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1.
罗荣洁 《中学数学研究(江西师大)》2005,(9):47-49
柯西不等式为:(a1b1 a2b2 … anbn)2≤(a21 a22 … a2n)(b21 b22十… b2n).其中ai,bi∈R(i=1,2,…,n).当且仅当a1/b1=a2/b2=…=an/bn时取"=",(约定ai=0时,bi=0,i=1,2,…,n).对于许多不等式问题,若善于运用柯西不等式及其等价形式,则往往会使一些棘手的问题变得简单明了.关键是构造适合不等式的条件,并能根据问题探索其等价形式. 相似文献
2.
徐希扬 《中学数学研究(江西师大)》2005,(1):40-41
设ai、bi∈R(i=1,2,…,n),则(n∑i=1a2i·n∑i=1b2i≥(n∑i=1aibi)2),等号当且仅当(a1/b1=a2/b2)=…=an/bn时成立,这就是著名的柯西不等式.若在此不等式中作如下代换:令ai=(√xi),bi=(√yi),即得如下定理: 相似文献
3.
一个不等式的推广 总被引:3,自引:0,他引:3
文 [1 ]给出了下面一个三角形不等式 :设△ABC的三边长分别为a、b、c ,则13 ≤ a2 +b2 +c2(a +b +c) 2 <12 ,①当且仅当a =b =c时等号成立 .本文将不等式①推广为 :设△ABC的三边长分别为a、b、c .对于任意正整数n ,n >1 ,有13 n - 1≤ an+bn+cn(a +b +c) n<12 n- 1,②当且仅当a =b =c时等号成立 .证明 :根据文 [2 ],有an+bn+cn3 ≥ a +b +c3n,当且仅当a =b =c时等号成立 .由此易知第一个不等式成立 ,取等号的条件也成立 .下面证明第二个不等式 ,这等价于an+bn+cn<12 n - 1(a +b +c) n.③用数学归纳法 .当n =2时 ,由式①知式③成立 .设n … 相似文献
4.
问题[1] 设a1,a2 ,a3,a4 ∈R+ ,求证a31a2 +a3+a4+a32a3+a4 +a1+a33a4 +a1+a2+a34 a1+a2 +a3≥(a1+a2 +a3+a4 ) 21 2 ①文 [2 ]应用基本不等式 ,将不等式①推广为 :定理 1 设a1,a2 ,… ,an∈R+ ,a1+a2 +… +an=s,k∈N ,k≥ 2 ,则有ak1s-a1+ak2s-a2+… +akns-an≥ sk - 1(n -1 )nk- 2 ②其中等号当且仅当a1=a2 =… =an 时成立。定理 2 设a1,a2 ,… ,an∈R+ ,a1+a2 +… +an=s,k∈N ,k≥ 2 ,则有∑ni=1akis-ai≥ 1n -1 ∑ni=1ak- 1i ③其中等号当且仅当a1=a2 =… =an 时成立。本文给出两点注记 :注记 1 定理 1的条件可以放宽为 :设ai≥ … 相似文献
5.
文 [1 ]研究了正项等差数列不等式 ,本文继续研究这个问题 .为了方便起见 ,本文约定{ an}是公差为 d的正项等差数列 ,d,m,n,p,l为正整数 ,且 man (i 1 ) man im ,i∈N.因为对于正数 a,b,m,a b ma m,易证引理成立 .定理 1 (1 ma1 ) (1 ma2 )… (1 man)≥(an 1 an 2 … an ma1 a2 … am) 1 d.(当且仅当 d=1时等号成立 )证明 设不等式的左端为 M.若 d=1 ,则因 1 mai=ai m· 1ai=ai mai,故M=a1 ma1· a2 ma2… an man=am 1 am 2 … am (n- m) · an 1 … an ma1 a2… 相似文献
6.
柯西不等式(a21 a22 … a2n)(b21 b22 … b2n)≥(a1b1 a2b2 … anbn)2及其变式(a21/b1) (a22/b2) … (a2n/bn)≥((a1 a2 … an)2/b1 b2 … bn)(a1,a2,…an;b1,b2,…,bn∈R ),在证(解)不等式中有重要应用,这是众所周知的.然而在使用柯西不等式时:(1)怎样更直接、更有效地使用它,使证(解)过程更简洁;(2)如何在证(解)那些形式上与柯西不等式相差甚远的不等式时使用它.这些却是常被忽视的问题.以下通过几例具体说明. 相似文献
7.
柯西不等式:设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn∈R,则(a12+a22+…+a2n)(b12+b22+…+b2n)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.柯西不等式具有对称和谐的结构特征,应用关键在于构造两组数ai,bi(i=1,2,…,n),进行合理的变形,找准解 相似文献
8.
王增强 《中学数学研究(江西师大)》2013,(2):23-25
在不等式的王国中,我们知道有很多不等式都是用华罗庚先生的名字命名的,其中有一个初等不等式如下:
华罗庚不等式[1]设ak为实数,p,q>0则(P-n∑k=1ak)2+q(n∑k=1a2k)≥pq2/n+q.仅当a1=a2=…=an=qp/n+q时等号成立. 相似文献
9.
