Polya-Szego不等式的加强

在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，面积为△，则有著名的Polya-Szego不等式：现在仍然利用三边，给出（1）式的一个加强：证明：设三角形的半周长为s，外接圆和内切圆的半径分别为R、r，根据三角形恒等式:abc这是熟知的三角形不等式.于是（2）式成立．又＿因为有基本不等式：说明不等式（2）比不等式（1）强．由于不等式：（1）和（2）组成的不等式链等这就是文[1]中魏琴伯克不等式的再加强的加强：Polya-Szego不等式的加强@裘良$浙江嵊县崇仁中学[1] 梁冲海《魏琴伯克不等式的再加强》《中学教研》1993年第2期…     

Weisenbck不等式的三维推广

有一个著名的几何不等式： 　　 a2＋b2＋c2≥43△．① 　　当且仅当a＝b＝c时等号成立． 　　 其中a、b、c及△分别是△ABC的三边长及面积． 　　 式①即Weisenb     

涉及三角形边长与面积的一个不等式

本文首先利用基本不等式x~2＋y~2≥2xy及海仑公式给出涉及三角形边长与面积的一个不等式，然后由此导出三角形中一系列有趣的不等式．定理设a，b，c，△分别表示△ABC的三边长与面积，实数λ，μ,υ，中任意两数之和均大于零，则有证由基本不等式将以上三式相加并整理，得但由海仑公式，上式右边正好是16△~2．由此即知不等式（1）成立，显然（1）中等式当且仅当时成立．这表明当且仅当时（l）中等式成立．证毕．推论设a，b，c，△分别表示△ABC的三边长与面积，实数λ，μ，υ，中任意两数之和均大两式中的等式当且仅当成立．一个新的三…     

一个改进不等式的推广

安振平在本刊1986年第6期P42上改进了一个常见的三角形不等式，得到:设a、b、c是△ABC的三边长，2p=a＋b c，则本文将把（1）式推广到两个三角形．设a、b、c、p与a’、b’、c’、p’分别是△ABC与△A’B’C’的三边长及半周长，则证在简单不等式（可见于高中代数课本（必修）下册Pll练习）（其中，a、b、c为正数）中用a’（p-a）、b’（p-b）、c’（p-c）分别替换a、b、c，得类似可得以上两式相加，再运用平均值不等式，便知（2）式成立。且易知式中等号当且仅当两三角形均为正三角形时成立．证毕．令a’＝a，b＝b，c’=c，则（2）式成…     

几个新的几何不等式

设ia、tb、tc分别表示△ABC的三边a、b、c所对的内角平分线的长,△ABC的半周长、外接圆半径、内切圆半径分别记为S、R、r。则有下面给出关于S2与R和r的一个优美不等式链：对于不等式链（*）,注意到K00i不等式：及Gerretsen不等式：只需证明（1）弱于（3）的左端,（2）强于（3）的右端。注：上述证明用到了Euler不等式。由Euler不等式R＞Zr,易得将SI、a、勾、为代入上式,整理即得：当且仅当凸ABC为正三角形时,上述各等号成立。几个新的几何不等式@纪保存$河南濮阳师范学校[1]Mitnnovic,D·S,Pecanc,JE,Voloner,V.Recent A…     

再探一个不等式链

《中学数学月刊》1999年第6期《一个三元不等式链》一文中有如下两个不等式：由于不等式（2）不成立（见《中学数学月刊》1999年第10期《一个不等式键的探究〕一文），所以原不等式链显得不完整．笔者经过探究，发现不等式（1），（2）之间的立十字十换为后可使原不等式链变完整，即有不等式（3）可化为，两边平方并整理得由，易知成立．所以（3）得证．不等式（4）两边同乘a＋b＋c并整理知（a’＋b‘＋c勺，所以（4）得证．再探一个不等式链@邓重阳$浙江省杭州市第四中学!310002     

