解.于是他们便退而求其次,利用原问题的一个较弱的必要条件或者充分条件,即利用非等价转化来进行解题.但是最后须进行等价性检验.可遗憾的是:有些学生在解题过程中经常忽视对所得结果加以检验或证明,特别是当解题答案正确时,被其所蒙蔽,从而丧失了纠错的机会,这种情况更加严重,对此,笔者以学生的错解为例,谈一些感受和认识.     

解题的心向——化归

正化归思想是中学数学最基本的思想方法,是解题思想的灵魂,是解题的"心向".如何恰当地化归,乃是探索解题途径的中心环节.怎样恰当地化归问题呢?下面本文具体举例阐述.1.转换表达,化未知为已知将未知的问题向其等价的表达形式上转化,这是解题的基本方向.例1已知函数f(x)=x+1x+a2,g(x)=x3-a3+2a+1,若存在x1、x2∈[1a,a](a1)使得|f(x1)-g(x2)|≤     

避免分类讨论的几种策略

<正>分类讨论是一种重要的数学思想方法,但求解过程通常比较繁琐.那么如何适当避免或简化分类讨论呢?下面举例说明,与大家分享.一、等价转化有些问题运用公式、性质合理运算,可等价转化为不需要分类讨论的问题.例1解关于x的不等式|x+1|>|x-2|.分析解含绝对值的问题,通常是去掉绝对值符号,为此需分x≤-1或-1 相似文献   

逆用等比数列求和公式解题

本文以实例说明,逆用等比数列求和公式及逆用无穷递缩等比数列各项和公式在解题中的几个应用,供读者参考。 1 用于证明不等式 例1 设任意实数x、y满足|x|<1,|y|<1。求证: 1(1-x~2) 1/(1-y~2)≥2/(1-xy)。     

“零”的惩罚

<正>"零"在数学中居有特殊的地位.但不少同学在解题中常忽视"零"的存在,因而受到"零"的惩罚,造成失误.这类错误归纳起来大致有如下几个方面.一、忽视零不能作为分母而造成解题错误例1当x为何值时,分式1-2|x|2x2-3x-2的值为零?错解1-2|x|=0,x=±12时,原分式     

一道竞赛题的多种解法探讨

<正> 2002年北京市中学生数学竞赛初赛有如下一道试题: 若关于x的不等式|x-1|>1/2x2-a仅有负数解,试确定实数a的取值范围. 这里给出如下几种解法. 解法1 直接求根. 由于不等式仅有负数解,故存在x<0,使得不等式|x-1|>     

浅析不等式的多样化解题方法

正一、不等式的解题思路不等式的解题思路,从本质上来看,体现的是等价转化的思路,可以使用解方程式的思路,将同解不等式逐渐转换成为简化的不等式,因而保持同解变形就成为解不等式应遵循的主要原则.在解不等式的过程中不但要能够熟练准确地解一元一次不等式和一元二次不等式,而且要保证每步转化都要是等价变形.在解不等式时,常常出现不等式组的形式,因此要求不等式组的解集,就是求各不等式解集的交集.在解不等式组时,首先应求出组内各个不等式的解集,然后利用数轴的性质取其交集.     

2008年高考题(全国卷):别解与感悟

一、选择题1.(卷Ⅰ,理1)函数y=x(x-1)~(1/2)+x~(1/2)的定义域为().A.{x|x≥0} B.{x|x≥1}C.{x|x≥1}U{0} D.{x|0≤x≤1}解答途径:∵x=0符合题意要求,排除B;∵x=1/2不符合题意要求,排除 A、D,故选 C.解题感悟:本题主要通过求函数定义域的形式,考查简单不等式的解法以及集合的交集、并集运算.解答途径抓住四个选择支的结构特征,取了两个特殊值否定了三个选择支,从而确定了正确的选择支,这     

不可忽视的非等价转化解题

<正>等价转化思想是一种重要的数学思想.在解题中的作用往往体现在化复杂为简单、化陌生为熟悉,并且通过等价转化得到的结果是不需要检验的.但在数学解题中,有很多情形不易、不宜、甚至是不可能进行等价转化(比如,解超越方程、解超越不等式、由递推式数列通项公式等等),这时只有"退而求其次",可以考虑用非等价转化的方法来解题.常见的方法有     

不等价转化导致解题错误的原因探究

正数学题的求解过程,是一个等价转化与化归的过程.实质上,大多数时候,也是一个寻找充要条件的过程.在转化过程中如果忽略了等价性,往往容易导致解题出现错误,笔者总结如下:(一)误把必要条件当充要条件导致的解题错误例1解下列关于x的方程.(1)lg(10x)+1=3lgx     

不等式F(x)·(√φ(x))≥0的解法探讨

一、引例 解不等式:(x-4)√x2-3x-4≥0 在一次练习中,几乎所有的学生都采用了如下解法: 原不等式等价于不等式组 {x-4≥0 {x≥4 x2-3x-4≥0 即 x≥4或x≤-1 故原不等式解集为|x|x≥4}     

解不等式问题错解分类辨析

不等式是中学数学的重要内容之一．在解不等式的过程中，常因审题不严、考虑不周、方法不当、转化不等价等原因而错解题目，下面就解题中经常出现的错误，分析错误的原因，给出解题的正确方法，从而达到举一反三，触类旁通的作用．     

优化等价关系 简化解题过程

在解含有参数的对数方程或对数不等式时,需要考虑对数函数的增减性及对真数的要求：解无理不等式时,在去掉根号（把握两边能平方的条件）的同时,还要考虑使根式本身有意义的字母的取值范同,一般化为不等式组求解,这些问题的求解过程有一个共同的特点就是等价转化,在等价转化过程中应该注意等价条件的最优化,也就是排除多余条件。这样可简化解题过程,提高效率,下面分析几例不等式问题。     

一道课本习题的解题功能挖掘

人教版高中《代数》下册 P.194第6题是:设 z_1、z_2是不等于零的复数,用几何法证明:||z_1|-|z_2||≤|z_1±z_2|≤|z_1| |z_2|(为行文方便以下简称习题)此不等式结构优雅、美观,内涵丰富、深刻,如能挖掘其潜在的解题功能价值,可优化某些数学问题的解题思路,拓宽学生知识应用及解题方法的思维空间,并能激发学生钻研数学的     

例谈a≤f（x）≤b→（f（x）-a）（f（x）-b）≤0的应用

众所周知在二次不等式解的法则中有（x-a）（x-b）≤0→a≤x≤b，（a〈6），那么以f（x）代换x，必有（f（x）-a）（f（x）-b）≤0→a≤f（x）≤b，虽然利用a≤f（x）≤b→（f（x）-an）（f（x）-b）≤0，可以将双链不等式转化为单向不等式，解题中我们若能注意利用这种转化关系，不少有关双链不等式的问题将会出奇制胜的得到解决，从而可以避免解不等式组或分向证明等复杂的运算过程，令人拍案叫绝．下面以例示明其奇效．