第四届全国中学生数学冬令营试题及解答

一、在半径为1的圆周上,任意给定两个点集 A 和 B,它们都由有限段互不相交的弧组成,其中 B 的每段弧的长度都等于(π/m),m是个自然数.     

借助图象形象解决问题

【例1】集合A={α｜α=2π3 2kπ,k∈z},集合B={α｜α=π6 kπ2,k∈z},判断集合A为集合B的真子集.代数解法:当k=4m 1时,α=π6 4m 12π=π6 π2 2mπ=2π3 2mπ(m∈z),∴A B.又∵π6∈B,但π6A,∴集合A为集合B的真子集.代数解法具有推理严谨的优点,但是晦涩难懂,对比图象解法.图象解法:图1表示集合A,集合A的角之间相差2π.图2表示集合B,集合B的角之间相差π2.所以,集合A为集合B的真子集.图1图2练习:1.已知集合A={α｜α=4kπ,k∈z},B={α｜α=2kπ,k∈z},C={α｜α=kπ,k∈z},D={α｜α=12kπ,k∈z},判断集合A,B,C,D之间的关系.2…     

近世代数基础自测题

(供高中教师用)一、填空题:1、已知集合月,二{a,b},B={b,c,d} (1)才又B::{} B xA:二{} (2)集合X自寸一勿子集所组成的集合叫做X的幂集,表示为P(X) p(B)二泛}; (3)若万是若亏有二个元素的有限集合,那么尸(N),是含有___一个元索的集合。2、在一切非负多马数的集合A中,令劝:,:-一一一~~典、 刀十1集合B={叻(n)!。〔A}“{势是集合A到B的__,.___映射,如一育逆映射,则道{}义射,势一‘:中学教师《专业合格证书》考试专栏 3那么, 4、设G是N阶有限群,H是G的一个。阶子群,如果H的右陪集(或左陪集)的个数为j,N,n,j之间的关系是___称为________…     

三角形垂心定理的再推广

在拙文[1]中,我们曾利用坐标法,将三角形垂心定理推广为定理1设闭折线A(n)内接于⊙O,其二级顶点子集V jm的垂心为H jm,过点H jm作直线A j Am的垂线l jm,则诸直线l jm(1≤j相似文献   

第四届全国中学生冬令营试题解答

一、解:诊B是由B,,BZ,……,万二这”段互不相交的弧组成,于是“A‘门方)一溉l‘A,门易). 、,11、厂不_1劣‘/二”‘J又下)“心不二i;叨7万; 蕊一毛困“一土‘叫、、‘矛zl作广声叮.、 g记和式习‘、声「nB)一刀,则“一习‘(A“nB)-“‘一,‘六怂.二。(;艺二) 斌件一吞,t皿。朴.2协一韶.所以习护子端;)、之公了一、.名习“沙门几)一艺乙‘(“。B‘)。记毋为集为.lt一1嘴一1气一IB4在圆周:。时针、转资弧:听得的集合(K一1,2,二,2脚),那么l(月落n方‘)=i。一注nB尝).注意到‘(B.)一令一,所以毋,斌,…,川。合在一起恰好构成整个圆周c,于…     

和圆有关的计算问题归类例析

在中考试题中,常常出现与圆有关的计算问题.它包括弧长、扇形面积、圆柱、圆锥的侧(全)面积和简单组合图形面积的计算.一、计算弧长例1已知圆的面积为81πcm2,其圆周上一段弧长为3πcm,那么这段弧所对的圆心角的度数为#$%.分析:由圆的面积可求出圆的半径R=9cm,又弧长l=3πcm,由l=nπR180,得n=1π8R0l=18π0××93π=60,故圆心角为60°.例2已知矩形ABCD的长AB=4,宽AD=3,按如图1放置在直线AP上,然后不滑动地转动,当它转动一周时(A→A′),顶点A所经过的路线长等于()*+.分析:顶点A所经过的路线是由分别以B、C、D为圆心,半径分别为4、5、…     