关于Petrovic不等式的探究

1 Petrovic不等式与已有结论1916年,M.Petrovic给出了如下一个三角形不等式[i]设△ABC的三边长分别为a,b,c,则1/3≤(a~2 b~2 c~2)/((a b c)~2)<1/2.①当且仅当a=b=c时     

Weitzenb(o)ck不等式一个加强的三种证法

1919年,R.Weitzenbǒck[1]给出了下述三角形不等式:△ABC的三个边长与面积分别为a,b,c和△,则有a2+b2+c2≥4√3△,(1)等号当且仅当△ABC为正三角形时成立. 在1961年举行的国际数学竞赛中,不等式(1)被选为赛题.从此这一不等式广为人知,并被称为Weitzenbǒck不等式.     

Milisavljevi不等式的加强及逆向

1978年,B.M.Milisavljevic建立关于三角形边长a、b、c与外接圆半径R、内切圆半径r的一个几何不等式[1]Rr≥31∑ba+c.(1)Milisavljevic不等式形式优美,且加强了著名的Euler不等式[2]R≥2r,引起了不少人的兴趣.1996年,宋庆先生撰文[2]指出,Milisavljevic不等式强于不等式Rr≥43∑b+ac;(2)该文中,作者建立了一个较(2)式强但与Milisavljevic不等式不分强弱的不等式Rr≥98???∑b+a c???2.(3)本文统一加强上述不等式,并给出一个逆向不等式.定理设a、b、c为△ABC的三边长,s、R、r分别为三角形的半周长、外接圆半径、内切圆半径,则29???∑s?a…     

一些新的三角形不等式

在本刊文〔1〕中，笔者给出并讨论了有关三角形边长的一个加权不等式；设△ABC的边BC、CA'、AB分别为a、b、c，半周长为s，则对任意正数x，y，z有等号当且仅当x＝y＝z时成立．本文拟以不等式（l）为线索，继续推证有关三角形的一些新不等式．为节省篇幅，我们将省略所有不等式取等号时条件成立的确定过程．定理1各符号的意义同上，则等号当且仅当x＝y＝z时成立．证于（1）式中作置换：x→yz，y→zx，z→xy，得由Cauchy不等式知即有yza＋zxb＋xyc≥于是由（3）知再次利用Cauchy不等式有据此由（4）就知不等式（2）成立．这里指出，不等…     

由Nesbitt不等式加强式的等价形式建立的几个不等式

文[1]中作者给出并证明了Nesbitt不等式的加强式,同时介绍了其运用,本文给出Nesbitt不等式加强式的一个等价形式,在此基础上建立几个新颖的不等式.Nesbitt不等式设a、b、c是正实数,则有a b+c+b c+a+c a+b≥32(1).文[1]将(1)式加强为:设a、b、c是正实数,则有a b+c+b c+a+c a+b≥32+a-b 2+b-c 2+c-a 2 a+b+c 2(2).这里给出(2)的等价变形形式,在此基础上建立几个有趣的不等式.     

一个涉及两个三角形的不等式的别证

1981年,’重庆市第二十三中学数学教师高灵提出并证明了如下的不等式“’: 定理设三角形ABC及A产B尹C产分别有边长。、b、。及。‘、b,、c,,分别有面积△及△尹,则a,(b+c一a)+b‘(e+a一b)+e,(a+b一c)》4亿3△△‘(1)式中等号当且只当月BC及A声B尹C尹均为正三角形时成立. 1982年,中国科技大学教授彭家贵、常 10庚哲又给出了高灵的不等式(1)的一种巧妙证法〔么’.下面,笔者再给出(通)的一种更为简捷的证明方法,供参考. 证明由于熟知的费恩斯列尔—哈德维格尔不等式为a念+b笼+eZ》4了了△+(a一b)艺+(b一e)之+(e一a)么(2)令今4杯万△+2(aZ…     

Klamkin不等式逆向的一个改进

设a,b,c是△ABC的三边边长,则有如下 Klamkin不等式:a/b+b/c+c/a≥1/3(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) (1)文[1]给出了Klamkin不等式的如下逆向形     

Weitzenberk不等式的加强

Weitzenberk不等式:在△ABC中,设BC＝a,CA＝b,AB＝c,△表示△ABC的面积.则 a2+b2+c2≥43△. (1) 不等式(1)有许多种加强,本文将给出不等式(1)的一种半对称形式加强.     

