第39届IMO试题解答(下)

16.求最小的整数n(n≥4),满足从任意n个不同的整数中能选出四个不同的数a、b、c、d,使a b-c-d可以被20整除。 解:我们先考虑模20的不同剩余类,对有k个元素的集合,共有(1/2)k(k-1)个整数对,如果(1/2)k(k-1)>20,即k≥7,则存在两对(a,b)和(c,d),使aa b=c d(mod20),且a、b、c、d互不相同. 一般地,我们考虑一个由9个不同元素构成的集合,假设在这个集合中有7个或更多的元素属于模20的不同剩余类,则由前面的推导可知,能找出四个不同的数a、b、c、d,使a b-c-d被20整除,假设在这个集合中至多有属于模20的六个不同的剩余类,则一定存在4个数,对模20是同余的,或有两对数分别对模20是同余的,对这两种情况,我们仍能找出a、b、c、d,使a b-c-d被20整除.     

第38届IMO预选题解答(下)

15,一个正整数无穷等差数列,含一项是整数的平方,另一项是整数的立方。证明:此数列含一项是整数的六次幂. 证明:设数列{a、ih:i=0,1,2,…}含x~2、y~3项,x、y是整数.对公差h用数学归纳法,h=1,显     

第38届IMO预选题解答(上)

1.本届IMO第1题. 2.设R_1,R_2,…是由下列规则定义的正整数有限序列旅: R_1=(1); 如果R_(n-1)=(x_1,…,x_s),则 R_n=(1,2,…,x_1,1,2,…,x_2,…,1,2,…,x_s,n). 例如:R_2=(1,2),R_3=(1,1,2,3),R_4=(1,1,1,2,1,2,3,4).     

第38届IMO预选题解答(中)

8.在圆Г上取四个不同的点A、B、C、D,使∠BCD不为直角.证明: (a)AB、AC的垂直平分线分别与直线AD交于点W和V,且直线CV和BW交于一点T; (b)线段AD、BT和CT中某一条线段的长度是另两条线段长度之和. 证明:(a)记AB、AC的垂直平分线分别为b、     

第45届IMO试题解答

试题(2004.7.12～13于希腊·雅典)第一天1.锐角三角形ABC中ABAC,以BC边为直径的圆分别交AB,AC于,.MNO为BC的中点,两个角,BACMON的平分线交于R.证明:两个三角形,BMRCNR的外接圆有一公共点在BC边上.2.求所有的实系数多项式()fx,使得对于满足0abbcca =的一切实数,,abc都成立()()(     

第40届IMO试题解答

1.确定平面上所有至少包含三个点的有限点集S,它们满足下述条件: 对于S中任意两个互不相同的点A和B,线段AB的垂直平分线是S的一个对称轴. 解:设G为S的重心.对S中任意两点A、B,记r_(AB)为S关于线段AB的垂直平分线的对称映射.因为r_(AB)(S)=S,所以r_(AB)(G)=G,这说明S中每个点到G的距离都相     

第33届IMO试题解答

1。由题设有a》2,a一1‘1~1—=工一—二声~下一, a aZ天b)3,‘)4,故若b)5,则(a一])(乙一1)(e一1、~1_—,产二,一. a be一3’b一1~Zc一1~3币厂护了,一百~夕万’所以abe毛4(a一1)(b一1)(e一1),,abc一1,,西=二一-二下二尸犷一一一百二;-~-~.万二<、仔。 L口一工)气o一工)又C一工)仍与③式矛盾.故只能b士3,4. 若西=3,由③得6(e一1)=6e一1,此方程无解;若b=4,由③得 9(e一1)=sc一1,解得e=8,综_L讨论,解为由题设知S〔N,从而S“1,2,几 (1)若S=1,即 (a一1)(b一1)(e一1)=a石e一1,亦即a十b+c=a乙+加十ca.①但由a相似文献   

第45届IMO试题解答

1 .已知△ABC为锐角三角形 ,AB≠AC ,以BC为直径的圆分别交边AB、AC于点M、N ,记BC的中点为O ,∠BAC的平分线和∠MON的平分线交于点R .求证 :△BMR的外接圆和△CNR的外接圆有一个交点在边BC上 .图 1证明 :(根据彭闽昱的解答改写 )如图 1,首先 ,证明A、M、R、N四点共圆 .因为△ABC为锐角三角形 ,故点M、N分别在线段AB、AC内 .在射线AR上取一点R1,使A、M、R1、N四点共圆 .因为AR1平分∠BAC ,故R1M =R1N .由OM =ON ,R1M =R1N知点R1在∠MON的平分线上 .而AB≠AC ,则∠MON的平分线与∠BAC的平分线不重合、不平…     

