一道北大保送生考题的再探究

一、试题再现及评析2011年北大保送生考试第一题为:点P为双曲线上任一点,PQ为双曲线在点P处的切线,F₁、F₂为双曲线的焦点.求证:PQ平分∠F₁PF₂.     

尝试用"what-if-not"策略对存在型问题进行探索研究——由一道课本习题的错解谈起

例题（苏教版，选修1—1，51页19题）已知双曲线x^2-y^2/2=1，过点P（1，1）能否作一条直线l与双曲线交于A，B两点，使P为线段AB的中点？     

对椭圆和双曲线的一个性质的补充

作为对《椭圆和双曲线一个性质》（《中学数学》1992.10）一文的补充,本文介绍了椭圆和双曲线的如下性质:1、若椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的动弦AB恒过定点M(a~2-b~2/a~2 b~2x_o,b~2-a~2/a~2 b~2y_o),则动弦AB对于该椭圆上的定点P(x_o,y_o)的张角必为直角。2、若双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1(a≠b）的动弦AB恒过定点M(a~2 b~2/a~2-b~2x_o,a~2 b~2/b~2-a~2y_o),则动弦AB对于该双曲线上的定点P(x_o,y_o)张角必为直角。3、等轴双曲线x~2-y~2=a~2的动弦AB对于该双曲线上的定点P(x_o,y_o)张角为直角的充要条件是动弦AB的斜率为-y_o/x_o。推论 等轴双曲线的动弦对于该曲线的顶点张角为直角的充要条件是动弦平行于双曲线的实轴。     

双曲线的内弦与外弦

1．内弦与外弦 我们知道，连结圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦．对于双曲线又有内弦与外弦之分，当直线L交双曲线C的一支于两点P1、P2（或说落在含有焦点的双曲线内部的弦），则称线段P1P2为其内弦；交双曲线C的两支于各一点P1、P2（或说落在不含焦点的双曲线外部的弦），则称线段P1P2为其外弦．那么，直线与双曲线相交，何时得内弦又何时得外弦呢？     

双曲线切线的一条性质

定理过双曲线上一点 P 作切线交渐近线于点A、B,则(1)PA=PB;(2)△OAB(O 为双曲线的中心)的面积为定值.证明:不妨设双曲线的方程为 x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0),渐近线为 y=±(b/a)x,P(x_0,y_0)为双曲线上任一点,则 AB 的方程为 xx_0/a~2-yy_0/b~2=1,与 y=±(b/a)x 联立,     

利用双曲线的两种定义分别解题

例 F_1、F_2为双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上任一点,若∠PF_1F_2=a,∠PF_2F_1=β,e为双曲线的离心率,则tgα/2·ctgβ/2=     

例谈双曲线第一定义的应用

双曲线第一定义,是双曲线的重要概念,对它的准确理解与正确运用,是学好双曲线的关键,本文举例说明双曲线第一定义的应用.1.焦半径例1设F1,F2是双曲线x2/16-y2/20=1的左、右焦点,点P在双曲线上,若点P到焦点F1的距离等于9,求点P到焦     

用图形性质巧解一例

<正> 例已知点P是离心率为P的双曲线上任一点,设点P到该双曲线中心O的距离是d,到两焦点F1、F2的距离分别是d1、d2.求d1+d2/d的取值范围. 分析此题的常规解法是设该双曲线方程为x2/a2-y2/b2=1,点P     

圆锥曲线中△PF1F2面积公式的巧用

在圆锥曲线中，有一个特殊的三角形，即若点P在椭圆（或双曲线）上，椭圆中△PF1F2的面积为b^2tan α/2，双曲线中△PF1F2的面积为b^2cot α/2（其中点F1、F2是焦点，∠F1PF2=α）．这些公式，可用椭圆（双曲线）定义，结合余弦定理，三角公式推得．这里从略．我们运用这一面积公式去研究圆锥曲线的相关性质，使解题大为简化而巧妙．     

椭圆双曲线焦点三角形的若干对偶性质——兼证法探微

定义以椭圆 x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)(1)的两个焦点 F_1(-c,0)、F_2(c,0)(c=(a~2-b~2)~(1/2))及椭圆上任意一点 P(但不是长轴顶点)为顶点的△F_1PF_2,叫做椭圆的焦点三角形;以双曲线 x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0)(2)的两个焦点F_1(-c,0)、F_2(c,0)(c=(a~2 b~2)~(1/2))及双曲线上任意一点 P(但不是双曲线顶点)为顶点的△F_1PF_2,叫做双曲线的焦点三角形(由对称性,本文姑且设 P 在双曲线的右支上).     