Pham Kim Hung不等式加强的再探究

正Pham Kim Hung不等式:设a,b,c≥0,a+b+c=2,证明:a~2b~2+b~2c2+c~2a~2+abc≤1①.当且仅当a=b=1,c=0及其循环排列时等号成立.这是Pham Kim Hung在《不等式的秘密》(第一卷)中提到并证明的一个有趣的不等式,文[2]将该不等式加强为     

一个不等式的改进

《数学通报》1991年4月号数学问题（707）为：证明：在△ABC中，A、B、C两两不相等时，有原证明较繁，本文给出这一不等式的简单证明，同时也得出了改进的结果.证明令不等式（l）的左边为M（A，B，C）.由正弦定理知：边，所以由此即得：不等式（2）改进了不等式（1）.更进一步地，不等式（2）可改进为：由余弦定理得：当且仅当A＝B＝C＝60°时取等号.这样2＜N（a，b，c）≤3，当且仅当a＝b＝c时取等号.由此得0≤M（A，B，C）＜1.但由条件：A、C、C两两不相等，知不能取等号，所以不等式（3）得证.一个不等式的改进@田正平$杭州师范…     

一个不等式的推广

文 [1 ]给出了下面一个三角形不等式 :设△ABC的三边长分别为a、b、c ,则13 ≤ a2 +b2 +c2(a +b +c) 2 <12 ,①当且仅当a =b =c时等号成立 .本文将不等式①推广为 :设△ABC的三边长分别为a、b、c .对于任意正整数n ,n >1 ,有13 n - 1≤ an+bn+cn(a +b +c) n<12 n- 1,②当且仅当a =b =c时等号成立 .证明 :根据文 [2 ],有an+bn+cn3 ≥ a +b +c3n,当且仅当a =b =c时等号成立 .由此易知第一个不等式成立 ,取等号的条件也成立 .下面证明第二个不等式 ,这等价于an+bn+cn<12 n - 1(a +b +c) n.③用数学归纳法 .当n =2时 ,由式①知式③成立 .设n …     

Guggenheimer不等式的加权推广

<正>1问题背景1967年,H.W.Guggenheimer建立了如下不等式,我们称之为Guggenheimer不等式.定理A[1]P是△ABC中任意一点,a、b、c是三角形三边,则有PA+PB+PC相似文献   

瓦西列夫不等式的推广再探

文[1]将俄罗斯《中学数学》杂志刊登的瓦西列夫不等式：设a,b,c〉0,a＋b＋c=1,证明a^2=b/b＋c＋b^2＋c/c＋a＋c^2＋a/a＋b≥2,推广如下：     

两个不等式猜想的解决--兼擂题(58)解答

《中学数学教学》2 0 0 2年第 6期有奖解题擂台( 5 8)中 ,杨先义老师提出如下猜想 :设a >0 ,b >0 ,c>0 ,a +b +c=1 ,则1b+c2 +1c +a2 +1a +b2 ≥2 74①ab +c2 +bc +a2 +ca +b2 ≥ 94②本文指出 ,猜想不等式①不成立 ,不等式②成立。在①式中 ,令a =0 6,b=0 3 6,c =0 0 4,得左边 =3 41 9455 1 5 2 8<2 74=右边 ;故不等式①不成立。下面证明不等式②成立 ,并修正①式。运用Cauchy不等式 ,得[a(b +c2 ) +b(c +a2 ) +c(a +b2 ) ]( ab+c2 +bc+a2 +ca +b2 )≥ (a +b +c) 2 =1 ,所以　 ab +c2 +bc+a2 +ca +b2 ≥1ab +bc +ca +a2 b +b2 c+c2 a。…