向量知识在解析几何综合题中的妙用

例1O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线A B A C的三点,动点P满足O P=OA+λA B+A C,λ眼0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的A.内心B.外心C.重心D.垂心A B A C解析∵A B==1,A C A B A C∴向量A B和分别是与向量A B和AC方向A C相同的单位向量.向量加法的平行四边形(此时是菱根据A B A C形)法则,得向量A B+A C必在角A的平分线上.A B如图1所示,设AC A B+=AC A B A C)=AM.AN,λ(A B+AC∵λ眼0,+∞),∴AN与AM共A B线且同向.∵OP=OA+λ(A B+A C A O A C)=OA+M=M,∴点P与点M重合.由此可知,点P恒在角A的平分…     

平面向量中一组“形似质异”问题

在高三模拟练习中,我们经常会遇到下面一组平面向量的习题:1.O是平面内一定点,A、B、C是平面内不共线的三个定点,动点P满足OP→=OA→ λ(AB→ AC→),λ∈[0, ∞),则P的轨迹一定通过△ABC的()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心2.O是平面内一定点,A、B、C是平面内不共线的三个定点,动     

浅谈"构图、识图、变图"思想在解题中的应用

一、构图例 1　O是平面上一定点 ,A、B、C是平面上不共线的三点 ,动点P满足OP =OA λ AB|AB| AC|AC|,λ∈ [0 , ∞ ) ,则P的轨迹一定通过△ABC的 (　　 ) .A .外心　　B .内心　　C .重心　　D .垂心分析 :此题用构图法解答最为神速 ,根据题意可构图如右 :其中AD =AB|AB| AC|AC|,根据三角形加法法则 ,可迅速判断 .答案是B .例 2　棱长为a的正方形体中 ,连结相邻面的中心 ,以这些线段为棱的八面体的体积为 (　　 ) .A .a33　　B .a34 　　C .a36 　　D .a312分析 :凭空想像是不行的 ,应迅速构出其图后 ,再寻找数量关系 ,该…     

解析几何中动点轨迹问题的新背景

探求动点的轨迹是解析几何题中的一个重点,也是历年高考考查的一个热点,解决这类问题的难点在于如何分析问题中所给的已知条件,即问题的背景材料.因此,教师在解题过程中要注意知识之间的横向联系,引导学生分析题中的背景材料,将问题化难为易.下面从近三年的高考试题中精选几题,供各位读者赏析.一、以平面向量为背景1.以平面向量的基本定理作为问题背景.例1(2003年高考题)O是平面上的一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足!O“P=!O“A λ!A“B｜!A“B｜ ｜!!AA““CC｜#$,λ∈[0, ∞),则P点的轨迹一定通过△ABC的().A.外心B.内心C.重心D.垂心分析设AB与AC方向上的单位向量分别为“e1和“e2,因为!O“P-O!“A=!A“P,则原式可化为!A“P=λ(“e1 “e2),那么在△ABC中,很容易知道AP平分∠BAC,则知选B.解决此题所用的都是简单的基本知识,如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等,若教师十分熟悉这些知识,又能迅速地将它们迁移到一起,解决这道题将很容易.2.以平面向量的数量积作为问题背景.例2(2005年高考题(文))点O是三角形AB...     

悄然升温的几类向量问题

问题一、与三角形“四心”相关的向量问题 例1已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足→OP=→OA＋λ（→AB/→｜AB｜＋→AC/｜→AC｜）λ，     

对一道几何问题的反思

今有一道题: 已知平面上一定点C(-1,0)和一定直线l:x=-4,P为该平面上一动点,作PQ⊥l,垂足为Q,(PQ 2PC)·(PQ-2PC)=0. (Ⅰ)问:点P在什么曲线上?求出该曲线的方程. (Ⅱ)点O是坐标原点,A、B两点在P的轨迹上,若OA λOB=(1 λ)OC,且λ＞0,求λ的取值范围.     

一题多变看三角形的“心”随式变

问题（2003年江苏高考卷第5题）O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP→=LA→＋λ&;#183;（AB→/｜AB→｜＋AC→/｜AC→｜,λ∈[0,＋∞）,则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）．     

高考命题“心”趋势(高二、高三)

最近几年的高考试题中经常出现三角形的“心”:重心、内心、外心、垂心,有的还与其他知识结合,使问题具有一定的难度,以下列举六则: 1．与向量结合例1 O是平面上一点,A、B、C是平面上不共线三点,动点P满足     

直线的向量参数方程式的应用

新人教必修4第二章平面向量,已知A,B是直线l上任意两点,O是l外一点,则对直线l上任意一点P,存在实数t,使O乙乙P关于基底{乙O乙A,O乙乙P}的分解式为乙O乙P=(1-t)乙O乙A+t乙O乙B此向量等式叫做直线l的向量参数方程式,其中实数t叫做参数,并且满足乙A乙P=t乙A乙B.应用一:乙O乙A,乙O乙B前面的系数之和为定值1(.2007·全国Ⅱ)在△ABC中,已知D是AB边上一点,若乙A乙D=2乙D乙B,乙C乙D=31C乙乙A+λ乙C乙D,则λ()     

西摩松定理的逆定理

西摩松定理告诉我们 ,三角形外接圆上任意一点在三角形三边上的射影是共线的(这条线叫西摩松线 ) .下面我们将要考虑的是 :在三角形三边上的射影共线的点 ,是否一定在三角形的外接圆上 ,即西摩松定理的逆命题是否为真 ?定理　如果一点在三角形三边上的射影共线 ,那么这点必在该三角形的外接圆上 .图 1证明　设 P为△ABC所在平面内的一点 ,且在边BC,CA,AB上的射影分别为 A1 ,B1 ,C1 .(1)若 P在外图 2接圆 O的内部 ,如图 1.A1 ,B1 ,C1 分别是 P在三边上的射影 ,连结 A1 C1 ,A1 B1 .设 AP,BP,CP分别交圆 O于A2 ,B2 ,C2 (为便于观…     