问疑答难

问题1.已知双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F_1、F_2,P为双曲线右支上任意一点,当(|PF_1|~2)/(|PF_2|)取得最小值时,求该双曲线离心率e的最大值.解:由点P在双曲线右支上,     

再谈双曲线焦点三角形的若干性质

以双曲线 x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0)的两个焦点 F_1、F_2及双曲线上任意一点 P(除实轴上两个端点外)为顶点的△PF_1F_2,叫做双曲线的焦点三角形.双曲线的焦点三角形有一系列耐人寻味的性质,这些性质深刻地揭示了双曲线的一些有趣的几何特征.     

初逢似相识 源是同根生

考题1 已知双曲线的中心在原点,坐标轴为对称轴,一条渐近线方程为y=4/3x,右焦点F（5,0）,双曲线的实轴为A1A2,P为双曲线上一点（不同于A1,A2）,直线A1P、A2P分别与直线l：x=9/5交于M、N两点．     

一道联考题的一般性结论

<正>题目(2011年安徽省"江南十校"高三联考数学试卷(理)第19题)已知双曲线的中心在原点,坐标轴为对称轴,一条渐近线方程为y=(4/3)x,右焦点F(5,0),双曲线的实轴为A_1A_2,P为双曲线上一点(不同于A_1,A_2),直线A_1P、A_2P分别与直线l:x=9/5交于M、N两点.     

一道双曲线试题的推广

09年高考江西卷理科第21题：已知点P1（x0,y0）为双曲线x^2/8b^2-y^2/b^2=1（b是正常数）上任一点,F2是双曲线的右焦点,从P1作右准线的垂线,垂足为A,连接F2A并延长交y轴于点P2．     

利用“λ”法求双曲线标准方程

上海市高中二年级数学第一学期(试验本)课本第115页有这样一道例题:已知双曲线过点P(4,3),它的一条渐近线的方程为y=1/2x,求双曲线的标准方程．传统的解法:∵双曲线的一条渐近线方程为y=1/2x,∴当x=4时,渐近线上对应点的纵坐标为1/2×4=2,小于点P的纵坐标3(如图1),所以双曲线的焦点在y轴上．于是,设双曲线的方     

一道高考题解法的探讨与思考

2009年江西省高考数学理科卷第21题： 题目 已知点P1（x0,y0）为双曲线x^2/8b^2-y^2/b^2=1（b为正常数）上任一点,F2为双曲线的右焦点,过P1作右准线的垂线,垂足为A,连接F2A并延长交y轴于点P2．     

例析有关焦点三角形问题的求解策略

例1双曲线x²/9-y²/16=1的两个焦点为F₁、F₂,点P在双曲线上.若PF₁⊥PF₂,则点P到x轴的距离是_<sub><sub><sub>.这是一道典型的与焦点三角形有关的问题,焦点三角形是指以椭圆（或双曲线）的焦距F₁F₂为底边,顶点P在椭圆（或双曲线）上的三角形.解法1:（辅助圆法）以O为圆心,OF₁=5为半径作圆z²+y`2=25,与双曲线x²/9-y²/16=1联立,解得两曲线的交点即为题意中的点P（x₀,y₀）,消去x²,得|y₀|=|y|=     

妙用双曲线定义解题

数学中的定义是解答许多数学问题的工具,在解答某些解析几何问题时,如能灵活、巧妙地应用双曲线的定义,不仅能深化对双曲线这一数学概念的深刻理解,而且还能提高同学们应用双曲线的定义去分析和解决数学问题的能力,开拓思维视野。一、求双曲线的标准方程例1已知双曲线的两个焦点F₁(-5^1/2,0),F₂(5^1/2,0),P为双曲线上一点,且PF₁,⊥PF₂,|PF₁|·|PF₂|=2,则双曲线的标准方程为（）     

一道习题的误解分析

作业中，我给同学们布置了一道题：已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F1、F2分别为左右焦点，双曲线右支上有一点P使∠F1PF2=π，且△F1PF2的面积等于2、／3，又双曲线的离心率为2，求双曲线的方程。