对周期数列的探讨

定义1.对于无穷数列{x_n},如果存在一个自然数m,当n取一切自然数时,等式 x_(n m)=X_n恒成立。则称数列{x_n}为周期数列,自然数m叫做它的一个周期。如{sin(2n/3)π}就是周期数列,3是它的一个周期。定义2.如果有若干个自然数都是同一数列的周期,则把最小的周期叫做这个数列的最小周期。如4,8,…,4k(k∈N)都是数列{i~n}的周期,4是它的最小周期。本文以后所提到数列的周期都是指最小周期。下面我们求探讨周期数列{x_n}的通项公式。 (一) 周期为1的数列: x_(n 1)=x_n。即为常数列:x_n=c。     

与圆有关的计算题分类解析

与圆有关的计算题包括关于弧、扇形、圆柱(圆锥)以及简单组合图形的计算.现分类举例如下.一、有关弧的计算例1已知圆的面积为81πcm2,圆周上的一段弧长为3πcm,那么这段弧所对的圆心角为.解析:根据圆的面积求出圆的半径R=9cm,又知圆周上的一段弧长l=3πcm.由弧长公式l=nπR180,     

划分整数集合的相关问题

设集A_1,A_2,…,A_n是集A的非空子集,且满足: (1)A_1∩A_j=(?),(i≠j,i,j=1,2,…,n) (2)A=A_1∪A_2∪…∪A_n。则称(A_1,A_2,…,A_n)为A的一个划分。整数集合的划分在近年数学竞赛中时常出现,其题型通常有两类:一是根据子集应具备的某种特性,讨论划分的存在性;二是根据给定的划分,讨论划分后子集有关特性. 一、求解集合划分问题的基本思路划分一个集合,就是构造这十集合的子集.而这种构造过程经常要综合运用多种数学思想和方法例1 求两个最小的正整数n,使集{1,2,…,3n-1,3n}可以分为n个互不相交的三元组{x,y,z},其中x+y=3z (1990年国家集训队训练题) 解:设所求三元数组为(x_i,y_i,z_i),(i=1,2,…,     

从一道高考题的错证看学点数理逻辑的必要性

1986年全国高考试卷中有这么一道题: 已知 x_1>0,x_1≠1,且x_(n+1)=(x_n(x_n~2+3))/(3x_n~2+1)(n=1,2,3…) 求证数列{x_n}或者对任意自然数n都满足x_nx_(n+1)。这题有不少证法,拙作《递推式》(上海科技出版社1989年版)中曾引了五种证法。高考结束后,在一份数学杂志上曾刊登了一则利用反证法的证明。兹将它摘录如下: “证”若设{x_n}对任意的自然数n既不满足x_nx_(n+1),则应满足x_n=x_(n+1)。再由题设可得 x_n=(x_n(x_n~2+3))/(3x_n~2+1) 3x_n~3+x_n=x_n~3+3x_n ∴x_n=0,1,-1。     

全国数学竞赛命题有奖比赛获奖题目选登

13.已知A,儿任N,n>1,求证:A=4 .n二2或(广东省茂名市一中王梦阳)」 1,,n任N(仁幻表示的是不超过x护一Al r.J !犯 n一一 且A/P.B压的最大整数,N是自然数集). (湖北省随州市职业教育中心齐家晖) 14.求证:是否存在四边形PQRS’,满足四边形P口RS内接于△ABC(如图),且S,=S:=S。=S一/     

集合的概念

集合是现代数学中最基本的概念之一。集合的含义可以这样描述:凡具有某种特性的对象组成的全体就是集合,组成集合的对象叫做这个集合的元素。我们通常用大写字母 A、B、C……表示集合,用小写字母 a、b、c……表示集合的元素。又用符号 a∈A 表示 a 是集合 A 的元素(读作 a 属于 A),用b(?)A 表示 b 不是 A 的元素(读作 b 不属于 A)。集合中元素的特性是识别一个对象是否为该集合的元素的依据。集合的元素可以是任何对象。太阳系的行星可以组成一个集合,一个学校的所有教师可以组成一个集合,一条直线上所有的点可以组成一个集合,大于3小于10的自然数也可以组成一个集合。集合不限定要包含多少个元素。我们把由无限个元素组成的集合叫做无限集合(如自然数集     

