学习等比性质应注意的几个问题

学习等比性质应注意下面三个问题：一、等比性质的证明方法九义课本《几何》第二册P202关于等比性质的证明方法叫做参数法，即通过引进参数k，以它为桥梁建立已知与未知或条件与结论之间的联系，从而达到解题或证题的目的．这种方法具有极为重要的典型性，求解与等比（或连比）有关的问题都可采用这种方法．请看下例．＝24，求a、b、c的值，解设，则将上述三式代人3a＋2b－c＝24，得故a＝6，b＝10，c＝14．例2已知a：b：a＝3：4：6，且2a－b＋3c＝20，求4a＋3b－2c的值．解因a：b：c＝3：4：6，故可设a＝3k，b＝4k，C＝6k．将上述三式代入2…     

学习等比性质应注意的几个问题

学习等比性质应注意下面三个问题：一、等比性质的证明方法九义课本《几何》第二册几。。关于等比性质的证明方法叫做参数法儿p通过引进参数是，以它为桥梁建立起已知与未知或条件与结论之间的联系．从而达到解题或证题的目的．这种方法具有极为重要的典型性．求解与等比（或连比）有关的问题都可采用这种方法．请看下例．例1已知干一手一：，且3。＋2心（＝－”一‘2q7——一24，求a、b、厂的值．解设于一手一：一人（k羊O），则一357a。3k，b。sk．c。7k．将上述三式代入3a＋Zb－c—24，得gb＋IO是一7k一24．是一2．故a。6．b。10，c＝1…     

一道全国联赛题的多种解法

题目已知（b－c）‘＝（a－b）卜一a）,””—”－4”—－”一”—－”””一”’。。。,b＋c且a一0,则——一这是99年全国初中数学联赛中的一道填空题．解答该题的关键在于将已知等式变形,找到b＋c与a之间的关系．下面介绍它的几种解法．一、因式分解法解已知等式化为4［a‘－（b＋c）a＋be〕＋（b－c）’＝0．4a‘－4（b＋c）a＋（b＋c）‘＝O．（2－b－c）’＝0ZC·b·C＝0,ZC＝b＋C．故i：u一达一2aa二、换元转化法解设a－b＝x,c－a＝yju三、积化和差法四、巧设比值法解已知等式化为两式相加,得五、添项拼凑法解不难发现b一一…     

勾股定理逆定理在解题中的应用

勾股定理的逆定理是证明两条线段垂直的重要理论依据之一,现举例说明它在解题中的应用．例1三角形的三边a、b、c适合a’＋b‘＋c’＋338＝10a＋24b＋26c,则此三角形为（）（A）锐角三角形;（B）等腰三角形;（C）直角三角形;（D）钝角三角形．解由已知得,（a－5）‘＋（b－12）‘＋（c．13尸一0,…。－5,b－12,c－13．aZ干bZ－cZ此三角形为直角三角形．故选C．例2如图1,已知正方形ABCD,E是AB的中点,F是AD上一点,且AF一十AD．”“’“’“““““‘“‘”“‘一4“——”求证：EF上EC．证明设正方形边长为4a,则AE…     

用“数”, “形”转换探索解题途径的实例分析

用数形转换有时可将代数问题“映射”成几何命题,有时又可将几何命题转化为代数或三角命题,从而使复杂难解的问题较容易地求解．下面举两个将不等式“映射”成几何问题去求解的实例．牵涉三个变量的不等式,有时可映射成适当的立体图形去获得简易的证题途径．例1已知a,b,cR ,且a2＋b2＋c2＝1求证：分析原本等式在已知条件下等价干此构造长、宽、高分别为a,b,c,且对角线长度满足a2＋b2＋c2=1条件的长方体．利用三角形两边之和大于第三边的结论,命题可获证．证明如图1,构造长方体AC,其三度分别是AB=a,BC=b,AA1=c,且对角线长…     

因式分解在解题中的应用

因式分解是初中代数恒等变形的重要方法，它在数学恒等变形中有着广泛的应用．下面我们举例说明因式分解在解题中的初步应用，供同学们学习时参考．一、用于化简求值例1已知有理数a、b满足a2＋b3＋a2b。ah’＋a＋b一0，求awb的值．解将原式左边因式分解，得（ca＋b）（a’－abchb’）＋cab（a＋b）＋（a＋b）—0．再提公因式，得（a＋b）（a’＋b‘＋1）＝0．a’＋b‘＋1学0，“．a＋b＝0．例2已知x一如一2，求x’－4xs＋4y’一3xWe6ywel的值．解原式一件一Zy）’－3（X一如）＋I一2’－3X2＋1—－1．例3已知a－b—2，b－c—1，求a’＋b’…     

