不等式a_1~2+a_2~2+…+a_n~2/n≥(a_1+a_2+…+a_n)~2/n的证明

本刊1983年第二期《不等式(a~2+b~2)/2≥((a+b)/2)~2的推广与应用》一文证明了下面命题: 若a_1,a_2,…,a_n都是实数(n属于自然数),则有     

递推数列a_(n+1)=qa_n+b_1p_1~n十b_2p_2~n+b_3的通项公式

我们考虑这样的数列:已知数列{a_n}的a_1,并且递推公式为a_(n+1)=qa_n+b_1P_1~n+b_2p_2~n+b_3,其中q,P_1,P_2,b_1,b_2,b_3为常数,且q≠0,P_1,P_2≠1,P_1≠P_2,这个数列的通项公式如何求法,我们分以下几种情况来讨论这种问题.一、q≠1的情况(一)当q≠pi(i=1,2)时,设a_n=u_n+a_1p_1~n+a_2p_2~n+a_3,其中a_1、a_2、a_3为待定系数.将此式代入上面的递推公式中,得     

对一个不等式的补充

题目若正数a、b、c满足a b c=1，李长明老师在《再谈一个不等式的改进与推广》（本刊94—2期）一文中，对上述不等式从数形结合的角度给出了证明和推广，读后深受启发，本文再对上述不等式的下界给出一种小巧玲珑的代数证法，并对推广后的不等式也给出一个漂亮的纯代数证法．三式相加得：下面证明推广后的不等式：证明（i）先证下界化简得；对i求和得：（ii）再证上界设t＞0，由均值不等式有当且仅当pa_1＋q=pa_2＋q=…pa_n q时取等号，解得把t的值代入（1）式化简得：当且仅当a_l=a_2=…a_n=1/n时取等号。综合(i)、(ii)、(*)式得证，至此本…     

浅谈(a~2+b~2)/2≥[(a+b)/2]~2的证明

(a2+b2)/2≥((a+b)/2)~2(人教版第二册第11页第1题)是一个很重要的不等式,证明它有很多方法,用它可以求某些式子的最值,并且可以证明一些不等式,下面给出几种有关它的证明方法以及它的一些应用.     

一个不等式的再研究

文［1］给出了不等式——＞壬（nEN且n＞2）的一种证法．下面给出此不等式的一种简单证法．证明为证原不等式先证下式，综合1”，2”可知（1）式成立，从而原不等式成立．运用上面的方法，不难得到以下两个不等式：命题置若nEN且n＞2，则nlthe证明1”当n一2时，左边2”当n＞3时，左边一n综合1”，2呵知（2）式成立．命题2若nEN且n＞2，则，；’证明时分n—2，n—3，n＞4三种情况讨论，并用公式l’＋2‘＋…＋n‘一万。‘（。＋1）’’。，，l，·、。—、——4求和，证明略．一个不等式的再研究@胡斌$山东省惠民师范学校!2517001张辉.一…     

一个不等式的商榷

本刊86年第一期刊载的“一个不等式的证明”所介绍的不等式,若a_1>0,a_2>1,…,a_n>1,且sum from i=1 to n(a_1)=K,证I_n~K=(a_1 1/a_1)(a_2 1/a_2)…(a_n 1/a_n),则I_n~K≥(K/n n/K)~n。这个不等式在一般情况下是不成立的,例如当a_1=4,a_2=5则K=6,I_2~9=(4 1/4)(5 1/5)=22.1,而(9/2 2/9)~2=22.37 ∴I_2~9<(9/2 2/9)~2。为了指出其错误之处,现将其引理的证明抄录于下。 I_2~K=(a_1 1/a_1)(a_2 1/a_2)=a_1a_2 (a_1~2 a_2~2)/a_1a_2     

关于离散函数的一个命题及其应用

关于离散函数有如下命题设f（x）是定义在数列{a_1，a_2，…，a_n｝上的函数．（1）如果f（x）存在最大值f（a_k），且关于i的不等式组（2）如果f（x）存在最小值f（a_k），且关当数列{a_n}为无穷数列时，命题仍成立．证我们只证明（l），(2）的证明和（1）完全一样．∵f（x）在{a_l，a_2，…，a_n}上的最大值从证明过程可知，当f（x）定义在无穷数列上时，命题仍成立．此命题虽然形式和证明都非常简单,但却有广泛的应用．例1若对正整数n，记a_n=10~n/n,则使a_n取值最大的n是多少？（1988年上海市高中数学竞赛高三第一试第二题）解∵　当n充…     

