一道试题的推广及其结论

题：若集合A1、A2满足A1UA2=A，则称(A1、A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1=A2时称(A1、A2)与(A2、A1)为集合A的同一种分拆，则集合A={a1，a2，a3)的不同分拆种数是多少?     

借助图象形象解决问题

【例1】集合A={α｜α=2π3 2kπ,k∈z},集合B={α｜α=π6 kπ2,k∈z},判断集合A为集合B的真子集.代数解法:当k=4m 1时,α=π6 4m 12π=π6 π2 2mπ=2π3 2mπ(m∈z),∴A B.又∵π6∈B,但π6A,∴集合A为集合B的真子集.代数解法具有推理严谨的优点,但是晦涩难懂,对比图象解法.图象解法:图1表示集合A,集合A的角之间相差2π.图2表示集合B,集合B的角之间相差π2.所以,集合A为集合B的真子集.图1图2练习:1.已知集合A={α｜α=4kπ,k∈z},B={α｜α=2kπ,k∈z},C={α｜α=kπ,k∈z},D={α｜α=12kπ,k∈z},判断集合A,B,C,D之间的关系.2…     

一道93年数学联赛题的推广

九三年全国高中数学联合竞赛第一试中有一个题：“集合A、B的并集视为不同的对，则这样的（A，B）对的个数有多少个．”现将此题推广为；N）的集合A、B的组（A，B）的个数．解：对集合A中的元素个数进行分类，A中元素个数可以是n个，当A中元素个数为k个时，集合B中元素至少要包含集{x_1,x_2,x_3,…,x_n}中的另个元素此时集B的种数为所以当集A的元素个数为k个时，共有的（A，B）对的个数为因此满足对的总个数为：显然满足的集A、B的对数为3~3=27个．一道93年数学联赛题的推广@徐民江$浙江绍兴平水中学…     

一个三种群生物模型的定性性质

本文讨论一个密度制约的、相互竞争的三种群生物模型其中α＞0为密度制约系数，β＞0，γ＞0为竞争系数，当α=β=γ时，系统（1）有轨线X1=c2x2=c3x3，本文不再讨论，以下总假定α、β、γ不全相等。易知，系统（1）至多有八个平衡点：O（0，0，0），A（，0，0），B（0，0），C（0，0，），D（0，），系统（1）的导算子为特征根，原点为不稳定平衡点，即从中原点附近出发的轨线都将远离原点并保持在中，在生物学上，这意味着三个种群的数量都将增加并且都不会灭绝。特征根均小于零，平衡点A渐近稳定。即从R3十中A点附近出发的轨线都将…     

渐近分数的应用研究

用渐近分数得到了两个结果：（1）用√n的渐近分数表示了纯循环二次无理数α=（α＋√n）／b的循环节所构成的分数,从而引出了用辗转相除法给出α的连分数的算法．（2）当A为合数时,用渐近分数给出了不定方程x^2-ny^2=±A的另一解法．     

我这样理解函数

1、函数是一种特殊的映射，当A、B是非空的数的集合时，映射f：A→B就叫做从A到B的函数，记作y=f（x），其中x∈A，y∈B。     

趣谈函数

1．函数是一种特殊的映射，当A、B是非空的数的集合时，映射f：A→B就叫做从A到B的函数，记作y=f（x），其中x∈A，y∈B。     

一道集合题的推广

已知非空集合A满足：①A（1，2，3，4｝，②若aA，则5－aA．符合上述要求的集合A的个数是（A）32个（B）8个（C）5个（D）3个分析容易求出：A＝｛1，4｝，｛2，3｝，｛1，2，3，4｝．故选（D）．本文绘出这道题的两个推广：命题1已知非空集合A满足：①A｛l，2，3，…，n｝，②若aA则n＋1－aA．求证证明当n为偶数时，集合｛1，2，3，…，n｝，有1与n，2与n－1，3与n—3，…，共计会个数组符合条件②，集合A是以这些数组2’————’”—””””——””’——一———’—————’一为元素（看成整体）所作成的集会的非空子集，故…     

一个数学问题的变式探究与应用

问题：如图1,电影屏幕的上下边缘A、B到地面的距离AD=a、BD=b（a＞b）,屏幕的正前方地面上一点P,求视角∠APB的最大值,以及当∠APB最大时,P、D两点的距离.解：设∠APB=β,∠BPD=α,PD=x,则因为β为锐角,所以当tanβ最大时,∠APB最大.由tan（α＋β）=a x,tanα=b x得tanβ=tan（（α＋β）-α）=a x-b x/1＋a x·b x=a-b/ x＋ab x≤a-b/2√ab,当且仅当x=ab/x即x=√ab时,tanβ有最大值a-b/2√ab.故得结论。     

自然数平方倒数和的一个改进不等式

得到了不等式：（1/n＋α≤π^2/6-n∑k=1 1/k^2）,其中（α=12-π^2/π^2-6）=0.5505460967^＋;当且仅当n=1时,等号成立.且证明了不等式：（1/n＋α≤π^2/6-n∑k=1 1/k^2 1/n＋1/2）两端的常数1/2、α均为最付佳值.     

