余代数与模态逻辑

近年来,余代数成为国际逻辑学界研究的热点之一。余代数的基本理论建立于范畴论基础之上,而范畴论是关于对象和对象之间的箭头的理论,它是比集合论更加抽象、更加具有一般性的理论,因此余代数也就成为非常抽象的数学结构。从广义上说,余代数处理基于状态的动态系统,比如理论计算机科学中的（加标）转换系统、模态逻辑的模型和框架等等,它是基于状态的动态系统的抽象模型。本文首先介绍余代数的基本概念,然后论述它在非良基集合论研究中的起源,接着说明余代数与模态逻辑的联系。最后,余代数提供了一种处理模态逻辑语义的抽象模型,因此具有十分广泛的应用。     

赫尔曼的模态结构主义

以消除本体论预设为宗旨,赫尔曼提出了模态结构主义思想,并发展为数学结构主义中极富影响力的理论框架。模态结构主义强调避免对结构或位置进行逐个量化,而是将结构主义建立在某个域以及该域上满足由公理系统给出隐含定义条件之关系的二阶逻辑可能性上。但以二阶逻辑与初始模态事实为基础,导致其理论实际建立在集合论之上,显然与结构主义初衷不符。此外,其对结构的模态中立主义态度,导致无法说明数学的可应用性,难以规避语义学难题。     

集合与图

集合论是研究集合的数学理论,也是整个现代数学的基础。集合是集合论中最基本的对象。从集合的概念出发,描述集合论悖论的产生及解决方法,继而将集合区分为良基集和非良基集,探讨了用图来刻画集合的方法。考察集合和图的关系是探究非良基现象的一种有力工具,具有重要的理论意义。     

集合与图

集合论是研究集合的数学理论,也是整个现代数学的基础。集合是集合论中最基本的对象。从集合的概念出发,描述集合论悖论的产生及解决方法,继而将集合区分为良基集和非良基集,探讨了用图来刻画集合的方法。考察集合和图的关系是探究非良基现象的一种有力工具,具有重要的理论意义。     

著名大学自主招生集合问题分类赏析

集合论是德国数学家康托在19世纪末创立的,是数学的一个基本的分支学科.集合论在数学中占有独特的地位,它的基本概念已渗透到数学的大多数领域.集合语言是现代数学的基本语言,用集合语言可以简洁、准确地表达数学内容.集合论的初步知识与其他内容有着密切的联系,是学习、掌握和使用数学语言的基础.近几年来,各地著名大学的自主招生考试中涌现出了一批与集合相关联的题目,它们新颖别致、思维灵活,有效地考查了考生的数学素养.     

布尔巴基结构主义与希尔伯特形式主义的比较研究

20世纪初,为克服朴素集合论悖论,构建坚实的数学基础,形式主义者提出了宏伟的"希尔伯特纲领",哥德尔不完全性定理的发表使得形式主义的整体目标以失败告终。重建数学基础的问题再次变得迫切。布尔巴基学派应运而生,逐渐崭露头角并迅猛发展,对20世纪纯粹数学的发展产生了至深的影响。无论是从哲学还是数学的视角看,形式主义与布尔巴基结构主义之间既有着难以分割的联系,又有着许多本质上的差异。两者的共性显示了其在揭示数学知识本质上的哲学深度,而两者之间的异质差异性见证了20世纪数学知识多样恢宏的范式转换。     

如何从集合论观点看待数学教学

集合论在现代数学的发展中起到了基础作用,也使几个数学分支统一到一起。集合论贯穿于整个数学从基础数学到高等数学的知识系统中,无论是概念还是方法,集合论都有着不可替代的作用。     

论布尔巴基结构主义范式的双重性:宏大叙事中的后现代线索

20世纪30年代之后,基础主义三大流派已成强弩之末,布尔巴基结构主义运动开始崭露头角并迅猛发展,成为20世纪纯粹数学发展的一种重要范式。从哲学的视角看,结构主义运动虽仍具有宏大叙事性,但也开始显露出若干后现代思想的迹象,如关联与多样的理论样态、对象实体的弱化与关系结构的生成性与延异性。这种集现代性与后现代性于一身的双重性见证了当代数学复杂多样的范式革命。从“集合-结构”到“层级-结构”的转换和以范畴论引领的数学时代值得期待。     

集合与子集

(本讲适合高中 )集合是现代数学的基础 从某种意义上讲 ,数学的各个分支就是建立在各种满足特定条件的集合之上的。因此 ,充分认识集合的有关概念和性质有助于加深对数学本质的理解 本讲主要讨论以下两个问题 :一是集合的有关概念 ,特别是集合中元素的性质 ,属于集合论范畴 ;     

论集合论基础中的“缺失一半”缺陷及解决思路

继续沿着与“认知”、“数学哲学”、“无穷”相关的研究思路,结合新发现的集合论基础中所存在的问题和具体案例,研究“集合”、“集合中的元素”、“一一对应”这三个集合论中最原始、基本内容的“本体一形式”论性质.结果表明,由于现有经典数学哲学、认知理论体系和无穷理论体系基础理论中的缺陷,导致集合论自创立以来,其基础理论中非常重要的一半内容一直处于完全空白的状态,使人们一直无法从“本体-形式”的角度认真对集合论的基础进行系统、科学的研究与认知[1-11],基础中的“缺失一半”问题是导致集合论中许多错误与悖论的真正根源,集合论基础中有一大片空白亟待人们去填补、开拓[12-16].在集合论基础的研究中,千百年来悬而未决的“无穷悖论综合症”揭示了人类科学现有理论体系中与“无穷”相关的基础理论深处肯定存在严重的缺陷,需要我们从很基础的地方去检查与研究,需要摆脱与“无穷”相关的现有理论体系中错误的“实无穷-潜无穷”思路的不良影响,解决这类特殊的疑难怪症需要开展“无污染基础研究”(这决定了该系列论文的文体和所引用参考文献的特殊性;应该根据所发现的集合类型,将各种各样的集合统一起来,构造出类似于“数谱”的“集合谱系”,以“数谱”、“集合谱系”和“理论无穷一应用无穷”为基础[10],开拓全新的“集合分析”研究领域.     