一道IMO预选题的两种证法

第39届IMO预选题的第11题：证明：《中等数学》1999年第5期给出了两种不同的妙证，事实上用均值不等式就能证明．证法1由①＋②＋③得：上述不等式都是在x＝y＝z＝1时取等号．　当且仅当x＝y＝z＝1时原不等式取等号．证法2由①＋②＋③得：上述不等式都在x＝y＝z＝1时取等号．当且仅当x＝y＝z＝1时原不等式取等号．一道IMO预选题的两种证法@李来敏$重庆市武隆县中学!408500     

利用初等数学证明(■n n)/n>(■n(n 1))/(n 1)(n>2 n∈N)

在数学的微积分教材中,有一道习题(或例题)证明级数(?)条件收敛。这是一交错级数,若运用莱布尼兹判别法,涉及到证明 Un≥Un 1,即证明(?)nn/n>(?)(n 1)/n 1(n>2,n∈N) (1)高等数学中,通常运用导数确定其相应函数的单调性后再作推导,这种方法很简单,但用初等数学能否证明呢?经过尝试,共有两种证法,说明是可行的。现洋述如下:命题:(1)式恒成立。证法一:将不等式两边同乘以 n(n 1),得(n 1)(?)n n>n(?)n(n 1)即 (?)nn~(n 1)>(?)n(n 1)~n因为 f(x)=(?)nx 在定义域内为单调递增函数     

一个代数恒等式及其应用

本文拟给出一个代数恒等式，并探讨它的一些应用．（1）式虽然简单，但很有用．它既可证明等式和不等式，又可加强不等式．下面举例说明．一、证明恒等式例2设a、b、c是△ABC的三边，△、P、r分别为其面积、半周长和内切圆半径．则证参照文[1]，（2）等价于因此，只要证由（1）、（4）易证（5）式成立．所以（3）成立，从而（2）得证．二、证明不等式例4设x，y，z是正数，则（6）式是W·Janous猜测，下面用（l）给出一个简捷证法．以上三式相加，整理得所以，（6）得证．三、加强不等式此即平均值不等式的加强．用a_i去替代上式中的a_i~2…     

不等式(a~2+b~2)/2>((a+b)/2)~2的推广与应用

本文以熟知的不等式(a~2+b~2)/2≥((a+b)/2)~2(统编高中《数学》第三册66页习题三第5题(3))为例,谈谈它的推广与应用。 (一) 不等式半(a~2+b~2)/2≥((a+b)/2)~2的证明非常容易(略),细心观察其两边的结构特征,可以联想到三个实数的平方的算术平均数不小于这三个实数的算术平均数的平方,进一步还可猜想到n个实数的平方的算术平均数的一般情形,进而通过证明得出以下几个推论:     

对（a＋1/a）（b＋1/b）最值的探讨和推广

问题1 已知a＞0,b＞0,且a＋b =1,求证：（a＋1/a）（b＋1/b）≥25/4. 本题经常出现在学生平时的测试题,甚至竞赛题中．关于这道题,有很多种证法,比如比较法,分析法,三角换元法,利用均值不等式或柯西不等式和对勾函数性质证明等等．下面笔者介绍本题三种常见的证法并对其加以拓广．     

用柯西不等式证明重要极限Lim(n→∞)(1+1/n)~n=e

本文使用柯西不等式证明了重要极限（1＋）~n＝e的存在性，并由证明过程推出一个关于自然数e的估计式。     

读者信箱

贵刊92年第5期《递推数列不等式的若干证法》中的例5证明有误。原题及证明如下:已知正项数列{a_n}满足a_n~2≤a_n-a_(n+1)(n≥1)。证明:a_n<1/n(n≥1)。证明设a_n=t/n,则a_(n+1)=t/(n+1)。代入条件a_n~2≤a_n-a_(n+1)并整理得t~2(n+1)≤nt。解得0≤t≤n/(n+1)<1,从而,a_n=t/n<1/n。这个证法犯了用“特殊代替一般”的错误。从“设a_n=t/n,则a_(n+1)=t/(n+1)”可以看出,变量t是与n无关的变量,这在题目已知条件中是没有的。上述证法只是证     