二次函数解析式的简捷求法

二次函数是初中数学的一个重要内容，关于二次函数解析式的确定问题在近年的中考试卷中经常出现．这类问题正确而又迅捷求解的关键在于合理选择二次函数解析式．一、选择一般式当二次函数图象经过已知三点时．应选择一般式y一一’＋b。十厂求解·例1已知一个二次函数的图象经过3、＿、—‘——一门．（）、（－2．一3）、（2．O）王占．大过个二次一2—————”——－’‘’““—”“－””函数的解析式．（199年福建省中考题）解设所求的二次函数解析式为依题意．有解了．得二、选择顶点式食日果已知条件中出现了二次函数的顶点坐标为…     

一类课本不等式的推广

现行教材高中《代数》下册,有一类课本的例习题．已知a,b＞0,求证：这一组不等式结构对称、和谐、具有数学之美,笔者现将此类不等式作一些推广命题1已知a、b＞0,证明因为a、b＞0,n=p十q（高中教材《代数》下册32页第5题）证明由命题2得三式相加即得命题3已知a、b、c...     

《欢迎您──1995》解答

1．要想从已知等式解出a、b、c是不可能的．因此，应对待求值式进行适当的变换，把未知转化为已知或可知，然后再整体代入．由已知，得a－C=50．这是可知．＿＿1，。，＿，，、，，，＿，，、，，＿，、，，B巨rt一一＞厂（。‘－2。b＋b‘）＋（b’－Zbc＞卜c’）＋（c‘－Zac＋a‘）」＋5—””—”2“”—————”－－1，。，、，。，、，。、，，＿一H（rt－b）’W（b－C）‘＋（C－rt）‘」＋52“”—一”－””—”。I，，＿＿／二一二二二、，，＿＿／二7二二二、，l－＿，，l－，＿＿＿一H「（25W／115）’＋（25－Jll5）‘…     

中考中的阅读理解型试题

近年来，各省市中考试卷中频频出现了引人注目的阅读理解型试题．这类题型的特点鲜明、内容丰富、形式多样、构思独特、寓意深刻．这类题可以从不同侧面综合地考察学生的阅读理解能力、分析报理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表述能力及探索、迁移能力等．1阅读──理解──判断例1阅读下题的解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2—b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．解～a’c’－b’c‘。a‘－b‘，（A）”．cZ（aZ－b2）＝（a’＋bZ）（a’－b2），（B）“，2一a’＋bZ，（C）．”．凸ABC是直角三角形．（D）…     

不等式的证明

关于不等式的证明,不少学生感到无从下手,其原因是证明思路没有一定的程序可循。各种类型不等式的证明,虽然涉及的范围广泛,技巧多样,方法灵活,但常用的有下面几种方法。一、比较法这是证明不等式的基本方法。如要证A＞B,可证A－B＞0或B－A＜0——求差比较法;如A＞0．B＞0．要证A＞B．可证＞1或求商比较法。例1、求证：a2＋b2＋c2＋4＞ab+3b+2c二、综合法利用题没和某些已知不等式作为基础,运用不等式的性质推导出欲证的不等式。综合法的思路是“由因导果”。例2（见上倒入I小口H：“．’a“＋b“＋c“＋4＝ta“＋＿r）＋〕t…     

由递推式an＋1=（aan＋b）/（an＋c）求通项an的几个结论

已知数列{an}满足an＋1=aan＋b/an＋c,其中a1已知,a,b,c为实常数,求通项公式an.根据递推式an＋1=aan＋b/an＋c（Ⅰ）的结构特征,可将它转化为等比关系：     

构造方程求代数式的值

代数式的求值问题能用构造方程法获得优解,其关键是如何根据题目的特点构造一元二次方程．本文举例介绍几种方法．一、主无法从多个未知数中选一个为主元,把已知等式整理成关于主元的二次方程．例1已知a、入c、d为非零实数,且满足n2／上0／。1＼。。2。oA｛n。。＼／＿n卞LVV－＋O＼O＋1）＋C十二otD＋C）C＝V．爿r——批的值．解由已知得（。‘＋b’）d’＋Zb（。＋c）d＋bZ＋cZ＝0a、b‘c、d为非零实数,凸一4b’（a＋c）’－4（a‘＋b’）（b’＋c’）＞0,即（b’－ac）’＜0而（b‘ac）‘3O,＿炉b“．ac＝0·二一lac二、利用…     

应用分母换元法巧证一类竞赛题

有一类竞赛题,如果采用分母局部换元,再经过恒等变形后,便可借助于熟知的不等式：等号成立）,使问题获得简洁的证明．此法思路自然操作简单,易为学生掌握．例1已知a,b,,求证：（1963年莫斯科竟赛题）（1988年国际友谊杯竞赛题）例2设a,b,c为正实数且流足abc＝1,求证：（第36届IMO试题）证求证式变形为例3设a,b,c,d为非贸实数,且ah十ie＋cd＋da—l,求证：（IMO预选题）例4证明对于任意正数。1,。2,…,。,有（1976年英国竞赛题（1984年巴尔干数学竞赛题）证设2—a;一x;,则x,MO,（第30届IMO预选题）证设s一】a;…     

