含参数的不等式问题求解策略

不等式作为高中数学的主干内容之一,在历年高考中成为热点,而不等式解法中含参数不等式问题的考查尤为突出,它充分体现了“等价转化”、“分类讨论”、“函数与方程”等数学思想. 含参数不等式作为高中数学重要的知识交汇点,成为高考试题中常考常新的重要知识点,现由几个例子探究问题求解的基本思路. 例1 设a≠b, 解关于x的不等式a2x b2(1-x)≥[ax b(1-x)]2. [分析] 这是一道关于x的一元二次不等式,含参数较多,先将它转化为一元二次不等式的一般形式即可. 解:(a2-b2)x b2≥[(a-b)x b]2 整理得(a-b)2x2-(a-b)…     

2004年全国高考数学压轴题分类导析（二）——以“函数、不等式”为主体

导读 "函数"和"不等式"是高中数学中起联结和支撑作用的主干知识,是贯穿于高中数学的一条主线,其知识点多、覆盖面广、思想丰富、综合性强,极易与其它知识(方程、数列等)建立相关联系、相互渗透和交叉. 正因如此,历年高考以"函数、不等式"为主体内容的压轴题频频出现,且常考常新. 特别是新高考增加了"导数"和"向量"等内容之后,给函数和不等式问题注入了新的生机和活力,开辟了许多新的解题途径,同时也拓宽了高考对函数和不等式问题的命题空间.     

导数在研究函数问题中的应用——浅析2012年福建省高考函数试题

函数是高中数学的重要内容和主千知识,而导数知识在研究函数图象、函数零点、不等式证明以及不等式恒成立等诸多问题中亦有着广泛的应用.本文以2012年福建省高考中的函数试题举例阐述. 一、函数的凹凸性与拐点的有关性质 应用导数知识除了研究函数的图象与性质,还常用二阶导数研究函数的凹凸性与拐点. 性质1:已知函数f(x)在其定义域上二阶可导,若f"(x)＞0恒成立,则函数f(x)为凹函数;若f″(x)＜0恒成立,则函数f(x)为凸函数(允许在一些孤立点处f″(x)=0).     

攻无不克 战无不胜——函数思想在解题中的应用

函数是描述客观世界中量与量之间动态关系的数学概念,也是高考最重要的基础知识与解题工具.而函数思想则是运用联系与变化的观点提出数学对象、抽象数量特征、建立函数关系,从而求得问题的解决.在高中阶段所学的数列、三角、不等式、排列组合等模块,都是以函数为中心的代数范畴.高考中对函数知识的考查,往往与数列、三角函数、不等式甚至立体几何等知识结合起来.函数思想贯穿于整个高中数学,是高考的一大热点.兹以几例说明函数思想的广泛应用.一、在函数问题中的应用【例1】(1990年全国高考)设f(x)=lg1 2x … (nn-1)x a.nx,其中a是实数,n是…     

二次函数在导数应用问题中的作用

函数是高中数学的主线,每年高考对函数问题的考察总占有相当大的比例。尤其是导数进入了高中数学教材之后,给问题的研究注入了生机与活力,为我们解决学过的有关函数问题提供了一般性的方法,开辟了与其它数学知识结合的新途径和新题型,符合在知识交汇处命题的高考要求。而二次函数是高中数学的传统经典内容,一元二次方程、一元二次不等式均为其有机整体,统称“三个二”问题,涉及内容广而深,为高考命题的“永恒话题”。     

在高三复习课中如何讲解恒成立问题

<正>恒成立问题是高考近几年考查的热点问题之一.其主要考查方式是与函数、方程、不等式、三角、数列等高中数学中的主干内容相结合,运用的往往是函数的单调性、基本不等式、导数等工具,最后一般归结为求函数最值问题、值域问题.一、恒成立问题的几种常见处理策略策略1构造函数,直接求函数最值例1不等式x~2-ax+1≥0在x∈R上恒成立,求a的范围分析可以看作二次函数f(x)=x~2-ax+1的最小值大于等于0.由于二次函数开口向上,在对称轴处取     

与函数有关的创新问题例谈

随着高考新的《考试大纲》的修订 ,高中数学新课程标准及新教材的试用 ,高中数学的要求较原来有所提高 ,特别是由于 2 0 0 3年的高考试题难度的加大 ,使广大的师生普遍感到高中数学越来越难 .不仅如此 ,近年来还与高等数学等知识相联系 ,在此基础上 ,一些创新问题应运而生 .本文归纳与函数有关的若干创新问题 ,以供参考 .1　与利普希茨函数相关的问题例 1　对于函数y=f(x) ,如果存在一个正的常数a ,使得定义域D内的任意两个不等的值x1 ,x2 都有 ｜f(x1 ) -f(x2 ) ｜≤a｜x1 -x2 ｜成立 ,则称函数y=f(x)为D上的利普希茨Ⅰ类函数 .已知函数f(…     

高中数学"双f"解不等式

单调性是高中数学的核心知识,它贯穿整个高中数学的始终,是历年高考的热点和重点内容.核心解题定理:函数f(x)在定义域 R 上单调递增,若f(x1)>f(x2),则x1>x2.以上简称双f,本文对高考常见题型进行归类.     

二元函数最值问题求解方法浅析

<正>形如z=f(x,y)的函数称为二元函数,其最值问题是高中数学的一大难点,近年来高考试题中屡有考察.求解二元函数的最值,涉及到函数、不等式、线性规划、解析几何、向量等高中数学重点知识,更体现了函数思想、化归转化思想、数形结合思想和分类讨论思想等若干核心数学思想的应用.所以二元函数问题最值的求解,是函数部分的重点.     

2005年全国各地高考题归类精析函数

鉴于《函数》在高中数学和高考中的绝对“老大”地位,限于篇幅,函数问题涉及14个考点:定义域、解析式、值域(含客观题中极值与最值)、图象、奇偶性、单调性和周期性、指数式、对数式的运算和指数、对数函数的性质、反函数、函数的极限与连续性、函数的导数(含主观题中的极值与最值)、函数与数列、不等式、向量的综合、函数创新题以及函数的应用.考点一以函数的定义域为考点,考查函数的概念、单调性和解不等式等知识,以及考查运算能力.出题概率40%,难度指数0.70.考题1(北京文科)函数f(x)=x+1+12-x的定义域为.考题2(湖北文科)函数f(x)=x-2x-3l…     

例谈导数的应用

导数进入高中数学教材后,为高中数学注入了新的活力,为解决函数、解析几何、不等式、向量等问题带来了新思路、新方法.这几年的高考命题趋势表明:导数已经由以往的“配角”地位上升到“主角”,成为分析问题和解决问题的重要工具.将导数与传统内容结合,不仅能加强能力的考查力度,而且也使试题具有更广泛的实践意义.下面举例探讨导数的应用.例1已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),下面4个图象中,y=f(x)的图象大致是().(A)(B)(C)(D)分析从y=xf'(x)的图象中看出:在原点左靠近原点有一个y=f(x)的递减区间,故(A)(D)…     

函数高考命题的新走向

函数每年的高考都占很大比例,且是常考常新.特别是“导数”和“向量”,加盟后拓宽了高考对函数问题的命题空间.本文试对高考函数命题的新趋势作一浅析.一、三次函数闪亮登场新增导数内容后高考中出现大量考查三次函数的切线方程、最值、极值、单调性、图象等内容,导数为这类问题的解决提供了新的方法.这类问题虽然难度不大,但具有内容新、背景新、方法新等特点,预计在今后的高考中还会进一步加大考查的力度.【例1】(2005年北京卷)已知函数f(x)=-x3 3x2 9x a.(Ⅰ)求f(x)的单调递减区间;(Ⅱ)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上…     

任意性和存在性问题的解法剖析

<正>求解函数的任意性、存在性问题,亦即恒成立和能成立问题,需要灵活运用函数、导数、不等式等高中数学的主干知识来解决,历来是高考的热点和难点,很多学生对此类问题望而却步.本文对其常见类型予以归纳总结,以期对高考数学复习有所帮助.这类问题都需要构造函数,并求解函数的值域.其基本原理如下：设函数y=f(x)(x∈D)的值域是[A,B],则1.对?x∈D, f(x)≥t恒成立?t≤f(x)min=A.     