一道IMO备选题的几个新证法

第31届IMO中有这样一道备选题：设a，b，c，d是满足ab bc cd da=1的非负实数,求证近几年来．中学数学刊物上经常介绍这一选题的各种证法（参阅本刊93年第11期P37），本文将给出它的几个新证法．为了行文方便，我们记待证式左端为I，令a b c d=e、a2 b2 c2 d2=E证1利用柯西不等式，证2利用二元均值不等式．四式相加，得证3利用配方法．证4利用基本不等式a2 b2≥2ab（a、b∈R）的变形：a（a-b)≥b(a-b）等号当且仅当a=b时成立．一道IMO备选题的几个新证法@王福楠$昆山市正仪中学…     

一个不等式的改进

《数学通报》1991年4月号数学问题（707）为：证明：在△ABC中，A、B、C两两不相等时，有原证明较繁，本文给出这一不等式的简单证明，同时也得出了改进的结果.证明令不等式（l）的左边为M（A，B，C）.由正弦定理知：边，所以由此即得：不等式（2）改进了不等式（1）.更进一步地，不等式（2）可改进为：由余弦定理得：当且仅当A＝B＝C＝60°时取等号.这样2＜N（a，b，c）≤3，当且仅当a＝b＝c时取等号.由此得0≤M（A，B，C）＜1.但由条件：A、C、C两两不相等，知不能取等号，所以不等式（3）得证.一个不等式的改进@田正平$杭州师范…     

由一道例题得到的三个不等式

高中代数下册(必修本)第七页例2: 已知:a、6∈R~+,并且a≠b。求证:a~5+b~5>a~3b~2+a~2b~3 由其指数特征及证明中的差式(a~5+b~5)-(a~3b~2+a~2b~3)=(a~2-b~2)(a~3-b~3)不难得到命题一:若a_1,a_2∈(?)。m,k∈N,m>k, 则 a_1~m+a_2~m≥a_1~ka_2~(m-k)+a_1~(m-k)a_2~k(当且仅当a_1=a_2时等号成立)。证法与上类似。运用命题一又可得到命题二:若a_1,a_2,……,a_n∈R~-,m,k∈N,m>k,则 (a_1~m+a_2~m+……+a_n~m)/n≥(a_1~k+a_2~k+……+a_n~k)/n。a_1~(m-k)+a_2~(m-k)+……+a_n~(m-k)/n(当且仅当a_1=a_2=……=a_n时等号成立)。证明;把对a_1,a_2,……,a_n两两运用命题一得到的n(n-1)/2个不等式:a_1~m+a_2~m≥a_1~ka_2~(m-k)+     

一个重要不等式的应用

有关不等式的证明是重要的基础知识之一，课本在用综合法证题时主要用了(a_1 a_2 … a_n)/n≥(a_1·a_2…a_n)~(1/n)这个重要不等式（简称为平均数定理，其中ai为正数），由于证题灵活多变，学生不易掌握规律，故本文稍加归纳，作一介绍。此不等式的特点是一端为“和”而另一端是“积”的形式，若需证明的不等式涉及和“转化”为积或积“转化”为和时应考虑能否使用此不等式。     

也谈竞赛不等式的创新证法——利用Eξ^2≥（Eξ）^2证明不等式竞赛题

在文[1]中,给出了竞赛不等式的创新证法——向量内积法．笔者通过研究发现一种新证法——利用Eξ^2≥（Eξ）^2证明不等式竞赛题．因为若随机变量ξ的概率分布为：[第一段]     

二倍角正切公式的几何证明

三角公式通常都是利用三角函数方法证明的，文[1]介绍了一种独特的几何证法，令人耳目一新．本文再介绍几种几何证法，供大家参考．证法一如图（1）作直角三角形ACD，使∠ACD为90°，延长CD至B，使AD＝DB.令则易知证法二如图（2）作直角三角形ABC，使∠ABC＝90°，设AB＝1，作∠BAC的平分线交BC于D，连AD，则证法三如图（3）以O为圆心，AB为直径作半圆ACB，联CO，设∠COB＝20，过C作CD⊥AB于D，则易知二倍角正切公式的几何证明@姜卫东$牡丹江农业学校@华云$牡丹江农业学校