有条件的分式求值的若干技巧

1　巧引参数例 1　已知 x2 =y3 =z4,那么x2 -2y2 + 3z2xy+ 2yz + 3zx 的值等于 .(1997年“希望杯”初中数学邀请赛初二题 )解　设 x2 =y3 =z4=k(k≠ 0 ) ,则x= 2k ,y =3k ,z=4k ,所以 x2 -2y2 + 3z2xy + 2yz+ 3zx=4k2 -18k2 + 48k26k2 + 2 4k2 + 2 4k2 =3 4k25 4k2 =172 7.评注　本例通过引入参数 ,以参数为媒介减少变量个数 ,实现问题转化的目的 .2　巧用性质例 2　已知abc≠ 0 ,且 a+b -cc =a-b +cb =-a +b+cc ,则(a+b) (b+c) (c +a)abc 的值是或 .(1997年“希望杯”初中数学邀请赛初二题 )解　当a +b+c≠ 0 ,由等比定理 ,得a +b-cc =a -b…     

巧用移项变形求值

移项是一种重要的变形,其特点是把某项改变符号后,从等式的一边移到另一边,它是解方程不可缺少的步骤．巧用它,能迅捷地解答一些求值问题．例1若mZ＋。－l＝0,则m3＋2m2＋1997二（1997年’‘希望杯”初一数学邀请赛试题）解将m’＋m－l＝0移项,得例2若a＋b＋c二0,a‘＋b‘＋c‘＝l,那么a（＋J’＋b（c＋J’＋c（a＋b）’一解将a＋b＋c＝0移项,得o十b一一a,b十a一一0,’＋“＝－b．则待求式一a（－a）’＋b（－b）’＋c（－c）’＝－（a‘＋b‘＋c‘）一一互．993Cgha‘－he二一5,Zle＋bZ二3,Ng3（a‘＋b‘）b（be）二·（19…     

妙用设K法—OK!

在证明等比性质时 ,巧妙地运用了设 k方法 ,收到了出奇制胜的效果 .设 k法的实质是借用 k为参数 ,建立已知与未知之间的联系 ,达到解题目的 .现列举实例 ,介绍 .一、用设 k法求值例 1　 ( 1999年天津市初二数学竞赛试题 )已知a + b - cc =a - b + cb =- a + b + ca ,求( a + b) ( b + c) ( c + a)abc 的值 .解 :设 a + b - cc =a - b + cb =- a + b + ca =k,则 a + b =( k + 1) c, 1a + c=( k + 1) b, 2b + c =( k + 1) a, 3由 1+ 2 + 3,得 ( k - 1) ( a + b + c) =1,∴ k =1或 a + b + c =0 .当 k =1时 ,a + b =2 c,b + c =2 a,c+ a =2 b,…     

参数──比例变换的桥梁

我们在九义教材《几何》第二册P202学到等比性质时，它的证明方法是：设，则从上述可知，证明的关键是引进参数k，即设等比的比值为k，以及为桥梁，用b、d、…、n来表示a、c、…、m，从而把待证式左端的分子分母转化为具有相同因式的代数式，再通过约分化简即达到证明或求解的目的．这种证明方法叫做参数法，它在解决与等比有关的问题时，往往能收到事半功倍的效果．请看以下各例．（1994年甘肃省中考题）例2若则的值（1994年徐州市中考题）求x－y＋z的值．（1991年山东省中考题）解设，则将它们代入x＋y－z＝6，得解因x：y：y＝3：4：5，…     

逆向运用 妙解生辉

学习了分式加减运算法则,同学们对法则的正向运用比较得心应手,而对法则的逆用却不习惯．其实,有许多问题,逆用分式加减运算法则,常能得到巧妙的解法．一、用于化简故选A．二、用于求值例2若ah－2＋（b－l）‘二0,试求十十＿＋＿＋…＋＿的值．“’—””—－’—““～’－““ah（a十1）（b＋l）（a＋2）（b＋2）’（a＋1996）（b＋ITh）“““”门ops年长春市初二数学竞赛试题）解…lab－ZI＋（b一小一0,由非负数的性质,得ah－2＝0且hi＝0．故a二2,b二1．代人求值式,得三、用于证明恒等式四、用于求最值（l”3年全国初中数学…     

多变元数学问题的处理策略

对于含有多个变量的数学问题的求解 ,在变量的处理上我们往往会感到束手无策 ,本文将介绍在这一类问题上如何减少变量、简化运算的几种策略 .1　辅助设元 ,架起已知和未知的桥梁 ,实现数与数之间的转化例 1　若 5a =2 b =1 0 c,且abc≠ 0 ,则 ca cb 的值等于 (　　 ) .A .4　　B .3　　C .2　　D .1分析　令 5a =2 b =1 0 c =t,即得a ,b ,c与t的关系 ,ca cb 的求值问题即可转化为关于t的数量运算问题 .解　令 5a =2 b =1 0 c =t,则a=log5t,b =log2 t,c =2lgt,从而 ca cb =2lgt( 1log5t 1log2 t) =2lgt(logt5 logt2 ) =2 .注 :已知…