函数最值问题例析

函数作为高中数学的主干知识,在历年高考中始终是“重点内容重点考查”.而函数最值问题作为函数知识考查的热点,在近年高考试题中屡见不鲜.现就实例进行剖析,展现函数最值问题求解的几种常用方法.例1求函数y=sinx cosx sinx·cosx在x∈[0,π2]上的最大值、最小值,并求出相应的x取值.分析在函数解析式中同时出现了正弦、余弦两个基本函数,分别以和、积形式出现.如何将两个不同变化规律函数统一呢?正弦、余弦函数和与积之间的特殊关系为我们提供了思路,即2sinx·cosx=(sinx cosx)2-1,采用换元法.令t=sinx cosx,则t=姨2sin(x π4),又x∈[0,π2]…     

函数、不等式

“函数”作为高中数学中的核心知识,其思想方法贯穿于高中数学课程的始终,是高考考点中的重中之重．同时,不等式问题中蕴含着丰富的函数思想,与函数单调性、函数的极值和最值密切相关．从而使得“函数”与“不等式”既是知识的交汇点,也是知识的生长点．“函数”和“不等式”是一个有机的统一体,其中函数是核心．     

函数不等式问题解法探析

所谓函数不等式,就是形如f(g(x))>(h(x))的不等式。这类问题具体表现为已知函数解析式和没有给出函数解析式(即抽象函数)两类。解这类不等式,除需要解证不等式的基础知识和基本方法外,常涉及函数的定义域、单调性、奇偶性及对称性等知识,可有效地考查学生的运算能力、逻辑思维能力及分析和解决问题的能力,而且突出高中数学主干知识,因而备受高考命题者的青睐。     

一道含参不等式恒成立题目的解法探究

不等式恒成立问题可以综合地考查函数、导数、不等式等高中数学主干知识,历来是高考的热点问题,这类问题是高考复习的重要内容之一.本文对一道含参不等式恒成立题目的解法进行探究.     

函数任意性与存在性问题探析

<正>函数中的任意性与存在性问题,也即函数中的恒成立与能成立问题,一直是高中数学考试的重点和难点,也是高考的热点题型.这一类问题主要涉及到函数的最值和值域,常与导数工具相结合,并且与数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想紧密联系.其基本模式如下:(1)对于任意的x∈A,不等式m>f(x)成立m>f(x)max(x∈A);(2)对于任意的x∈A,不等式m相似文献   

另类“恒成立”与“有解”问题——对《新高考试卷中的全称量词和存在量词》的补充

文[1]中,作者就新高考中与全称量词“”、特称量词“■”有关的不等式及方程问题作了系统的整理与区分.因为此类问题经常涉及到诸如“已知不等式恒成立,或不等式、方程有解,求参数的取值范围”等问题,我们不妨将其称之为“恒成立”问题与“有解”问题.受文[1]的启发,结合自己的思考,笔者对文[1]作一点补充,以更全面地认识此类问题.“恒成立”问题与“有解”问题的处理思路是将其等价转化为与函数最值或值域有关的问题.当函数的最大或最小值不存在时,该如何思考例1(文[1]中例1改编题1)x∈(1,2),12x2-lnx-a>0,则实数a的取值范围是.分析x∈(1,2),12x2-lnx-a>0x∈(1,2),a<21x2-lnx.当x∈(1,2)时,f(x)=21x2-lnx递增,其值域为12,2-ln2,故a≤21.注文[1]中例1“x∈[1,2],12x2-lnx-a>0”,此时函数f(x)=21x2-lnx值域为12,2-ln2,从而a<12.(文[1]中答案有误)例2(文[1]中例1改编题2)x∈(1,+∞),21x2-lnx-a<0,则实数a的取值范围是.分析x∈(1,+∞),21x2-lnx-a<0x∈(1,+...     

特例法巧解八类高考选择题

特例法是解高考选择题的一种应用频率很高的间接法 .在近几年高考选择题中 ,归纳出以下八类问题常用特例法进行求解 .一、关于不等式解集的问题【例 1】　 ( 2 0 0 2年全国高考 )不等式 ( 1 +x) ( 1 -｜x｜) ≥ 0的解集是 (　　 ) .A {x｜ 0 ≤x <1 }B {x｜x<0且x≠-1 }C {x｜-1 相似文献