促进数学思维训练的好题

1.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E、F分别是棱BC、DD1上的点,如果B1E⊥平面ABF,则点E、F满足的条件一定是().A.CE=DF=21B.CE DF=1C.BE DF=1D.E、F为棱BC、DD1上的任意位置平面2,.图已知中P相D⊥矩形ABCD所在的互垂直的平面有().A.2对B.3对C.4对D.5对3.设α,β是两个不同的平面     

三角形"费尔马点"的一个推广

1 问题的提出 1640年，费尔马提出如下问题：“在平面上给出A、B、C三点，求一点P使距离和PA＋PB＋PC达到最小。”这就是数学史上著名的“费尔马问题”。特别地，点A、B、C三点不共线时，使PA＋PB＋PC最小的点P称为△ABC的费尔马点。     

一道立体几何高考题两种解法之比较

2004年高考(江苏卷)第四大题:在棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,点P在棱CC1上,且CC1=4CP(图1).(1)求直线AP与平面BCC1B1所成角的大小;(2)设点O在平面D1AP上射影为H,求证D1H⊥AP;(3)求点P到平面ABD1的距离.解(1)连结BP,∵AB⊥平面BC1,∴∠APB为直线AP与平面BCC1B1所成角的大小.在RtABP中,AB=4,BP=12+42=17,∴tan∠APB=ABBP=417=41717.故直线AP与平面BCC1B1所成角为arctan41717.(2)∵点O在平面D1AP的射影为H,∴OH⊥AP,∵PC⊥平面AC,AC为AP在平面AC上射影,AC⊥BD.∴BD⊥AP…     

立体几何中共点共线共面问题的证明方法

一、点共线的证明证点共线通常运用公理2,即证明这些点同时在两个平面内,则它们必在两平面的交线上.例1正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,求证:点C1,O,M共线.证明如图1     

一个最值模型在解题中的运用

<正>模型如图1,P是⊙O外的一点,直线PO分别交⊙O于点A、B,则PA是点P到⊙O上的点的最短距离.B APO图1%证明如图2,在⊙O上任取一点C(不为点A、B),连结PC、OC.∵PO相似文献   

平行线与相交线月末检测题

一、你的数学风采,在于你的合理选择! 1.下列说法中,正确的是(). A.一条射线把一个角分成两个角,这条射线叫做这个角的平分线B.P是直线l外一点,点A、点B、点C分别是l上的3点,已知PA二IJ叨二ZJ飞了=3,则点P到l的距离一定是l C.相等的角是对顶角D.钝角的补角一定是锐角2.图l中4个图形.乙1与乙2是对顶角的图形的个数是(). A .0 B.1 C.2 D.3玉乙>长>长厂通图1 3.一辆汽车在笔直的公路上行驶,两次拐弯后,仍在原来的方向上平行前进,那么两次拐弯的角度是(). A.第一次右拐6O“,第二次左拐1200 B.第一次左拐600,第二次右拐6O”…     

一个最值模型在解题中的运用

模型如图1,P是⊙O外的一点,直线PO分别交⊙O于点A、B,则PA是点P到⊙O上的点的最短距离.B APO图1%证明如图2,在⊙O上任取一点C（不为点A、B）,连结PC、OC.∵PO＆lt;PC＋OC,PO=PA＋OA,OA=OC,∴PA＆lt;PC,     

"存在"而非"任意"

1常规中出特例,发现问题近日笔者在讲评空间向量一章数学测试练习题时遇到如下常见的一道向量选择题:题1若A,B,C三点共线,O为平面上任意一点,且OA αOB=βOC,则α-β的值为().(A)1(B)-1(C)41(D)-2.在平面向量学习中,我们曾解决过这样一道命题:“向量OA,OB,OC的终点共线的充要条件是存在实数m,n,且m n=1,使得OC=m OA n OB.”而且我们总结出“若A,B,C三点共线,且OC=m OA n OB,则m n=1”.学生都知道这一命题结论,在平面向量的解题中也经常直接使用该命题,给解决这类问题带来很大方便,根据这一命题题1即有如下简解:因OA αOB=β…     

以空间图形为背景的轨迹问题例析

例1已知平面α∥平面β,直线l奂α,点Pl,平面α、β间的距离为8,则在平面β内到点P的距离为10,且到直线l的距离为9的点的轨迹是()A.一个圆B.两条直线C.四个点D.两个点解析如图所示,设点P在平面β内的射影是O,则OP是平面α、β的公垂线段,OP=8.在平面β内到点P的距离等于10的点到点O的距离等于6,故点的集合是以O为圆心,以6为半径的圆.在平面β内到直线l的距离等于9的点的集合是两条平行直线m、n,它们到点O的距离都等于92-82姨=17姨<6,所以直线m、n与这个圆均相交,共有四个交点.因此,所求点的轨迹是四个点.选C.例2已知正方体ABCD—…     

从一道例题谈起

例题:求 最小时.对应平面上的点P(x,y) 简解:几何理解:平面上点P(x,y)与点O(0,0)、A(1,0)、B(0,1)、C(1,1)距离之和的最小问题。观察每个根号内特点,设α=x yi β=(1-x) yi γ=x