第43届IMO试题解答

1 .设n为任意给定的正整数 ,T为平面上所有满足x +y 相似文献   

第31届IMO试题解答

1.解法一如图所示,作D至且,B,M的连线段.显然有 乙CEF=乙DE‘“乙EMD,匕E CF二乙MAD。 于是, △C刀F。△AMD.诊;宣二卫兰二=1一卜￡止J生创圣.5二、DM“吕户F沉、9 FE。51。:。、:刀刃五fD叮丑CEMD oM召尸E·C止=1 F石乃刀召五D石二1 BE·五f五A石BE·刀石_AM AES八八E二S么。Ec=1一S△G见A尽△“互‘:S△D:工:S△。:nE从而,C刃·MD二刀汀·刀厂.另一方面,又有乙石CG“乙M刀D,于二,谁普贪乞.MD·MEG刀·C刀是,匕CG五‘匕C五F一匕五CG =乙E河D一兰叮BD二乙BD汀故△CGE。△B DM.从而,G刀.MB=CE·叮D.于…     

第49届IMO试题解答

1．已知H是锐角△ABC的垂心,以边BC的中点为圆心、过点H的圆与直线BC交于A1、A2两点;以边CA的中点为圆心、过点H的圆与直线CA交于B1、B2两点;以边AB的中点为圆心、过点H的圆与直线船交于C1、C2两点．证明：A1、A2、B1、B2、C1、C2六点共圆．     

第41届IMO试题解答

1.圆Γ_1和圆Γ_2相交于点M和N。设l是圆Γ_1和圆Γ_2的两条公切线中距离M较近的那条公切线。l与圆Γ_1相切于点A,与圆Γ_2相切于点B。设经过点M且与l平行的直线与圆Γ_1还相交于点C,与圆Γ_2还相交于点D。直线CA和DB相交于点E,直线AN和CD相交于点P,直线BN和CD相交于点Q。证明:EP=EQ。 证明:令K为MN和AB的交点。根据圆幂定     

第62届IMO试题解答

1.设整数n≥100.伊凡先把n,n+1,…,2n的每个数写在不同的卡片上,再将这n+1张卡片打乱顺序并分成两堆.证明:至少有一堆中包含两张卡片,使得这两张卡片上的数之和为完全平方数.     

第42届IMO试题解答

1.设锐角△ABC的外心为O,从A作BC的高,垂足为P,且∠BCA≥∠ABC 30°。证明: ∠CAB ∠COP<90°。 证明:令α=∠CAB,β=∠ABC,γ=∠BCA,δ=∠COP。 设K、Q为点A、P关于BC的垂直平分线的对称点,R为△ABC的外接圆半径。则     

第53届IMO试题解答

1．设J为△ABC顶点A所对旁切圆的圆心．该旁切圆与边BC切于点M,与直线AB、AC分别切于点K、L,直线删与甜交于点F,直线KM与甜交于点G．设5是直线AF与BC的交点,     

第46届IMO试题解答

1.在正△ABC的三边上依下列方式选取6个点:在边BC上选取点A1、A2,在边CA上选取点B1、B2,在边AB上选取点C1、C2,使得凸六边形A1A2B1B2C1C2的边长都相等.证明:直线A1B2、B1C2、C1A2共点.(罗马尼亚提供)2.设a1,a2,…是一个整数数列,其中既有无穷多项是正整数,又有无穷多项是负整数     

第35届IMO试题解答

1.(法国)设m和n是正整数,a_1,a_2,…,a_m是集合{1,2,…,n}中的不同元素,每当a_i a_j≤n,1≤i≤j≤m,就有某个k,1≤k≤m,使得a_i a_j=a_k。求证:(a_1 a_2 … a_m)/m≥(n 1)/2。 证明 不妨设a_1>a_2>…>a_m,关键在于证明,对任意i,当1≤i≤m时,有     

第50届IMO试题解答

1．设n是一个正整数,a1,a2,…,ak（k≥2）是集合{1,2,…,n}中互不相同的整数,使得对于i=1,2,…,k-1,都有n｜ai（ai＋1-1）．证明：n ak（a1-1）．     

第52届IMO试题解答

1.对任意由四个不同正整数组成的集合A={a_1,a_2,a_3,a_4},记S_A=a_1+a_2+a_3+a_4.设n_A是满足a_i+a_j(1≤i