2011年高考江西理科数学压轴题的推广

2011年江西省高考理科数学的压轴题为： （1）如图1，对于任一给定的四面体A1A2A3A4，找出依次排列的四个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，使得Ai∈αi（i=1，2，3，4），且其中每相邻两个平面间的距离都相等；     

广义Fibonacci数列的多重性

设F=｛Fn｝n=0^∞是参数为（α1，α2）的广义Fibonacci数列。对于正整数κ，设N（κ）是适合|Fn|=κ的正整数n的个数。证明了：当（α1，α2）是非例外参数时，N（κ）≤1。     

一道中考题的数形结合分析

2005年天津市中考有一道代数综合题： 例 已知二次函数y=αx^2＋bx＋c． （1）若α=2，c=-3，且二次函数的图象经过点（-1，-2），求b的值； （2）若α=2，b＋c=-2，b〉c，且二次函数的图象经过点（p，-2），求证：b≥0； （3）若α＋b＋c=0，α〉b〉c，且二次函数的图象经过点（q，-α），试问当自变量x=q＋4时，二次函数y=αx^2＋bx＋c所对应的函数值y是否大于0．并证明你的结论．     

算子在解析函数上的应用

用A表示在E={z：｜z｜〈1）内解析，具有形式f（z）=z＋^∞∑n=2 anzn的全体函数组成的类。当f∈A时,记S^＊（γ）,C（γ）,K（β,γ）,K^＊（β,γ）为γ阶星象函数，γ阶凸象函数，γ型β阶近于凸函数，γ型β阶拟凸函数类，0≤β〈1,0≤γ〈1.用算子D^α刻划上述四个函数类的新子类Sα^＊（γ）,Ca（γ）,Kα（β,γ）,Kα^＊（β,γ）建立了包含关系。     

碱基互补配对的一个"万能公式"

知识点“碱基互补配对原则”在“DNA分子结构与复制”一节中是一个重点，相关计算是一个难点，不少学生由于方法不当经常出现错误。众多教辅材料中有下列“公式”：①Aα=Tβ，Aβ=Tα；②Gα=Gβ，Gβ=Ga；③若α链中：（A＋G）／（T＋C）=m，则β链中（T＋C）／（A＋G）=m，（A＋G）／（T＋C）=1／m；④若α链中：A＋T=n％，则整个DNA分子中，A＋T=n％，C＋C=1-n％。     

“子集序列”的种数

本文目的将文[1]中的命题作一系列推广，方法是借助直观“场景”为模型，这样不仅能简明地解答文[1]中的命题，同时，更便于讨论和推广．据文[1]的命题，可作如下三个推广：推广一m，n是自然数，有n个学生组成的集合A：｛a1，a2，…，an｝，他们都学习m种课程．如果（*）：每个学生至少有一门课的考试成绩“及格”，这n个学生“及格”的不同的可能情况共有多少种？记，种课程组成的集合是S:｛s1，s2，……，sm｝．记人是第j门课“及格”的学生的集合，则条件（*）表示A1UA2U……UAm=A；｛A1，A2，…，Am｝是一个有m项的A的子集序列；…     

柯西不等式在2014年高考中的应用

柯西不等式： 设αi,bi∈R（i=1,2,…,n）,则 （α1^2＋α2^2＋…＋αn^2）（b1^2＋b2^2＋…＋bn^2）≥（α1b1＋α2b2＋…＋αnbn）^2,当且仅当αi=kbi,i=1,2,…,m时等号成立．     

集合中易出现的错误

1．概念理解 例1 已知集合A={y｜y=x＋1},B={（x,y）｜x^2＋y^2=1},则集合A∩B中元素的个数是（）     

2008年高考集合、函数与导数新题赏析

1．（陕西）已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={x｜x^2-3x＋2=0},B={x｜x=2a,a∈A},则集合Cu（AUB）中元素的个数为（ ）．     

已知函数值域能确定定义域吗

为了回答这个问题,我们先看2008年山东某地一道高考模拟题： 例1若函数y=4^x-3·2^x＋3的定义域为集合A,值域为[1,7],集合B=（-∞,0]u[1,2],则A与B的关系是（ ）