李丽丽 《数理化学习(高中版)》2002,(19)
高中数学第二册上§6.2均值不等式定理:如果a、b是正数,那么a+b/2≥ab~(1/2)(当且仅当a=b时取“=”号),它有如下推广:如果a1,a2,…,an(n ∈N),n≥2)均为正数,那么(当且仅当a1=a2=…=an时取“=”号). 相似文献
10.
王晓凤 《通化师范学院学报》2006,27(2):23-25
1柯西不等式的基本形式及推广由文献知柯西不等式(cauchy)表述为:对任意a1,a2…,aa;b1,b2…ba∈R,有(a1b1 a2b2 … anbn)2(a21 a22 …a2n)(b21 b22 …b2n),当且仅当a1b1=a2b2=A=anbn时,等号成立(简记为∑ni=1aibj2n∑i=1a2i∑ni=1b2i).柯西不等式有着非常广泛的应用,下面先介绍 相似文献
11.
柯西不等式可以很好地考查学生的运算求解能力和逻辑思维能力,因而成为高中数学各类考试中的热门考点.n 维柯西不等式的一般形式:对任意的实数a1,a2,…,an 及b1,b2,…,bn ,有((nΣi=1aibi)2≤(nΣi=1a2i)(nΣi=1b2i)),其中当且仅当a1/b1=a2/b2=…=an/bn时(当bk ... 相似文献
12.
一类无理不等式的证明 总被引:3,自引:1,他引:3
若 a,b∈ R ,λ≥ 0 ,n∈N,n≥ 2 ,且 a≤b,则有n a λ- n λa ≥n b λ- n λb . (1 )等号当且仅当 a=b时成立 .证明 根据公式 an- bn=(a- b) (an- 1 an- 2 b … bn- 1 ) ,知n a λ- n λa =(na λ- n λ ) (n (a λ) n- 1 … n λn- 1 )a(n (a λ) n- 1 … n λn- 1 )= 1n (a λ) n- 1 n (a λ) n- 2 λ … n λn- 1≥ 1n (b λ) n- 1 n (a λ) n- 2 λ … n λn- 1=n b λ- n λb .其中等号当且仅当 a=b时成立 ,故 (1 )得证 .利用不等式 (1 ) ,可以使一大批这类不等式获得简证 .例 1 已知正数 a,b,c满足 a b c=3 ,求证 :4a … 相似文献
13.
著名的均值不等式“若a1,a2,…,an∈R+,则仅当a1=a2=…=an(n≥2,n∈N)时等号成立”是一个应用广泛的不等式,许多外形与它截然相异的函数式,常常也能利用它巧妙地求出最值,且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容,因此必须掌握利用重要不等式求函数的最值的方法和技巧. 相似文献
14.
董文藤 《中学生数理化(高中版)》2004,(10):17-17
证明形如a1 a2 … an≥f(n)的不等式,通常是用数学归纳法,但若将f(n)看做是一个数列{bn}的前n项和,则可通过证明an≥bn进而证明a1 a2 … an≥b1 b2 … bn=f(n)成立. 相似文献
15.
16.
戴志祥 《数理天地(高中版)》2010,(4):23-24
柯西不等式
设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn∈R,则(a1^2;+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn),当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立. 相似文献
17.
李少杰 《濮阳职业技术学院学报》2004,17(3):63-64
定理:设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn是任意实数,则有:等号当且仅当a1/b1=a2/b2=…=an/bn时成立。证明:(可用判别式,求差——配方法、比值法、数学归纳法、及利用不等式xy≤x2 y2/2等方法证明)。应用柯西不等式证题的关键是要善于构造两组数: 相似文献
18.
柯西不等式:(a1b1+a2b2+…+anbn)^2≤(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)(当且仅当b1/a1=b2/a2=b3/a3=…=bn/an时,等号成立)是一个重要的不等式,其结构和谐、形式优美、应用广泛,是高考考查的热点.本文举例说明柯西不等式在求值、求最值、证明不等式及求参数的范围等方面的应用. 相似文献
19.
戴志祥 《河北理科教学研究》2013,(6)
均值不等式:设a1,a2,…,an∈R+,则a1+a2+…+an/n≥√a1a2…an
当且仅当a1=a2=…=an时,不等式等号成立.
学生在应用时,最感困难的是怎样变形来沟通待解决的问题与均值不等式之间的联系,确实应用均值不等式解题是以适当的变形为基础,可以说恰到好处的变形是应用均值不等式解题的关键.为此,本文归纳运用均值不等式解题的变形技巧,供参考. 相似文献
20.
在国内外数学竞赛以及一些数学杂志上出现了一类分式不等式 ,许多专家都曾对这类不等式作过研究 ,指出了较多好的证法 .本文旨在说明这类分式不等式有一种统一初等证法 ,就是都利用一个常见的简单不等式 (a1+a2 +… +an) (1a1+ 1a2 +… +1an)≥n2 (ai >0 ,i=1 ,2 ,3,… ,n)加以证明的 .问题 1 (英国竞赛题 )设正数a1,a2 ,… ,an 之和为S ,求证 :a1 S -a1+a2S -a2+… +anS -an≥ nn - 1 (n∈N ,n≥ 2 ) .解析 原不等式等价于(a1 S-a1 +1 ) +(a2S-a2 +1 ) +… +(anS-an +1 )≥ nn - 1 +n ,即 SS-a1+ SS-a2 +… + SS-an ≥ n2n- 1 ,即… 相似文献