无穷性的悖论与公理集合论思想述略

康托尔首次引进无穷集合的概念,深刻揭示了无穷的本质特性,从根本上改造了数学的结构,促进了数学新分支的建立和发展。罗素悖论的出现表明集合论是有漏洞的,集合论产生悖论的根源在于集合定义中的自我指称、否定性概念以及与总体、无限的关系。公理化集合论的构建,为数学基础开辟了一个全新的平台。通过集合论的公理化,降低了悖论对数学的威胁。     

数学基础中的逻辑主义

康托尔创立集合论,推进了数学家对于“无穷”的认识,但是却引出了被称为集合论悖论的第三次数学危机,这次危机导致了人们对于数学基础的深入研究。逻辑主义学派不仅致力解决集合论悖论．还决心将数学的基础建立在逻辑之上。该学派的工作虽然极大地促进了数学基础的研究和数理逻辑的发展,但是,将数学建立在逻辑上的目的却没有取得最终的成功。     

关系与映射

集合论是现代数学的理论基础,映射是集合论中用以建立现代数学概念和理论的基本工具和手段。集合与映射是整个中学数学的理论基础。关系是在高等代数学中才出现的概念。关系和映射两个“距离”很远,看似不相干的概念,实则有着密不可分的联系:关系是映射的推广,且均可用集合表示。     

数学基础中的逻辑主义

康托尔创立集合论,推进了数学家对于"无穷"的认识,但是却引出了被称为集合论悖论的第三次数学危机,这次危机导致了人们对于数学基础的深入研究。逻辑主义学派不仅致力解决集合论悖论,还决心将数学的基础建立在逻辑之上。该学派的工作虽然极大地促进了数学基础的研究和数理逻辑的发展,但是,将数学建立在逻辑上的目的却没有取得最终的成功。     

"高观点下的初等数学"的功能分析

现代数学一般是指19世纪30年代以后诞生的数学，它包括非欧几何、抽象代数、集合论、拓朴学、泛函分析、数理逻辑、数学基础等内容，它的基本观点是集合论观点、公理化观点、结构观点和同构观点。“高观点下的初等数学”就是在现代数学观点指导下，研究高等数学与初等数学(即中学数     

关于中学数学中集合的探讨

在数学系统中不仅用集合来描述有关概念.而且用集合来构造,这样,才可以进行数学基础研究的各种推理,阐述数学理论与数学方法的最深刻的内容,因此,集合论作为数学的语言几乎涉及到所有数学分支,是近代数学的各个分支必不可少的工具.构成近代数学的基础之一。由于集合论语言能够描述和表现其它许多学科的内容和思想,因此集合论在计算机科学、人工智能理论、系统论、控制论、信息论、语言学、经济学和心理学等现代科学技术中也有着广泛而重要的应用,所谓集合论,就是就集合本身的一般规律建立起来的理论系统.而对于中学生如何正确理解集合的概念,并运用集合的观点分析和解决某些数学问题是值得研究的。     

集合论方法浅析

集合是现代数学的最基本的概念,本文论述了集合与命题之间的关系以及运用集合的方法来解决一些数学问题的基本思想,并就集合论学习中的一些难点问题作以分析。     

关于“集合与映射”的几个问题

集合论是 19世纪末到 2 0世纪初以康托为代表的一批数学家创立的一门数学理论 .今天集合论本身已经进行了很深入的研究而且仍有勃勃生机 ,更为重要的是 ,集合论已经担负起了为整个数学提供基本语言的重任 ,因此 ,集合和映射的概念及其最基本的性质被写进了我国的中学课本中 ,这样将使得中学课本中的许多内容有了一种区别于传统表达方式的集合论表达方式 .老实说 ,集合论这部分内容比起中学阶段其他内容要容易得多 ,而且基本上无须特别的技巧 .但由于这一部分内容比较新 ,涉及的概念比较抽象 ,所以给教和学两方面都带来了一些问题 .本文的目…     

集合论的创立与发展

康托尔集合论是德国数学家G.Cantor在19世纪70年代创立的,它是数学中最富创造性的伟大成果之一,目前其基本概念已渗透到数学的所有领域,且不断促进着许多数学分科的发展,是整个现代数学的基础.20世纪集合论得到迅速发展和创新,相继出现Fuzzy集合论与可拓集合论,以解决实际中出现的新问题.     

谈《集合论与逻辑代数初步》课程

《集合论与逻辑代数初步》是中央电大八二级数学专业第六学期的一门课程,通过电视播出60学时。这门课程由两个部分组成:集合论初步(30学时)和逻辑代数初步(30学时)。一.集合论初步集合论是现代数学的基础,主要播讲内容有: