一类点的轨迹方程的探求

2002年高考文史类解几试题为: 已知点P到两个定点(1,0)M-,N(1,0)距离的比为2,点N到直线PM的距离为1,求直线PN的方程. 本题中,||MN=2为定值,||||PMPN=2也为定值,这是一类到定长线段两端点距离之比为定值的点的轨迹问题. 为了探究这类问题的一般解法,本文给出与此相关的几个定理. 定理1 到直线yt=上定长为2(0)aa>的线段12MM的两个端点1M、2M的距离之比是一个正数(1)mm的点的轨迹方程为 22222()11amaxml ---l 2()yt- =22224(1)amm-, (其中0102,MMMMl=1l?(0,))Mt 证明 在给定的直角坐标系里,设1(,)Mct,则2(2,)Mact , 设动点(,)Mxy,由…     

平面内与两条相交直线距离之差的绝对值为定值的点的轨迹探讨

1　引言在初中几何里 ,我们学到了两条平行直线的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹是两条和已知直线都平行的直线 ,当时 ,我们主要是根据平行线的一些基本性质去推导的 ;到了高中 ,我们又学了平面内到两定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹是双曲线 ;在学了绝对值方程的求解后 ,我们讨论点的轨迹的范围的点的轨迹是什么呢 ?如果存在这样的轨迹的话 ,那又怎样求出它的轨迹方程呢 ?下面 ,就让我们一起来探讨吧 !2　提出问题例 1　平面内与两条相交直线的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹是什么 ?分析 :为求轨迹 ,我们先建立正确的坐标系…     

平面内的点到直线距离公式的应用例析

<正>在平面内,已知点P(x_0,y_0),直线l:Ax+By+C=0,则点P到直线l的距离公式d=|Ax-By+C|/(A²+B2+B²)2)^(1/2)。解析几何中的轨迹问题、最值问题、曲线与直线的位置关系等都与点到直线的距离有关。因此,应用点到直线的距离公式能够解决许多重要问题。一、求轨迹方程例1求两条直线l_1:3x+4y+1=0,l_2:5x+12y-1=0的交角平分线方程。     

关于解析几何中一类题目的解法探讨——一种求到二平行直线距离相等的点的轨迹的简便方法

在中等师范学校《几何》第二册第四章第三单元“两条直线的位置关系”这部分教学内容中,涉及到这样一类问题:即求平面内到二已知直线距离相等的点的轨迹,其中有一种特殊情况,即:求到二已知平行直线距离相等的点的轨迹.例:求到二已知直线t_1:A_1x B_1y c_1=0,(A_1、B_1、不同时为零)、t_2:A_2x B_2y c_2=0(A_2、B_2不同时为零)距离相等的点的轨迹方程.我们知道,如果二已知直线相交,则我们所要求的点的轨迹是此二已知直线相交所构成的两组对顶角的角平分线,所以,一般地求解方法是直接由题意出发:①设所求点的轨迹上任意点的坐标(x,y)     

一道高考作图题的剖析

2010年上海秋季高考数学试卷的最后一题如下：已知椭圆Γ的方程为（x~2）/（a~2）＋（y~2）/（b~2）=1（a〉b〉0）,点P的坐标为（-a,b）.（1）若直角坐标平面上的点M、A（0,-b）、B（a,0）满足（？）=（？）,求点M的坐标;（2）设直线l_1：y=k_1x＋p交椭圆Γ于C、D两点,交直线l_2：y=k_2x于点E.若k_1·k_2=-（b~2）/（a~2）,证明：E为CD的中点;（3）对于椭圆Γ上的点Q（acosθ,bsinθ）（0〈θ〈丌）,如果椭圆Γ上存在不同的两点P_1、P_2使得（？）,写出求作点P_1、P_2的步骤,并求出使P_1、P_2存在的θ的取值范围.     

让公式的推导思路来得自然些——浅谈新教材中点到直线的距离公式的推导设计

全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）《数学》第二册（上）第51页“点到直线的距离”在引入中这样写道：“在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为（x0，y0），直线l的方程是Ax+By+C=0，怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢？根据定义，点P到直线l的距离d是点P到直线l的垂线段的长（图7-17，这里略）设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q。由PQ⊥l可知直线PQ的斜率为BA（A≠0），根据点斜式可写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出|PQ|，得到点P到直线l的距离d…     

对一道高考数学压轴题的研究

<正>2014年高考数学湖北卷文科压轴题(理科次压轴题)如下:在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(Ⅰ)求轨迹C的方程;(Ⅱ)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.本题立足课本上的通性通法,考查求轨迹方程的基本方法、直线与抛物线的位置关系,考查     

点线距离公式用于物理

在平面直角坐标系中,点P（x0,y0）到直线Ax＋By＋C=0的距离公式为     

巧证两道IMO试题

定理 圆心不共线的三圆两两相交,则三条公共弦共点。 为方便起见,我们给出统一的解析证明, 设⊙O_i(i=1,2,3)的方程为:x~2 y~2 D_ix E_iy F_i=0. 将它们两两相减得公共弦方程: l_1:(D_-D_2)x (E_1-E_2)y F_1-F_2=0, l_2:(D_2-D_3)x (E_2-E_3)y F_2-F_3=0, l_3:(D_3-D_1)x (E_3-E_1)y F_3-F_1=0. 由于圆心不共线,故设l_1与l_2的交点P的坐标为(x_0,y_0),易验证:P∈l_3,即l_1,l_2,l_3,交于点P. 本文巧用定理证明两道IMO试题. 例1 (1MO36-1)设A,B,C,D是一条直线上依次排列的四个不同点,分别以AC,BD为直径的圆相交于X,Y,直线XY交BC于Z,若P为直线XY上异于Z的一点,直线CP与以AC为直径的圆相交于C及M,直线BP与以BD为直径的圆相交于B及N,试证AM,DN,XY三线共点.     

一道高考试题引发的探究

问题 （07年江苏）如图1,在平面直角坐标系xOy中,过Y轴正方向上一点c（0,c）任作一直线,与抛物线Y=χ2相交于AB两点,一条垂直于肖轴的直线,分别与线段AB和直线l：y=-c交于P,Q,     

一个定值问题的推广

<正>题目在平面直角坐标系x Oy中,直线x-y+1=0截以原点O为圆心的圆所得弦长为6~(1/2).(1)求圆O的方程.(2)若直线l与圆O切于第一象限,且与坐标轴交于点D、E,当DE长最小时,求直线l的方程.(3)设M、P是圆O上任意两点,点M关于x轴的对称点为N.若直线MP、NP分别交x轴于点(m,0)和(n,0),问mn是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.     

江苏卷第19题的多种解法

问题 如图1，平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直线，与抛物线y=x^2相交于A，B两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l：y=-C交于点P，Q．[第一段]     

一道高考题的别解与推广

【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,过y轴正方向上C（0,c）任作一直线,与抛物线y=x^2相交于A,B两点．一条垂直于x轴的直线,分别与线段AB和直线l：y=-c交于点P,Q     

直线的参数方程在弦长公式中的运用

<正>一、问题提出题目:已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ+4sinθ,P点的极坐标为3,(π/2),以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系xOy,在平面直角坐标系中,直线l经过点P,倾斜角为π/3。(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程。(Ⅱ)设直线l与曲线C相交于A,B两点,求AB的长。问题:求直线与圆锥曲线的交点弦的弦长时,为什么在直线方程是参数方程的情况下要用参数方程中的弦长公式AB=     

以两条相交直线为背景的点的轨迹问题

在平面上,到两定点的距离之比为常数λ（λ〉0）的点的轨迹是直线或圆;到两定点距离之和或之差的绝对值为常数2a（其中a〉0,2a大于两定点距离或2α小于两定点距离）的点的轨迹是椭圆或双曲线．那么我们自然联想,以两条相交定直线为背景的点的轨迹又是什么呢？     

抛物线切线的一种作法

一、精彩回放（2007年江苏高考数学试题第19题）如图1,在平面直角坐标系xOy中,过Y轴正方向上一点C（0,c）任作一直线,与抛物线Y=x2相交于A,B两点．一条垂直于x轴的直线,分别与线段AB和直线l：Y=-C交于点P,Q．     

求轨迹，寻方法

求曲线轨迹方程的基本步骤：①建立适当的平面直角坐标系,设轨迹上任一点的坐标为M（x,y）;②寻求动点与已知点满足的关系式;③将动点与已知点坐标代入;④化简整理方程;⑤证明所得方程为所求曲线的轨迹方程。     

2009年高考江苏卷第18题的探源、别解与推广

2009年高考数学江苏卷I第18题如下： 在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1：（x＋3）2＋（y-1）2=4和圆C2：（x-4）2＋（y-5）2=4,设P为平面上的点,满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标．     

举一反三 触类旁通———由2005年全国高考(江苏卷)第19题引发的思考

考题:如图1,圆O1和圆O1的半径都等于1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N为切点),使得PM=2PN,试建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.评析:本题是求由一动点出发的两条线段长之比为一定值的点的轨迹.通过这两条线段的形成和比值的变化可引发下列思考:思考一:若将题中的PM:PN=2改变为PM:PN=λ(λ>0),其他条件不变,则P点的轨迹又将是什么?分析:以O1O2所在直线为x轴,O1O2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,设P点坐标为(x,y),易得P点的轨迹方程为:(1-λ2)x2+(4+4λ2)x+(1-λ2)y2+3-3λ2=0.当λ=1时,P点的…     

一道椭圆问题引发的思考

题目：（2010上海理23）已知椭圆Γ的方程为x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）,点P的坐标为（-a,b）．（1）若直角坐标平面上的点M,A（0,-b）,B（a,0）满足PM=1/2（PA＋PB）,求点M的坐标;（2）设直线l2：y=k1x＋p交椭圆Γ于C,D两点,