关于立方数集合二分拆

研究立方数集合M的二分拆问题T2(n):能否将集合M={13,23,…,n3}分成二个互不相交的子集A1、A2的并集,并且每个子集Ai的元素之和相等。研究结果获得了问题T2(n)有解的充要条件是n≡0,3(mod 4)且n≠3,4,7,8,11。最后,提出了关于循环周期的一些猜想。     

数学竞赛中的集合问题

本讲适合高中 )1　关于集合的概念与运算例 1　若非空集合A ={x| 2a 1 ≤x≤3a - 5},B ={x| 3≤x≤2 2 },则能使A (A∩B)成立的所有a的集合是 (　　 ) .(A) {a| 1 ≤a≤9}　　(B) {a| 6 ≤a≤9}(C) {a|a≤9}(D) ( 1 998,全国高中数学联赛 )图 1解 :根据A (A∩B)可知A B ,如图 1所示 .从而 ,2a 1 ≥3,3a - 5≤2 2 ,3a - 5≥2a 1 6 ≤a≤9,即a∈ {a| 6 ≤a≤9}.故选 (B) .注 :借助韦恩图或数轴可直观地表示出集合与集合的关系 ,使题设更加清晰、明了 .例 2　设集合M ={u|u =1 2m 8n 4l,m、n、l∈Z},N ={u|u =2 0p 1 6q…     

欧拉闭折线及其性质

本文约定:符号A(n)表示内接于⊙(O,R)的任意一条闭折线A_1A_2A_3…A_nA_1。由A(n)的所有顶点组成的集合{A_1,A_2,…,A_n},称为A(n)的顶点全集n。这个点集中任意除去一个点A_j(1≤j≤n),其余(n-1)个点组成的集合{A_1,A_2,…,A_(j-1),A_(j 1),…,A_n},称为A(n)的顶     

每期一题

己知抛物线y~2=2px的一条焦点弦被焦点分成长为m,n的两部分求证:1/m 1/n=2/p 如图设A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),m=|FA|,n=|FB|,F(1/2p,0),准线方程x 1/2p=0。     

第30届IMO试题及解答

第一天 (布伦瑞克,1989.7.18) 1.求证:集合{1,2.…,1989}可以分为117个互不相交的子集A_i(i=1,2,…,117),使得 (1)每个A_i含有17个元素; (2)每个A_i中各元素之和相同. 2.锐角三角形ABC中,A角的等分线与三角形的外接圆交于另一点A_1.点B_1,C_1与此类似.直线AA_1与B,C两角的外角等分线相交于A_0.点B_0,C_0与此类似.求证:     

2009中国数学奥林匹克第6题的解法追源

题目给定整数n（n≥3）．证明：存在n个互不相同的正整数组成的集合S,使得对S的任意两个不同的非空子集A、B,数∑x∈A x/｜A｜与∑x∈B x/｜B｜是互质的合数．这里,∑x∈A x与｜A｜分别表示有限数集A中所有元素之和与元素个数．     

2006年第9期问题

49.设a,b,c∈R ,且a b c=1,求证:11(a2 b2 c2)-3(a4 b4 c4)≥392.(安徽潜山二中246300琚国起提供)50.已知关于x的三次方程x3-Ax2 x-B=0有三个正实根,其中A,B为参数.试求A8-B B A2的最小值.(湖南省武冈市十中422400邓集春提供)51.若x,y,z∈R ,n是不小于3的自然数,且xyz=1,求证:(1 y)x(n1 z) (1 z)(y n1 x) (1 x)(z n1 y)≥43.(江苏如皋市教师进修学校226500徐道提供)52.在两个正数a,b(a≠b)之间插入n个正数a1,a2,…,an,使这n 2个正数成等差数列,n∈N ,求证:a21 a22 … an2<12n(a2 b2).(安徽省明光市涧溪中学239461盛宏礼提供)53.过B、A…     

第54届莫斯科数学奥林匹克试题解答

八年级 1.略。 2.都可以。注:本题应将分规理解为两脚间距离l固定的圆规,因而可用其作弧。按题意要求,需求作点A关于点B的对称点A'(亦即点C)。为方便计,将点X关干点B的对称点记作X'。首先,若XB=l,则先以点B为同心,以l为半径作圆,再在圆周上自点X开始相继截3段长为l的弦,即得点X'。以下所作